2018年海南省高考数学试题及答案（理科）

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．12i12iA．B．C．D．43i5543i5534i5534i552．已知集合，则中元素的个数为223AxyxyxyZZ，≤，，AA．9B．8C．5D．43．函数的图像大致为2eexxfxx4．已知向量，满足，，则ab||1a1ab(2)aabA．4B．3C．2D．05．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为22221(0,0)xyabab3A．B．C．D．2yx3yx22yx32yx6．在中，，，，则ABC△5cos25C1BC5ACABA．B．C．D．423029257．为计算，设计了右侧的程序框11111123499100S…图，则在空白框中应填入A．1iiB．2iiC．3iiD．4ii8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的30723概率是A．B．C．D．1121141151189．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为1111ABCDABCD1ABBC13AA1AD1DBA．B．C．D．1556552210．若在是减函数，则的最大值是()cossinfxxx[,]aaaA．B．C．D．π4π23π4π11．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则()fx(,)(1)(1)fxfx(1)2f(1)(2)(3)(50)ffff…A．B．0C．2D．505012．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率1F2F22221(0)xyCabab：ACPA为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为3612PFF△12120FFPCA．B．C．D．23121314二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线在点处的切线方程为__________．2ln(1)yx(0,0)14．若满足约束条件则的最大值为__________．,xy25023050xyxyx，，，zxy15．已知，，则__________．sincos1αβcossin0αβsin()αβ开始0,0NTSNTS输出1i100i1NNi11TTi结束是否16．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积SSASB78SASAB△为，则该圆锥的侧面积为__________．515三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记为等差数列的前项和，已知，．nS{}nan17a315S（1）求的通项公式；{}na（2）求，并求的最小值．nSnS18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．y为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年yt至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2010年至t1217，，…，ˆ30.413.5yt2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：．t127，，…，ˆ9917.5yt（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．学科*网19．（12分）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．24Cyx：FF(0)kklCAB||8AB（1）求的方程；l（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．ABC20．（12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点．PABC22ABBC4PAPBPCACOAC（1）证明：平面；POABC（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．MBCMPAC30PCPAMPAOCBM21．（12分）已知函数．2()exfxax（1）若，证明：当时，；1a0x()1fx（2）若在只有一个零点，求．()fx(0,)a（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为xOyC2cos4sinxθyθ，θl（为参数）．1cos2sinxtαytα，t（1）求和的直角坐标方程；Cl（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．Cl(1,2)l23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）设函数．()5|||2|fxxax（1）当时，求不等式的解集；1a()0fx（2）若，求的取值范围．()1fxa参考答案:一、选择题1.D2.A3.B4.B5.A6.A7.B8.C9.C10.A11.C12.D二、填空题13.14.915.16.2yx12402π三、解答题17.(12分)解：（1）设的公差为d，由题意得.{}na13315ad由得d=2.17a所以的通项公式为.{}na29nan（2）由（1）得.228(4)16nSnnn所以当n=4时,取得最小值,最小值为−16.nS18.(12分)解：（1）利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元).ˆ30.413.519226.1y利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元).ˆ9917.59256.5y（2）利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下：（ⅰ）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下.这30.413.5yt说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型ˆ9917.5yt②得到的预测值更可靠.学.科网（ⅱ）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型②得到的预测值更可靠.以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19.(12分)解：（1）由题意得，l的方程为.(1,0)F(1)(0)ykxk设，1221(,),(,)AyxyxB由得.2(1),4ykxyx2222(24)0kxkxk，故.216160k122224kxkx所以.122244||||||(1)(1)xkABAFBFkx由题设知，解得（舍去），.22448kk1k1k因此l的方程为.1yx（2）由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为，即.(3,2)2(3)yx5yx设所求圆的圆心坐标为，则00(,)xy解得或00220005,(1)(1)16.2yxyxx003,2xy0011,6.xy因此所求圆的方程为或.22(3)(2)16xy22(11)(6)144xy20.(12分)解：（1）因为，为的中点，所以，且.4APCPACOACOPAC23OP连结.因为，所以为等腰直角三角形，OB22ABBCACABC△且，.OBAC122OBAC由知.222OPOBPBPOOB由知平面.,OPOBOPACPOABC（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.OOBuuurxOxyz由已知得取平面的法向量(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,0),(0,0,23),(0,2,23),OBACPAPuuurPAC.(2,0,0)OBuuur设，则.(,2,0)(02)Maaa(,4,0)AMaauuur设平面的法向量为.PAM(,,)xyzn由得，可取，0,0APAMuuuruuurnn2230(4)0yzaxay(3(4),3,)aaan所以.由已知得.22223(4)cos,23(4)3aOBaaauuurn3|cos,|2OBuuurn所以.解得（舍去），.22223|4|3=223(4)3aaaa4a43a所以.又，所以.83434(,,)333n(0,2,23)PCuuur3cos,4PCuuurn所以与平面所成角的正弦值为.PCPAM3421．（12分）【解析】（1）当时，等价于．1a()1fx2(1)e10xx设函数，则．2()(1)e1xgxx22()(21)e(1)exxg'xxxx当时，，所以在单调递减．1x()0g'x()gx(0,)而，故当时，，即．(0)0g0x()0gx()1fx（2）设函数．2()1exhxax在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．()fx(0,)()hx(0,)（i）当时，，没有零点；0a()0hx()hx（ii）当时，．0a()(2)exh'xaxx当时，；当时，．(0,2)x()0h'x(2,)x()0h'x所以在单调递减，在单调递增．()hx(0,2)(2,)故是在的最小值．学&科网24(2)1eah()hx[0,)①若，即，在没有零点；(2)0h2e4a()hx(0,)②若，即，在只有一个零点；(2)0h2e4a()hx(0,)③若，即，由于，所以在有一个零点，(2)0h2e4a(0)1h()hx(0,2)由（1）知，当时，，所以．0x2exx33342241616161(4)11110e(e)(2)aaaaahaaa故在有一个零点，因此在有两个零点．()hx(2,4)a()hx(0,)综上，在只有一个零点时，．()fx(0,)2e4a22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）曲线的直角坐标方程为．C221416xy当时，的直角坐标方程为，cos0ltan2tanyx当时，的直角坐标方程为．cos0l1x（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程lCt．①22(13cos)4(2cossin)80tt因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．Cl(1,2)C1t2t120tt又由①得，故，于是直线的斜率．1224(2cossin)13costt2cossin0ltan2k23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）当时，1a24,1,()2,12,26,2.xxfxxxx可得的解集为．()0fx{|23}xx（2）等价于．()1fx