2020新教材人教B版高中数学必修第三册课时跟踪检测十正弦型函数的性质与图像

第1页共6页课时跟踪检测（十）正弦型函数的性质与图像A级——学考水平达标练1．函数f(x)＝sinωx＋π6的最小正周期为π5，其中ω＞0，则ω等于()A．5B．10C．15D.20解析：选B由已知得2π|ω|＝π5，又ω＞0，所以2πω＝π5，ω＝10.2．(多选题)关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)的以下说法，不正确的是()A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数B．存在φ，使f(x)是偶函数C．存在φ，使f(x)是奇函数D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数解析：选AD当φ＝0时，f(x)＝sinx，是奇函数；当φ＝π2时，f(x)＝cosx，是偶函数．故选A、D.3．函数f(x)＝2sinx－π3，x∈[－π，0]的单调递增区间是()A.－π，5π6B.－5π6，－π6C.－π3，0D.－π6，0解析：选D令2kπ－π2≤x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，解得2kπ－π6≤x≤2kπ＋5π6，k∈Z，又－π≤x≤0，∴－π6≤x≤0，故选D.4．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意的x都有fπ3＋x＝fπ3－x，则fπ3等于()A．3或0B．－3或0C．0D.－3或3解析：选D∵fπ3＋x＝fπ3－x，∴f(x)关于直线x＝π3对称．∴fπ3应取得最大值或最小值．5．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω0，－π2φπ2的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是()第2页共6页A．2，－π3B．2，－π6C．4，－π6D.4，π3解析：选A∵34T＝5π12－－π3＝3π4，∴T＝2πω＝π，∴ω＝2.当x＝5π12时，2×5π12＋φ＝π2，∴φ＝－π3.6．若函数y＝5sink3x＋π3的周期不大于1，则自然数k的最小值为__________.解析：∵T＝2πk3＝6πk，且|T|≤1，即6πk≤1，且k为自然数，∴k≥6π，∴kmin＝19.答案：197．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)在一个周期内，当x＝π12时有最大值2，当x＝7π12时有最小值－2，则ω＝________.解析：由题意知，T＝2×7π12－π12＝π，∴ω＝2πT＝2.答案：28．(2018·江苏高考)已知函数y＝sin(2x＋φ)－π2φπ2的图像关于直线x＝π3对称，则φ的值为________．解析：由题意得fπ3＝sin2π3＋φ＝±1，∴2π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，∴φ＝kπ－π6，k∈Z.∵φ∈－π2，π2，∴φ＝－π6.答案：－π69．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)在同一个周期内的图像如图，求该函数的一个第3页共6页解析式．解：法一：(最值点法)由图像知函数的最大值为3，最小值为－3，又A0，∴A＝3.由图像知T2＝5π6－π3＝π2，∴T＝π＝2πω，∴ω＝2.又12π3＋5π6＝7π12，∴图像上的最高点为7π12，3，∴3＝3sin2×7π12＋φ，即sin7π6＋φ＝1，令7π6＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，得φ＝－2π3＋2kπ，k∈Z.可取φ＝－2π3，故函数的一个解析式为y＝3sin2x－2π3.法二：(五点对应法)由图像知A＝3，又图像过点π3，0，5π6，0，根据五点作图法原理(以上两点可判断为五点作图法中的第一点与第三点)得π3·ω＋φ＝0，5π6·ω＋φ＝π，解得ω＝2，φ＝－2π3.故函数的一个解析式为y＝3sin2x－2π3.10．设函数f(x)＝2sin2x－π4，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间π8，3π4上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值．解：(1)最小正周期T＝2π2＝π，由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8(k∈Z)，∴函数f(x)的单调递增区间是kπ－π8，kπ＋3π8(k∈Z)．(2)令t＝2x－π4，则由π8≤x≤3π4可得0≤t≤5π4，∴当t＝5π4，即x＝3π4时，ymin＝2×－22＝－1，第4页共6页∴当t＝π2，即x＝3π8时，ymax＝2×1＝2.B级——高考水平高分练1．函数f(x)＝15sinx＋π3＋cosx－π6的最大值为()A.65B．1C.35D.15解析：选Acosx－π6＝cosπ2－x＋π3＝sinx＋π3，则f(x)＝15sinx＋π3＋sinx＋π3＝65sinx＋π3，函数的最大值为65.2．(多选题)函数f(x)＝3sin2x－π3的图像为C，则以下结论中正确的是()A．图像C关于直线x＝π12对称B．图像C关于点2π3，0对称C．函数f(x)在区间－π12，5π12内是增函数D．由y＝3sin2x的图像向右平移π3个单位长度可以得到图像C解析：选BCfπ12＝3sin2×π12－π3＝3sin－π6＝－32，f2π3＝3sin4π3－π3＝0，故A错，B正确；令－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，故C正确；函数y＝3sin2x的图像向右平移π3个单位长度，得到函数y＝3sin2x－π3＝3sin2x－2π3的图像，故D错．3.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图像如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是__________．解析：由图像可得14T＝2π3－5π12，∴T＝π，则ω＝2.又图像过点5π12，2，∴2sin2×5π12＋φ＝2，∴φ＝－π3，∴f(x)＝2sin2x－π3，其单调递增区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)．第5页共6页答案：kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)4.如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一个周期内的图像．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若g(x)的图像与f(x)的图像关于直线x＝2对称，求函数g(x)的解析式及g(x)的最小正周期．解：(1)由图，知A＝2，T＝7－(－1)＝8，∴ω＝2πT＝2π8＝π4，∴f(x)＝2sinπ4x＋φ.将点(－1,0)代入，得0＝2sin－π4＋φ.∵|φ|＜π2，∴φ＝π4，∴f(x)＝2sinπ4x＋π4.(2)作出与f(x)的图像关于直线x＝2对称的图像(图略)，可以看出g(x)的图像相当于将f(x)的图像向右平移2个单位长度得到的，∴g(x)＝2sinπ4x－2＋π4＝2sinπ4x－π4，∴g(x)的最小正周期为2ππ4＝8.5．某港口一天内的水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，下面是水深数据：t(时)03691215182124y(米)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝Asinωt＋B(A＞0，ω＞0)的图像．(1)试根据数据和曲线，求出y＝Asinωt＋B的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)第6页共6页解：(1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asinωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝2πT＝π6.又∵ymin＝7，ymax＝13，∴A＝12(ymax－ymin)＝3，B＝12(ymax＋ymin)＝10.∴函数的解析式为y＝3sinπ6t＋10(0≤t≤24)．(2)由题意，水深y≥4.5＋7，即y＝3sinπ6t＋10≥11.5，t∈[]0，24，∴sinπ6t≥12，∴π6t∈2kπ＋π6，2kπ＋5π6，k＝0,1，∴t∈[1,5]或t∈[13,17]．∴该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进港．若欲于当天安全离港，则船在港内停留的时间最多不能超过16小时．