2021年天津市高考数学试卷（解析版）

2021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第I卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，2，本卷共9小题，每小题5分，共45分参考公式：•如果事件A、B互斥，那么()()()PABPAPB．•如果事件A、B相互独立，那么()()()PABPAPB．•球的体积公式313VR，其中R表示球的半径．•圆锥的体积公式13VSh，其中S表示圆锥的底面面积，h表示圆锥的高．一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合1,0,11,3,5,0,2,4ABC，，则()ABC（）A.0B.{0,1,3,5}C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4}【答案】C【解析】【分析】根据交集并集的定义即可求出.【详解】1,0,11,3,5,0,2,4ABC，，1AB，()0,1,2,4ABC.故选：C.2.已知aR，则“6a”是“236a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不允分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若6a，则236a，故充分性成立；若236a，则6a或6a，推不出6a，故必要性不成立；所以“6a”是“236a”的充分不必要条件.故选：A.3.函数2ln||2xyx的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当0,1x时，0fx，排除D，即可得解.【详解】设2ln||2xyfxx，则函数fx的定义域为0xx，关于原点对称，又2ln||2xfxfxx，所以函数fx为偶函数，排除AC；当0,1x时，2ln||0,10xx，所以0fx，排除D.故选：B.4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据分为8组：66,70、70,74、、94,98，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间82,86内的影视作品数量是（）A.20B.40C.64D.80【答案】D【解析】【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间82,86内的影视作品数量.【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间82,86内的影视作品数量为4000.05480.故选：D.5.设0.3212log0.3,log0.4,0.4abc，则a，b，c的大小关系为（）A.abcB.cabC.bcaD.acb【答案】D【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出,,abc的范围即可求解.【详解】22log0.3log10，0a，122225log0.4log0.4loglog212，1b，0.3000.40.41，01c，acb.故选：D.6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A.3B.4C.9D.12【答案】B【解析】【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3:1，即3ADBD，设球的半径为R，则343233R，可得2R，所以，44ABADBDBD，所以，1BD，3AD，CDAB，则90CADACDBCDACD，所以，CADBCD，又因为ADCBDC，所以，ACDCBD△∽△，所以，ADCDCDBD，3CDADBD，因此，这两个圆锥的体积之和为21134433CDADBD.故选：B.7.若2510ab，则11ab（）A.1B.lg7C.1D.7log10【答案】C【解析】【分析】由已知表示出,ab，再由换底公式可求.【详解】2510ab，25log10,log10ab，251111lg2lg5lg101log10log10ab.故选：C.8.已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点与抛物线22(0)ypxp的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若2||CDAB．则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2D.3【答案】A【解析】【分析】设公共焦点为,0c，进而可得准线为xc，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212ac，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)xyabab与抛物线22(0)ypxp的公共焦点为,0c，则抛物线22(0)ypxp的准线为xc，令xc，则22221cyab，解得2bya，所以22bABa,又因为双曲线的渐近线方程为byxa，所以2bcCDa，所以2222bcbaa，即2cb，所以222212acbc，所以双曲线的离心率2cea.故选：A.9.设aR，函数22cos(22). ()2(1)5,xaxafxxaxaxa，若()fx在区间(0,)内恰有6个零点，则a的取值范围是（）A.95112,,424B.5711,2,424C.9112,,344D.11,2,3447【答案】A【解析】【分析】由222150xaxa最多有2个根，可得cos220xa至少有4个根，分别讨论当xa和xa≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.【详解】222150xaxa最多有2个根，所以cos220xa至少有4个根，由22,2xakkZ可得1,24kxakZ，由1024kaa可得11222ak，（1）xa时，当15242a时，fx有4个零点，即7944a；当16252a，fx有5个零点，即91144a；当17262a，fx有6个零点，即111344a；（2）当xa≥时，22()2(1)5fxxaxa，22Δ4(1)4582aaa，当2a时，，fx无零点；当2a时，0，fx有1个零点；当2a时，令22()2(1)5250faaaaaa，则522a，此时fx有2个零点；所以若52a时，fx有1个零点.综上，要使()fx在区间(0,)内恰有6个零点，则应满足7944522aa或91144522aaa或或1113442aa，则可解得a的取值范围是95112,,424.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成xa和xa≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.第II卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i是虚数单位，复数92i2i_____________．【答案】4i【解析】【分析】利用复数的除法化简可得结果.【详解】92i2i92i205i4i2i2i2i5.故答案为：4i.11.在6312xx的展开式中，6x的系数是__________．【答案】160【解析】【分析】求出二项式的展开式通项，令x的指数为6即可求出.【详解】6312xx的展开式的通项为636184166122rrrrrrrTCxCxx，令1846r，解得3r，所以6x的系数是3362160C.故答案为：160.12.若斜率为3的直线与y轴交于点A，与圆2211xy相切于点B，则AB____________．【答案】3【解析】【分析】设直线AB的方程为3yxb，则点0,Ab，利用直线AB与圆2211xy相切求出b的值，求出AC，利用勾股定理可求得AB.【详解】设直线AB的方程为3yxb，则点0,Ab，由于直线AB与圆2211xy相切，且圆心为0,1C，半径为1，则112b，解得1b或3b，所以2AC，因为1BC，故223ABACBC.故答案为：3.13.若0,0ab，则21abab的最小值为____________．【答案】22【解析】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】0,0ab，2211222222aabbababbbbb，当且仅当21aab且2bb，即2ab时等号成立，所以21abab的最小值为22.故答案为：22.14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．【答案】①.23②.2027【解析】【分析】根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为564253；则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为23232122033327C.故答案为：23；2027.15.在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DEAB且交AB于点E．//DFAB且交AC于点F,则|2|BEDF的值为____________；()DEDFDA的最小值为____________．【答案】①.1②.1120【解析】【分析】设BEx，由222(2)44BEDFBEBEDFDF可求出；将()DEDFDA化为关于x的关系式即可求出最值.【详解】设BEx，10,2x，ABC为边长为1的等边三角形，DEAB，30,2,3,12BDEBDxDExDCx，//DFAB，DFC为边长为12x的等边三角形，DEDF，22222(2)4444(12)cos0(12)1BEDFBEBEDFDFxxxx，|2|1BEDF，2()()()DEDFDADEDFDEEADEDFEA222311(3)(12)(1)53151020xxxxxx，所以当310x时，()DEDFDA的最小值为1120.故答案为：1；1120.三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．16.在ABC，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知sin:sin:sin2:1:2ABC，2b．（I）求a的值；（II）求cosC的值；（III）求sin26C的值．【答案】（I）22；（II）（III）321116【解析】【分析】（I）由正弦定理可得::2:1:2abc，即可求出；（II）由余弦定理即可计算；（III）利用二倍角公式求出2C的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详