2017年北京高考文科数学试题及答案

绝密★启封并使用完毕前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知UR，集合{|22}Axxx或，则（A）(2,2)（B）(,2)(2,)（C）[2,2]（D）(,2][2,)（2）若复数(1i)(i)a在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（A）(,1)（B）(,1)（C）(1,)（D）(1,)（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）2（B）32（C）53（D）85（4）若,xy满足3,2,,xxyyx则2xy的最大值为（A）1（B）3（C）5（D）9（5）已知函数1()3()3xxfx，则()fx（A）是偶函数，且在R上是增函数（B）是奇函数，且在R上是增函数（C）是偶函数，且在R上是减函数（D）是奇函数，且在R上是增函数（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）60（B）30（C）20（D）10（7）设m,n为非零向量，则“存在负数，使得m=λn”是“m·n0”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A）1033（B）1053（C）1073（D）1093第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=13，则sin=_________．（10）若双曲线221yxm的离心率为3，则实数m=__________．（11）已知0x，0y，且x+y=1，则22xy的取值范围是__________．（12）已知点P在圆22=1xy上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则AOAP的最大值为_________．（13）能够说明“设a，b，c是任意实数．若abc，则a+bc”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为______________________________．（14）某学习小组由学生和学科网&教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：（ⅰ）男学生人数多于女学生人数；（ⅱ）女学生人数多于教师人数；（ⅲ）教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为__________．②该小组人数的最小值为__________．三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）已知等差数列na和等比数列nb满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）求和：13521nbbbb．（16）（本小题13分）已知函数()3cos(2)2sincos3fxx-xx.（I）求f(x)的最小正周期；（II）求证：当[,]44x时，12fx．（17）（本小题13分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数学.科网不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．（18）（本小题14分）如图，在三棱锥P–ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（Ⅰ）求证：PA⊥BD；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面PAC；（Ⅲ）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E–BCD的体积．（19）（本小题14分）已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为32．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．（20）（本小题13分）已知函数()ecosxfxxx．（Ⅰ）求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；（Ⅱ）求函数()fx在区间π[0,]2上的最大值和最小值．2017年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）答案一、（1）C（2）B（3）C（4）D（5）B（6）D（7）A（8）D二、（9）13（10）2（11）1[,1]2（12）6（13）1,2,3（答案不唯一）（14）612三、（15）（共13分）解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n−1.（Ⅱ）设等比数列的公比为q.因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以2212113nnnbbq.从而21135213113332nnnbbbb.（16）（共13分）解：（Ⅰ）3313π()cos2sin2sin2sin2cos2sin(2)22223fxxxxxxx.所以()fx的最小正周期2ππ2T.（Ⅱ）因为ππ44x，所以ππ5π2636x.所以ππ1sin(2)sin()362x.所以当ππ[,]44x时，1()2fx.（17）（共13分）解：（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.020.04)100.6，所以样本中分数小于70的频率为10.60.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.（Ⅱ）根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.010.020.040.02)100.9，分数在区间[40,50)内的人数为1001000.955.所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为540020100.（Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.020.04)1010060，所以样本中分数不小于70的男生人数为160302.所以样本中的男生人数为30260，女生人数为1006040，男生和女生人数的比例为60:403:2.所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为3:2.（18）（共14分）解：（I）因为PAAB，PABC，所以PA平面ABC，又因为BD平面ABC，所以PABD.（II）因为ABBC，D为AC中点，所以BDAC，由（I）知，PABD，所以BD平面PAC.所以平面BDE平面PAC.（III）因为PA∥平面BDE，平面PAC平面BDEDE，所以PADE∥.因为D为AC的中点，所以112DEPA，2BDDC.由（I）知，PA平面ABC，所以DE平面PAC.所以三棱锥EBCD的体积1163VBDDCDE.（19）（共14分）解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为22221(0,0)xyabab.由题意得2,3,2aca解得3c.所以2221bac.所以椭圆C的方程为2214xy.（Ⅱ）设(,)Mmn，则(,0),(,)DmNmn.由题设知2m，且0n.直线AM的斜率2AMnkm，故直线DE的斜率2DEmkn.所以直线DE的方程为2()myxmn.直线BN的方程为(2)2nyxm.联立2(),(2),2myxmnnyxm解得点E的纵坐标222(4)4Enmymn.由点M在椭圆C上，得2244mn.所以45Eyn.又12||||||||25BDEESBDyBDn△，1||||2BDNSBDn△，所以BDE△与BDN△的面积之比为4:5.（20）（共13分）解：（Ⅰ）因为()ecosxfxxx，所以()e(cossin)1,(0)0xfxxxf.又因为(0)1f，所以曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程为1y.（Ⅱ）设()e(cossin)1xhxxx，则()e(cossinsincos)2esinxxhxxxxxx.当π(0,)2x时，()0hx，所以()hx在区间π[0,]2上单调递减.所以对任意π(0,]2x有()(0)0hxh，即()0fx.所以函数()fx在区间π[0,]2上单调递减.因此()fx在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f，最小值为ππ()22f.