2020新教材人教B版高中数学必修第三册课时跟踪检测二十一三角恒等变换的应用

第1页共5页课时跟踪检测（二十一）三角恒等变换的应用A级——学考水平达标练1．sin20°＋sin40°＋sin60°－sin80°＝()A.12B.22C.32D．1解析：选C原式＝sin20°－sin80°＋sin40°＋sin60°＝2cos50°sin(－30°)＋cos50°＋sin60°＝sin60°＝32.2．函数y＝sinx－π6cosx的最大值为()A.12B.14C．1D．22解析：选B∵y＝sinx－π6cosx＝12sinx－π6＋x＋sinx－π6－x＝12sin2x－π6－12＝12sin2x－π6－14，∴函数y的最大值为14.3．设πα3π，cosα＝m，cosα2＝n，cosα4＝p，下列各式中正确的是()A．n＝－1＋m2B．n＝1＋m2C．p＝1＋n2D．p＝－1＋n2解析：选A∵π2α23π2，∴cosα2＝－1＋cosα2，即n＝－1＋m2，此外由于π4α43π4，因此cosα4的符号不能确定．4．已知2sinα＝1＋cosα，则tanα2＝()A.12B.12或不存在C．2D．2或不存在解析：选B2sinα＝1＋cosα，即4sinα2cosα2＝2cos2α2，当cosα2＝0时，tanα2不存在；当cosα2≠0时，tanα2＝12.第2页共5页5．若sinθ＝35，5π2＜θ＜3π，则tanθ2＋cosθ2＝()A．3＋1010B．3－1010C．3＋31010D．3－31010解析：选B因为5π2＜θ＜3π，所以cosθ＝－1－sin2θ＝－45.因为5π4＜θ2＜3π2，所以sinθ2＜0，cosθ2＜0，所以sinθ2＝－1－cosθ2＝－31010，cosθ2＝－1＋cosθ2＝－1010，所以tanθ2＝sinθ2cosθ2＝3.所以tanθ2＋cosθ2＝3－1010.6．设α∈(π，2π)，则1＋cosπ＋α2等于________．解析：1＋cosπ＋α2＝1－cosα2＝sin2α2＝sinα2，∵α∈(π，2π)，∴α2∈π2，π，∴sinα20，故原式＝sinα2.答案：sinα27．已知某直角三角形中两锐角为A和B，则sinAsinB的最大值为________．解析：∵A＋B＝π2，∴sinAsinB＝12[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝12cos(A－B)，又－π2＜A－B＜π2，∴0＜cos(A－B)≤1，∴sinAsinB有最大值12.答案：128．已知等腰三角形的顶角的正弦值为513，则它的底角的余弦值为________．解析：设等腰三角形的顶角为α，则底角为π－α2，由题意可知sinα＝513，所以cosα＝±1－5132＝±1213，所以cosπ－α2＝sinα2＝1－cosα2＝1±12132，所以cosπ－α2＝2626第3页共5页或52626.答案：2626或526269．求下列各式的值：(1)sin54°－sin18°；(2)cos146°＋cos94°＋2cos47°cos73°.解：(1)sin54°－sin18°＝2cos36°sin18°＝2×2sin18°cos18°cos36°2cos18°＝2sin36°cos36°2cos18°＝sin72°2cos18°＝cos18°2cos18°＝12.(2)cos146°＋cos94°＋2cos47°cos73°＝2cos120°cos26°＋2×12(cos120°＋cos26°)＝2×－12×cos26°＋－12＋cos26°＝－cos26°＋－12＋cos26°＝－12.10．求函数f(x)＝sinxsinx－sinx＋π3的最小正周期与最值．解：f(x)＝sinxsinx－sinx＋π3＝sinx·2cosx＋π6sin－π6＝－sinxcosx＋π6＝－12sin2x＋π6＋sin－π6＝－12sin2x＋π6＋14.∴最小正周期为T＝2π2＝π.∵sin2x＋π6∈[－1,1]，∴函数f(x)的最大值为34，最小值为－14.B级——高考水平高分练1．若α是第三象限角且sin(α＋β)cosβ－sinβcos(α＋β)＝－513，则tanα2等于()第4页共5页A．－5B．－513C.513D．5解析：选Asin(α＋β)cosβ－sinβcos(α＋β)＝sin[(α＋β)－β]＝sinα＝－513.∵α是第三象限角，∴cosα＝－1213，∴tanα2＝sinα1＋cosα＝－513113＝－5.2．在△ABC中，若B＝30°，则cosAsinC的取值范围是()A．[－1,1]B.－12，12C.－14，34D．－34，14解析：选CcosAsinC＝12[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝14－12sin(A－C)，∵－1≤sin(A－C)≤1，∴cosAsinC∈－14，34.3．若θ为锐角，sinθ∶sinθ2＝8∶5，则tan2θ＝________.解析：由题可知，cosθ2＝45，sinθ2＝35，∴sinθ＝2sinθ2cosθ2＝2425，cosθ＝2cos2θ2－1＝725，tanθ＝247，故tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝－336527.答案：－3365274.如图，实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等，设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1,2,3)，则cosα13cosα2＋α33－sinα13·sinα2＋α33＝________.解析：设三段圆弧交于A，B，D三点，连接PA，PB，PD，则∠APB＋∠APD＋∠BPD＝2π，从而α1＋α2＋α3＝4π，所以cosα13cosα2＋α33－sinα13sinα2＋α33＝cosα1＋α2＋α33＝cos4π3＝－12.第5页共5页答案：－125．已知3tanα－π12＝tanα＋π12，求证：sin2α＝1.证明：∵3tanα－π12＝tanα＋π12，∴3sinα－π12cosα－π12＝sinα＋π12cosα＋π12，∴3sinα－π12cosα＋π12＝sinα＋π12cosα－π12，∴32sin2α－sinπ6＝12sin2α＋sinπ6，∴3sin2α－32＝sin2α＋12，∴sin2α＝1.6．已知A，B，C是△ABC的三个内角，y＝tanA2＋2cosA2sinA2＋cosB－C2，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？并证明你的结论．证明：∵A，B，C是△ABC的三个内角，∴A＋B＋C＝π，A2＝π2－B＋C2.∴y＝tanA2＋2sinB＋C2cosB＋C2＋cosB－C2＝tanA2＋2sinB2cosC2＋cosB2sinC22cosB2cosC2＝tanA2＋tanB2＋tanC2.因此，任意交换两个角的位置，y的值不变．