2015年安徽高考数学（理科）真题（带答案）

2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。2．答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3．答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在答题卷、草．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．稿纸上答题无效．．．．．．．。4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。参考公式：第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。（1）设i是虚数单位，则复数21ii在复平面内所对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（A）ycosx（B）ysinx（C）ynlx（D）21yx（3）设p：1x2，q：2x1，则p是q成立的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件4、下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为2yx的是（）（A）2214yx（B）2214xy（C）2214yx（D）2214xy5、已知m，n是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是（）（A）若，垂直于同一平面，则与平行（B）若m，n平行于同一平面，则m与n平行（C）若，不平行，则在内不存在与平行的直线（D）若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面6、若样本数据1x，2x，，10x的标准差为8，则数据121x，221x，，1021x的标准差为（）（A）8（B）15（C）16（D）327、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）（A）13（B）23（C）122（D）228、C是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足2a，C2ab，则下列结论正确的是（）（A）1b（B）ab（C）1ab（D）4Cab9、函数2axbfxxc的图象如图所示，则下列结论成立的是（）（A）0a，0b，0c（B）0a，0b，0c（C）0a，0b，0c（D）0a，0b，0c10、已知函数sinfxx（，，均为正的常数）的最小正周期为，当23x时，函数fx取得最小值，则下列结论正确的是（）（A）220fff（B）022fff（C）202fff（D）202fff第二卷二．填空题11.371()xx的展开式中5x的系数是（用数字填写答案）12.在极坐标系中，圆8sin上的点到直线()3R距离的最大值是13.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为14.已知数列{}na是递增的等比数列，14329,8aaaa，则数列{}na的前n项和等于15.设30xaxb，其中,ab均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）(1)3,3ab；(2)3,2ab；(3)3,2ab；(4)0,2ab;(5)1,2ab.三.解答题16.在ABC中，3,6,324AABAC,点D在BC边上，ADBD，求AD的长。17.已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果.（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）（18）（本小题12分）设*nN，nx是曲线231nyx在点(12)，处的切线与x轴交点的横坐标，（1）求数列{}nx的通项公式；（2）记2221221nnTxxx，证明14nTn.19.如图所示，在多面体111ABDDCBA中，四边形11AABB，11,ADDAABCD均为正方形，E为11BD的中点，过1,,ADE的平面交1CD于F（1）证明：11//EFBC(2)求二面角11EADB余弦值.（20）（本小题13分）设椭圆E的方程为222210xyabab，点O为坐标原点，点A的坐标为0a，，点B的坐标为0b，，点M在线段AB上，满足2BMMA，直线OM的斜率为510.（I）求E的离心率e；（II）设点C的坐标为0b，，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72，求E的方程.21.设函数2()fxxaxb.（1）讨论函数(sin)22fx在(-,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记20000(),(sin)(sin)fxxaxbfxfx求函数在22(-,)上的最大值D；（3）在（2）中，取2000,D14aabzb求满足时的最大值。数学（理科）试题参考答案一、选择题(1)B(2)A(3)A(4)C(5)D(6)C(7)B(8)D(9)C(10)A二、填空题(11)35(12)6(13)4(14)21n(15)①③④⑤三、解答题（16）设ABC的内角,,ABC所对边的长分别是,,abc，由余弦定理得2222232cos(32)62326cos1836(36)904abcbcBAC，所以310a.又由正弦定理得sin310sin10310bBACBa.由题设知04B，所以21310cos1sin11010BB.在ABD中，由正弦定理得sin6sin310sin(2)2sincoscosABBBADBBBB.（17）（Ⅰ）依据题目所给的条件可以先设“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.得出1123253()10AAPAA.（Ⅱ）X的可能取值为200,300,400.依此求出各自的概率136,,101010，列出分布列，求出期望136200300400350101010EX.试题解析：（Ⅰ）记“第一次检查出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.1123253()10AAPAA.（Ⅱ）X的可能取值为200,300,400.22251(200)10APXA.31123232353(300)10ACCAPXA.136(400)1(200)(300)1101010PXPXPX.故X的分布列为X200300400P110310610136200300400350101010EX.（18）（I）解：22211=nnyx（）（2n+2）x曲线221nyx在点（1,2）处的切线斜率为2n+2，从而切线方程为2(22)(1)ynx令y=0，解得切线与x轴交点的和坐标1111nnxnn（II）证：由题设和（Ⅰ）中的计算结果知22222213211321()()()242nnnTxxxn.当1n时，114T.当2n时，因为22222122221(21)(21)1221()2(2)(2)(2)nnnnnnxnnnnn，所以211211()2234nnTnn.综上可得对任意的*nN，均有14nTn.（19）（Ⅰ）证明：由正方形的性质可知11////ABABDC，且11ABABDC，所以四边形11ABCD为平行四边形，从而11//BCAD，又1AD面1ADE，1BC面1ADE，于是1//BC面1ADE，又1BC面11BCD，而面1ADE面11BCDEF，所以1//EFBC.（Ⅱ）因为四边形11AABB，11ADDA，ABCD均为正方形，所以11,,AAABAAADADAB，且1AAABAD，以A为原点，分别以1,,ABADAA为x轴，y轴，z轴单位正向量建立，如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标111(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1)ABDABD.而E点为11BD的中点，所以E点的坐标为(0.5,0.5,1).设面1ADE的法向量1111(,,)nrst.而该面上向量11(0.5,0.5,0),(0,1,1)AEAD，由1111,nAEnAD得111,,rst应满足的方程组11110.50.500rsst，(1,1,1)为其一组解，所以可取1(1,1,1)n.设面11ABCD的法向量2222(,,)nrst，而该面上向量111(1,0,0),(0,1,1)ABAD，由此同理可得2(0,1,1)n.所以结合图形知二面角1EADB的余弦值为1212||263||||32nnnn.（20）（I）由题设条件知，点M的坐标为21(,)33ab，又510OMk，从而5210ba，进而得225,2abcabb，故255cea.（II）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线AB的方程为15xybb，点N的坐标为51(,)22bb，设点N关于直线AB的对称点S的坐标为17(,)2x，则线段NS的中点T的坐标为1517(,)4244xbb.又点T在直线AB上，且1NSABkk,从而有115174244157122552xbbbbbbx解得3b，所以35b，故椭圆E的方程为221459xy.（21）Ⅰ）2(sin)sinsinsin(sin)fxxaxbxxab，22x.[(sin)]'(2sin)cosfxxax，22x.因为22x，所以cos0,22sin2xx.①当2,abR时，函数(sin)fx单调递增，无极值.②当2,abR时，函数(sin)fx单调递减，无极值.③当22a，在(,)22内存在唯一的0x，使得02sinxa.02xx时，函数(sin)fx单调递减；02xx时，函数(sin)fx单调递增.因此，22a，bR时，函数(sin)fx在0x处有极小值20(sin)()24aafxfb.（Ⅱ）22x时，00000|(sin)(sin)||()sin|||||fxfxaaxbbaabb，当00()()0aabb时，取2x，等号成立，当00()()0aabb时，取2x，等号成立，由此可知，函数0(sin)(sin)fxfx在[]22,上的最大值为00||||Daabb.（Ⅲ）D1，即||||1ab，此时201,11ab，从而214azb.取0,1ab，则||||1ab，并且214azb.由此可知，24azb满足条件D1的最大值为1.