2021年全国高考乙卷数学（文科）试题（逐题解析word版）【适用地区：河南、安徽、江西、山西、陕西

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学【文科】注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用28铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。适用地区：河南、安徽、江西、山西、陕西、黑龙江、吉林、甘肃、内蒙古、青海、宁夏、新疆一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集1,2,3,4,5U，集合1,2,3,4MN，则()UMNð（）A.5B.1,2C.3,4D.1,2,3,42.设i43iz，则z（）A.–34iB.34iC.34iD.34i3.已知命题:,sin1pxxR﹔命题:qxR﹐||e1x，则下列命题中为真命题的是（）A.pqB.pqC.pqD.pq4.函数()sincos33xxfx的最小正周期和最大值分别是（）A.3π和2B.3π和2C.6π和2D.6π和25.若,xy满足约束条件4,2,3,xyxyy则3zxy的最小值为（）A.18B.10C.6D.46.22π5πcoscos1212（）A.12B.33C.22D.327.在区间10,2随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（）A.34B.23C.13D.168.下列函数中最小值为4的是（）A.224yxxB.4sinsinyxxC.222xxyD.4lnlnyxx9.设函数1()1xfxx，则下列函数中为奇函数的是（）A.11fxB.11fxC.11fxD.11fx10.在正方体1111ABCDABCD中，P为11BD的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A.π2B.π3C.π4D.π611.设B是椭圆22:15xCy的上顶点，点P在C上，则PB的最大值为（）A.52B.6C.5D.212.设0a，若xa为函数2fxaxaxb的极大值点，则（）A.abB.abC.2abaD.2aba二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量2,5,,4ab，若//abrr，则_________．14.双曲线22145xy的右焦点到直线280xy的距离为________．15.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，60B，223acac，则b________．16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．三、解答题．共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为21S和22S．（1）求x，y，21S，22S；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2212210SSyx，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．18.如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，M为BC的中点，且PBAM．（1）证明：平面PAM平面PBD；（2）若1PDDC，求四棱锥PABCD的体积．19.设na是首项为1的等比数列，数列nb满足3nnnab．已知1a，23a，39a成等差数列．（1）求na和nb的通项公式；（2）记nS和nT分别为na和nb的前n项和．证明：2nnST．20.已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点F到准线的距离为2．（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足9PQQF，求直线OQ斜率的最大值.21.已知函数32()1fxxxax．（1）讨论fx的单调性；（2）求曲线yfx过坐标原点的切线与曲线yfx的公共点的坐标．（二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，C的圆心为2,1C，半径为1．（1）写出C的一个参数方程;（2）过点4,1F作C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．[选修4—5:不等式选讲]23.已知函数3fxxax．（1）当1a时，求不等式6fx的解集;（2）若fxa，求a的取值范围．一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集1,2,3,4,5U，集合1,2,3,4MN，则()UMNð（）A.5B.1,2C.3,4D.1,2,3,4【答案】A【解析】【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.【详解】由题意可得：1,2,3,4MNU，则5UMNð.故选：A.2.设i43iz，则z（）A.–34iB.34iC.34iD.34i【答案】C【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.【详解】由题意可得：2434343341iiiiziii.故选：C.3.已知命题:,sin1pxxR﹔命题:qxR﹐||e1x，则下列命题中为真命题的是（）A.pqB.pqC.pqD.pq【答案】A【解析】【分析】由正弦函数的有界性确定命题p的真假性，由指数函数的知识确定命题q的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于1sin1x，所以命题p为真命题；由于0x，所以||e1x，所以命题q为真命题；所以pq为真命题，pq、pq、pq为假命题.故选：A．4.函数()sincos33xxfx的最小正周期和最大值分别是（）A.3π和2B.3π和2C.6π和2D.6π和2【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简fx，结合三角函数最小正周期和最大值的求法确定正确选项.【详解】由题，2sin34xfx，所以fx的最小正周期为2613Tpp==，最大值为2.故选：C．5.若,xy满足约束条件4,2,3,xyxyy则3zxy的最小值为（）A.18B.10C.6D.4【答案】C【解析】【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为3yxz，数形结合即可得解.【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由43xyy可得点1,3A,转换目标函数3zxy为3yxz，上下平移直线3yxz，数形结合可得当直线过点A时,z取最小值，此时min3136z.故选：C.6.22π5πcoscos1212（）A.12B.33C.22D.32【答案】D【解析】【分析】由题意结合诱导公式可得22225coscoscossin12121212，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，2222225coscoscoscoscossin12121221212123cos26.故选：D.7.在区间10,2随机取1个数，则取到的数小于13的概率为（）A.34B.23C.13D.16【答案】B【解析】【分析】根据几何概型的概率公式即可求出.【详解】设“区间10,2随机取1个数”102xx，A“取到的数小于13”103xx，所以10231302lAPAl．故选：B．【点睛】本题解题关键是明确事件“取到的数小于13”对应的范围，再根据几何概型的概率公式即可准确求出．8.下列函数中最小值为4的是（）A.224yxxB.4sinsinyxxC.222xxyD.4lnlnyxx【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,BD不符合题意，C符合题意．【详解】对于A，2224133yxxx，当且仅当1x时取等号，所以其最小值为3，A不符合题意；对于B，因为0sin1x，4sin244sinyxx，当且仅当sin2x时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为R，而20x，242222442xxxxy，当且仅当22x，即1x时取等号，所以其最小值为4，C符合题意；对于D，4lnlnyxx，函数定义域为0,11,，而lnxR且ln0x，如当ln1x，5y，D不符合题意．故选：C．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．9.设函数1()1xfxx，则下列函数中为奇函数的是（）A.11fxB.11fxC.11fxD.11fx【答案】B【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得12()111xfxxx，对于A，2112fxx不是奇函数；对于B，211fxx是奇函数；对于C，21122fxx，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，2112fxx，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.10.在正方体1111ABCDABCD中，P为11BD的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A.π2B.π3C.π4D.π6【答案】D【解析】【分析】平移直线1AD至1BC，将直线PB与1AD所成的角转化为PB与1BC所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接11,,BCPCPB，因为1AD∥1BC，所以1PBC或其补角为直线PB与1AD所成的角，因为1BB平面1111DCBA，所以11BBPC，又111PCBD，1111BBBDB，所以1PC平面1PBB，所以1PCPB，设正方体棱长为2，则1111122,22BCPCDB，1111sin2PCPBCBC，所以16PBC.故选：D11.设B是椭圆22:15xCy的上顶点，点P在C上，则PB的最大值为（）A.52B.6C.5D.2【答案】A【解析】【分析】设点00,Pxy，由依题意可知，0,1B，220015xy，再根据两点间的距离公式得到2PB，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．【详解】设点00,Pxy，因为0,1B，220015xy，所以22222