2017年海南省高考数学试题及答案（理科）

1绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（）31iiA．B．C．D．12i12i2i2i2.设集合，．若，则（）1,2,4A240xxxm1AA．B．C．D．1,31,01,31,53.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学科&网粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．906342365.设，满足约束条件，则的最小值是（）xy2330233030xyxyy2zxyA．B．C．D．159196.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学科&网给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（）1aSA．2B．3C．4D．5开始输出S否是K=K+1a=-aS=0，K=1S=S+aKK6输入a开始9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离C:22221xyab0a0b2224xyC心率为（）A．2B．C．D．3223310.已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成111CCAAC120A2A1CCC11A1C角的余弦值为（）A．B．C．D．321551053311.若是函数的极值点，则的极小值为（）2x21`()(1)xfxxaxe()fxA.B.C.D.1132e35e12.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（）ABC()PAPBPC2A.B.C.D.232431二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件0.02100数，则．D14.函数（）的最大值是．23sin3cos4fxxx0,2x15.等差数列的前项和为，，，则．nannS33a410S11nkkS16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则FC:28yxCFyF．F三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）的内角的对边分别为,已知．ABC,,ABC,,abc2sin()8sin2BAC(1)求cosB(2)若,面积为2,求6acABC.b18.（12分）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|科网，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：旧养殖法0.0340.0320.0240.0140.0122530箱产量/kg频率/组距0.0400.02007065605550454035箱产量/kg频率/组距0.0680.0460.0440.0200.01000.0080.0047065605550454035（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg,估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）P（）𝐾2≥𝑘0.0500.0100.001k3.8416.63510.82822()()()()()nadbcKabcdacbd19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中点.o1,90,2ABBCADBADABC（1）证明：直线平面PAB//CE（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为，求二面角M-AB-D的余弦值o45MEDCBAP20.（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.2212xy2NPNM(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.1OPPQ21.（12分）已知函数且.3()ln,fxaxaxxx()0fx（1）求a；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.()fx0x230()2efx（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为1C3．cos4（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程；1C||||16OMOP2C（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．(2,)32COAB23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知，证明：330,0,2abab（1）；33()()4abab（2）．2ab4绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题答案一、选择题1.D2.C3.B4.B5.A6.D7.D8.B9.A10.C11.A12.B二、填空题13.1.9614.115.16.62n1n三、解答题17.解：（1）由题设及，故2sin8sin2ABCB得sin4-cosBB（1）上式两边平方，整理得217cosB-32cosB+15=0解得15cosB=cosB171（舍去），=（2）由，故158cosBsinB1717=得14asin217ABCScBac又17=22ABCSac，则由余弦定理学科&网及得a6c2222b2cosa2(1cosB)1715362(1)2174acacBac（+c）所以b=218.解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于”，表示事件“新养殖法的箱产量不低于”50kgC50kg由题意知PAPBCPBPC旧养殖法的箱产量低于的频率为50kg0.0400.0340.0240.0140.0125=0.62（）故的估计值为0.62PB新养殖法的箱产量不低于的频率为50kg0.0680.0460.0100.0085=0.66（）故的估计值为0.66PC因此，事件A的概率估计值为0.620.660.4092（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量50kg箱产量50kg≥旧养殖法6238新养殖法3466222006266343815.70510010096104K由于15.7056.635故有的把握认为箱产量与养殖方法有关．99%（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于的直方图面积为50kg，0.0040.0200.04450.340.5箱产量低于的直方图面积为55kg0.0040.0200.044+0.06850.680.5故新养殖法箱产量的中位数的估计值为．0.5-0.3450+2.35kg0.068（）≈519.解：（1）取中点，连结，．PAFEFBF因为为的中点，所以,,由得，又EPDEFAD12EFAD=90BADABCBCAD∥12BCAD所以．四边形为平行四边形，．EFBC∥BCEFCEBF∥又，，故BFPAB平面CEPAB平面CEPAB∥平面（2）5由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐BAADABAB标系A-xyz,则则，，，，(000)A，，(100)B，，(110)C，，(013)P，，,则(103)PC，，(100)AB，，(x1),(x13)BMyzPMyz，，，，因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以(00)n，，1，0cos,sin45BMn222z22(x1)yz即（x-1）²+y²-z²=0又M在棱PC上，学|科网设,PMPC则x,1,33yz由①，②得xxyy22=1+=1-22=1(舍去)，=166zz22所以M，从而261-,1，22261-,1，22AM设是平面ABM的法向量，则000,,xyzm=00002-22600即00xyzAMABxmm所以可取m=（0，-，2）.于是6cos105mnm,nmn因此二面角M-AB-D的余弦值为10520.解（1）设P（x,y）,M（x0,y0）,设N（x0,0）,00,,0,NPxxyNMy由得2NPNM002=,2xxyy因为M（x0,y0）在C上，所以22122xy因此点P的轨迹方程为222xy（2）由题意知F（-1,0）.设Q（-3，t）,P(m,n),则，3,1,,33tOQ,PFmnOQPFmtn,3,OPm,nPQm,tn由得，又由（1）知，故1OPPQ22-31mmtnn22+=2mn3+3m-tn=0所以，即.学.科网又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l0OQPFOQPF过C的左焦点F.21.解：（1）的定义域为fx0，+设，则等价于gx=ax-a-lnxfx=xgx,fx00gx因为11=0，0,故1=0,而,1=1,得1ggxg'g'xag'aax若a=1，则.当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增.所11g'x=x＜0,g'xgxg'xgx以x=1是的极小值点，故gx1=0gxg综上，a=1（2）由（1）知2ln,'()22lnfxxxxxfxxx