2022年新高考全国卷真题数学试卷答案

2022年普通高等学校招生全国统一考试新高考全国Ⅱ卷数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合{1,1,2,4},|1|1ABxx，则AB（）A．{1,2}B．{1,2}C．{1,4}D．{1,4}2．(22i)(12i)（）A．24iB．24iC．62iD．62i3．图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AABBCCDD是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DDCCBBAA是举，1111,,,ODDCCBBA是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DDCCBBAAkkkODDCCBBA．已知123,,kkk成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则3k（）A．0.75B．0.8C．0.85D．0.94．已知向量(3,4),(1,0),tabcab，若,,acbc，则实数t（）A．6B．5C．5D．65．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（）A．12种B．24种C．36种D．48种6．若sin()cos()22cossin4，则（）A．tan()1B．tan()1C．tan()1D．tan()17．已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为33和43，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．100πB．128πC．144πD．192π8．若函数()fx的定义域为R，且()()()(),(1)1fxyfxyfxfyf，则221()kfk（）A．3B．2C．0D．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知函数()sin(2)(0)fxx的图象关于点2π,03对称，则（）A．()fx在5π0,12单调递减B．()fx在π11π,1212有两个极值点C．直线7π6x是曲线()yfx的一条对称轴D．直线32yx是曲线()yfx的切线10．已知O为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cypxp的焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点(,0)Mp，若||||AFAM，则（）A．直线AB的斜率为26B．||||OBOFC．||4||ABOFD．180OAMOBM11．如图，四边形ABCD为正方形，ED平面ABCD，,2FBEDABEDFB∥，记三棱锥EACD，FABC，FACE的体积分别为123,,VVV，则（）A．322VVB．31VVC．312VVVD．3123VV12．若实数x，y满足221xyxy，则（）A．1xyB．2xyC．222xyD．221xy三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．随机变量X服从正态分布22,N，若(22.5)0.36PX，则(2.5)PX____________．14．曲线ln||yx过坐标原点的两条切线方程为____________，____________．15．设点(2,3),(0,)ABa，若直线AB关于ya对称的直线与圆22(3)(2)1xy有公共点，则a的取值范围为____________．16．已知直线l与椭圆22163xy在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别相交于M，N两点，且||||,||23MANBMN，则l的方程为___________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知na为等差数列，nb为公比为2的等比数列，且223344ababba．（1）证明：11ab；（2）求集合1,1500kmkbaam中元素个数．18．（12分）记ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以a，b，c为边长的三个正三角形的面积分别为123,,SSS，且12331,sin23SSSB．（1）求ABC△的面积；（2）若2sinsin3AC，求b．19．（12分）在某地区进行某种疾病调查，随机调查了100位这种疾病患者的年龄，得到如下样本数据频率分布直方图．（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；（3）已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口数占该地区总人口数的16%，从该地区选出一人，若此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）．20．（12分）如图，PO是三棱锥PABC的高，PAPB，ABAC，E为PB的中点．（1）证明：OE∥平面PAC；（2）若30ABOCBO，3PO，5PA，求二面角CAEB正余弦值．21．（12分）设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为3yx．（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点1122,,,PxyQxy在C上，且1210,0xxy．过P且斜率为3的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另一个成立．①M在AB上；②PQAB∥；③||||MAMB．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．22．（12分）已知函数()eeaxxfxx．（1）当1a时，讨论()fx的单调性；（2）当0x时，()1fx，求a的取值范围；（3）设nN，证明：222111ln(1)1122nnn．参考答案一、选择题1.B2.D3.D4.C5.B6.C7.A8.A二、选择题9.AD10.ACD11.CD12.BC三、填空题13.0.14##750．14.①.1eyx②.1eyx15.13,3216.2220xy四、解答题17.（1）设数列na的公差为d，所以，11111111224283adbadbadbbad，即可解得，112dba，所以原命题得证．（2）9．18.（1）28（2）1219.（1）47.9岁；（2）0.89；（3）0.0014．20.（1）证明：连接BO并延长交AC于点D，连接OA、PD，因为PO是三棱锥PABC的高，所以PO平面ABC，,AOBO平面ABC，所以POAO、POBO，又PAPB，所以POAPOB△△，即OAOB，所以OABOBA，又ABAC，即90BAC，所以90OABOAD，90OBAODA，所以ODAOAD所以AODO，即AODOOB，所以O为BD的中点，又E为PB的中点，所以//OEPD，又OE平面PAC，PD平面PAC，所以//OE平面PAC（2）111321.（1）2213yx（2）由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而12xx，已知不符；总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为2ykx,则条件①M在AB上，等价于2000022ykxkykx；两渐近线的方程合并为2230xy,联立消去y并化简整理得：22223440kxkxk设3334,,,AxyBxy,线段中点为,NNNxy,则2342226,2233NNNxxkkxykxkk,设00,Mxy,则条件③AMBM等价于222203030404xxyyxxyy,移项并利用平方差公式整理得：3403434034220xxxxxyyyyy，3403403434220yyxxxyyyxx,即000NNxxkyy,即200283kxkyk；由题意知直线PM的斜率为3,直线QM的斜率为3,∴由101020203,3yyxxyyxx,∴1212032yyxxx,所以直线PQ的斜率12012121232xxxyymxxxx,直线00:3PMyxxy,即0033yyxx,代入双曲线的方程22330xy,即333xyxy中，得：000032333yxxyx,解得P的横坐标：10000133233xyxyx,同理：20000133233xyxyx，∴00120120022220000331,2,333yxxxyxxxxyxyx∴003xmy,∴条件②//PQAB等价于003mkkyx，综上所述：条件①M在AB上，等价于2002kykx；条件②//PQAB等价于003kyx；条件③AMBM等价于200283kxkyk；选①②推③:由①②解得：2200002228,433kkxxkyxkk,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223kxk，20263kkyk，∴003kyx，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223kxk，20263kkyk，∴02623xk，∴2002kykx，∴①成立.22.（1）fx的减区间为,0，增区间为0,.（2）12a（3）取12a，则0x，总有12ee10xxx成立，令12ext，则21,e,2lnxttxt，故22ln1ttt即12lnttt对任意的1t恒成立.所以对任意的*nN，有112ln1nnnnnn，整理得到：21ln1lnnnnn，故222111ln2ln1ln3ln2ln1ln1122nnnnln1n，故不等式成立.