2012年广东高考（理科）数学试题及答案

第1页共4页2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科A卷）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i为虚数单位，则复数56iiA．B．C．D．65i65i65i65i2．设集合，则U{1,23,4,5,6}，M{1,2,4}MUðA．B．C．D．U{1,3,5}{3,5,6}{2,4,6}3．若向量，，则(2,3)BA(4,7)CABCA．B．C．D．(2,4)(3,4)(6,10)(6,10)4．下列函数中，在区间上为增函数的是(0,)A．BC．D．ln(2)yx1yx1()2xy1yxx5．已知变量满足约束条件，则的最大值为,xy211yxyxy3zxyA．12B．11C．3D．-16．某几何体的三视图如图1所示，它的体积为A．B．C．D．124557817．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为0的概率是A．B．C．D．491329198．对任意两个非零的平面向量，定义．若平面向量满足，与的夹角,,ab0abab，且和都在集合中，则0,4|2nnZabA．B．C．D．1213252二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式的解集为___________．|2|||1xx10．的展开式中的系数为__________．（用数字作答）261()xx3x11．已知递增的等差数列满足，，则________．{}na11a2324aana12．曲线在点处的切线方程为__________．33yxx(1,3)13．执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为_______．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中中，曲线和曲线的xoy1C2C参数方程分别为（为参数）和（为参数），则曲线和曲线的交点坐标为．tytxtsin2cos2yx1C2C15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆的半径为1，A，B，C是圆上三点，且满足，过点A做圆的O30ABCO切线与OC的延长线交与点P，则PA=．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．ABCPO图3第2页共4页16．（本小题满分12分）已知函数（其中）的最小正周期为．)6cos(2)(xxfRx,010（1）求的值；（2）设，求的值．,56)355(,2,0,f1716)655(f)cos(（纯word版2011年高考数学广东卷首发于数学驿站：．maths168．com）17．（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],(1)求图中x的值;(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望．18．（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上，平面PABCDABCDPAABCDEPCPC．BDE（1）证明：平面；BDPAC（2）若，，求二面角的正切值．1PA2ADBPCA19．（本小题满分14分）设数列的前项和为，满足，，且成等差数列．{}nannS11221nnnSa*nN123,5,aaa（1）求的值；1a（2）求数列的通项公式；{}na（3）证明：对一切正整数，有．n1211132naaa20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:的离心率，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的22221(0)xyabab23e距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程（2）在椭圆C上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点A、B，且(,)Mmn:1lmxny22:1Oxy的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由．OABOAB）21．（本小题满分14分）设，集合，．1a2{0},{23(1)60}AxRxBxRxaxaDAB（1）求集合D（用区间表示）；（2）求函数在D内的极值点．32()23(1)6fxxaxax2012广东高考数学（理科）参考答案第3页共4页选择题答案：1-8：DCAABCDC填空题答案：9.10.2011.12.1,221n21yx13.814.15.1,13解答题16.（1）15（2）代入得62cos253sin5162cos178cos17∵,0,2∴415cos,sin517∴4831513coscoscossinsin5175178517.（1）由得300.006100.01100.054101x0.018x（2）由题意知道：不低于80分的学生有12人，90分以上的学生有3人随机变量的可能取值有0,1,2292126011CPC11932129122CCPC232121222CPC∴69110121122222E18.（1）∵PAABCD平面∴PABD∵PCBDE平面∴PCBD∴BDPAC平面（2）设AC与BD交点为O，连OE∵PCBDE平面∴PCOE又∵BOPAC平面∴PCBO∴PCBOE平面∴PCBE∴为二面角的平面角BEOBPCA∵BDPAC平面∴BDAC∴ABCD四边形为正方形∴2BO在，PAC中12332OEPAOEOEOCAC∴tan3BOBEOOE∴二面角的平面角的正切值为3BPCA19.（1）在中11221nnnSa令得：1n212221Sa令得：2n323221Sa解得：，2123aa31613aa又21325aaa解得11a（2）由11221nnnSa得212221nnnSa12132nnnaa第4页共4页又也满足121,5aa12132aa所以成立132nnnaanN对∴11+232nnnnaa∴23nnna∴32nnna（3）（法一）∵123211323233232...23nnnnnnnna∴1113nna∴21123111311111113...1...1333213nnnaaaa（法二）∵1111322322nnnnnnaa∴11112nnaa当时，2n321112aa431112aa541112aa………11112nnaa累乘得：221112nnaa∴212311111111173...1...5252552nnaaaa20.（1）由得，椭圆方程为23e223ab22233xyb椭圆上的点到点Q的距离222222332dxybyy222443yybbyb当①即,得1b1b2max633db1b当②即,得（舍）1b1b2max443dbb1b∴1b∴椭圆方程为2213xy（2）11sinsin22AOBSOAOBAOBAOB当，取最大值，90AOBAOBS12点O到直线距离l22122dmn∴222mn又∵2213mn解得：2231,22mn所以点M的坐标为62626262,,,,22222222或或或的面积为AOB1221.（1）记223161hxxaxaa291483139aaaa①当，即，0113a0,D②当，103a223393093393090,,44aaaaaaD第5页共4页③当，0a2339309,4aaaD（2）由得266160=1fxxaxaxa得，①当，113aDfxa在内有一个极大值点，有一个极小值点1②当，∵103a12316=310haaa222316=30haaaaaaa∴1,DaD∴Dfxa在内有一个极大值点③当，则0aaD又∵12316=310haaa∴Dfx在内有无极值点