07 经济地理学 新第三章

3.1定义:把n个随机变量的整体()称为n维随机变量,1XXn,,2X,1XXn,,2X同时投掷两个骰子，观察两个骰子出现的点数。设第一个骰子出现的点数为X，第二个骰子出现的点数为Y，则X可能取值为1，2，3，4，5，6，Y也可能取值为1，2，3，4，5，6，则两个骰子出现的点数(X,Y)就是二维随机变量引例一引例二炮弹命中点的平面位置要由水平距离X和垂直距离Y来确定，则炮弹命中点的平面位置（X,Y)也是二维随机变量yx,XY0引例三一炉钢的综合质量至少要由钢的硬度（X），含碳量（Y），含硫量（Z）等多个变量来描述，则一炉钢的综合质量至少要用三维随机变量（X,Y,Z）来表示对于随机试验E，Ω是其样本空间。X(w)和Y(w)是定义在样本空间Ω上的两个随机变量,由它们构成的向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量。二维随机变量的定义X(w),Y(w)w.Ω(x,y)xy二维分布函数数为随机变量X的分布函R(实数集），则称定义：对任意的xXPxFx分布函数的定义复习：一维随机变量x]X0联合分布函数设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,称二元函数F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，简称分布函数。xy(x,y)复习：一维随机变量分布函数的性质10xF11)()(,0)()(FxFFxFlimlimxx2)()(,bFaFba则若3)()0(xFxF42.1.x1x2,F(x1,y)≤F(x2,y)y1y2,F(x,y1)≤F(x,y2)联合分布函数的性质0),(1),(0),(0),(.3FFyFxF1),(0yxF4.F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y)121222122111,)=(,)-(,)-(,)+(,)0PxXxyYyFxyFxyFxyFxy5.(联合分布函数的性质(x2,y1)xy(x2,y2)(x1,y2)(x1,y1)的概率）落入矩形域，求（其它的分布函数为：设随机变量例3πy6π,4πx002πy0,2πx0sinsin),(),(1YXyxyxFYX}3πy6π,4πx0{P解：6πsin0sin3πsin0sin6πsin4πsin3πsin4πsin)6π,0()3π,0()6π,4π()3π,4π(FFFF)26(410436XY例2：设二维随机变量（X,Y）的分布函数为求A,B,C的值32,yarctgCxarctgBAyxF032y,-FyarctgCBA解：022,CBAy则为取022:CBA同理可得122,FCBA又2C,2B,1A2解得二维离散型随机变量设(xk,yk)(k=1,2,…)是二维随机变量(X,Y)所取的一切可能值，且(X,Y)取各个可能值的概率为则称为(X,Y)二维离散型随机变量，上式为二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律，简称分布律。,...2,1,,),(jipyYxXPijjiXYx1x2...xi...y1y2...yj…p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...……………联合分布列联合分布律的性质,2,1,,0)1(jipijxxyyijijpyYxXPyxF),(),(ijijp1)2(例3：某学生求出的关于二维随机变量（X,Y）的分布密度如下表：0000020-357YX2141411611612164132131试分析该学生的计算结果是否正确？例4：设有10件产品，其中2件是次品，从中随机抽取两次，每次取一件，取后不放回.以X表示第一次取到的次品件数。以Y表示第二次取到的次品件数，求随机变量（X,Y）的概率分布.解：（X,Y）的所有可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).4528971080,0YXP458981020,1YXP458921081,0YXP451911021,1YXP则（X,Y）的概率分布0101XY4528458451458例5.设袋中有五个同类产品，其中有两个是正品，每次从袋中任意抽取一个，抽取两次，定义随机变量X、Y如下品第一次抽取的产品是次品第一次抽取的产品是正,0,1X品第二次抽取的产品是次品第二次抽取的产品是正,0,1Y对下面两种抽取方式：(1)有放回抽取；(2)无放回抽取，求（X,Y）的概率分布。二维连续型随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y)使得对任意的实数x,y,都有则称(X,Y)为连续型随机变量，其中f(x,y)称为(X,Y)的联合概率密度函数，简称联合概率密度或联合分布密度。dudvvufyxFxy),(),(0),(.1yxfGdxdyyxfGyxP),()),((联合概率密度的性质1),(),(.2Fdvduvuf2121),(),(.32121xxyydvduvufyYyxXxP),(),(,),(),(.42yxfyxyxFyxyxf则连续在点若yxyyYyxxXxPyxfyx),(lim),(0,0yxyxfyyYyxxXxP),(),(f(x,y)并不是二维随机变量(X,Y)取值(x,y)的概率，而是反映了(X,Y)集中在点(x,y)附近的密集程度。例6.设(X,Y)的分布密度是其它,00,0,),()(yxCeyxfyx求(1)C的值;(2)分布函数;(3)（X,Y）落在如图三角形区域内的概率。xyy=2-2x例6.设(X,Y)的分布密度是其它,00,0,),()(yxCeyxfyx求(1)C的值;(2)分布函数;其它,00,0,),()2(yxCeyxfyx)()3(XYp常见的二维连续型随机变量的分布均匀分布设G为平面上的有界区域，若二维随机变量(X,Y)的分布密度函数为其它0),(,1),(GyxSyxfG其中为区域G的面积，则称二维随机变量(X,Y)在G上服从均匀分布。GGdxdyS例7.设(X,Y)在区域G（0≤y≤2x,0≤x≤2)上服从均匀分布，求(1)(X,Y)的分布函数；(2)P(YX2).例8：设(X,Y)在上服从均匀分布，求其分布函数F(x,y).)20,30(yxDDy)(x,1/60),(其它yxf解：由于区域D的面积为6，所以(X,Y)的分布密度为时，且2030yxxydydxyxFxy6161),(00(2)当0),(00yxFyx时，或(1)当yxXY230(x,y)时，且230yx361),(200xdxdyyxFx(3)当时，且203yx261),(300ydydxyxFy(4)当1),(23yxFyx时，且(5)当XY230综上所述2030yx且F(x,y)=0x0或y0xy/6x/3230yx且y/2203yx且123yx且常见的二维连续型随机变量的分布二维正态分布若二维随机变量(X,Y)的分布密度为其中σ10,σ20,|ρ|1,μ则称(X,Y)服从参数为μ1,μ2,σ1,σ2,ρ的二维正态分布。记作(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)222221121122212)1(21exp121),(yyxxyxf二维正态分布3.2边缘分布),(),()()(xFYxXPxXPxFX),(),()()(yFyYXPyYPyFY设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)=P(X≤x,Y≤y),则随机变量X的分布函数称为(X,Y)关于X的边缘分布函数。称为(X,Y)关于Y的边缘分布函数。边缘分布xyFX(x)xyFY(y)二维离散型随机变量的边缘分布设(X,Y)为离散型随机变量，其联合分布律为则(X,Y)关于X、Y的边缘分布函数分别为(X,Y)关于X、Y的边缘分布律分别为xxjijXipxFxF1),()(yyiijYipyFyF1),()(,...2,1,)(1ippxXPjijii,...2,1,)(1jppyYPiijjj,...2,1,,),(jipyYxXPijjip·jp·1p·2…p·j…pi·p1·p2·...pi·...XYx1x2...xi...y1y2...yj…p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...……………1例1：按3.1中例4的分布列，求（X，Y）关于X，Y的边缘分布密度0101XY45284584514580101XY4528458451458pi453645914536459pj01Ypj453645901Xpi4536459解：故（X，Y）关于X，Y的边缘分布密度分别为分布律。联合分布律，并求边缘的和不是素数）。试写出（注意的素数的个数。是能整除的正整数的个数。是能整除十个数中取一个值。设，，，，等可能的在例：一整数FDNNFFNNDDN1)()(10321例2.设袋中有五个同类产品，其中有两个是正品，每次从袋中任意抽取一个，抽取两次，定义随机变量X、Y如下品第一次抽取的产品是次品第一次抽取的产品是正,0,1X品第二次抽取的产品是次品第二次抽取的产品是正,0,1Y对下面两种抽取方式：(1)有放回抽取；(2)无放回抽取，求(X,Y)的边缘分布律。二维连续型随机变量的边缘分布设(X,Y)为连续型随机变量，其联合分布函数和联合概率密度分别为F(x,y)和f(x,y),则dyyxfxFdxdxfXX),()()(dxyxfyFdydyfYY),()()(分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度函数，简称边缘概率密度。例3：设二维R，V（X，Y）的二维联合概率密度函数为：求（X，Y）关于X及Y的边缘分布密度.2)-2(11-exp121),(2222yxxyyxf),(-yxdy2)-2(11-exp121),()(2222Xyxfxydyyxfx解：2222222)(2xxxxyyyx)y(-2-exp21)(2Yyyf同理可得：dy)-2(1x)-(y-exp-112)2exp()(22-22Xxxf)x(-2exp21dy2-exp2)2exp()(-1x-y22-2X2xxxf则有令例4.设(X,Y)的分布密度是其它,00,0,),()(yxeyxfyx求:(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度。解:dyyxfxfX),()(其它,00,)(xexfxX其它,00,)(