北师大版九年级下册何时获得最大利润教案

12006年全国初中青年数学教师优秀课比赛教案何时获得最大利润教材：北京师范大学出版社九年级下册第二章《二次函数》的第六节课时：1课时授课教师：成都七中育才学校程智娟一、教材分析（教材地位及作用）教材中的函数是从探索具体实际问题的数量关系和变化规律中抽象出来的，用于刻画变量之间关系的常用数学模型．函数的学习可以使学生感受事物是互相联系和有规律地变化着的，体会数形结合的思想方法．在本章前，教材通过探索变量之间关系，探究一次函数和反比例函数，已经逐渐让学生建立了函数的基础知识，初步积累了研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验．在本章的学习中，教材已研究了二次函数及其图象和性质，让学生初步了解了求特殊二次函数最大（小）值的一些方法．本节课在巩固二次函数性质及识图能力的同时，进一步让学生掌握利用二次函数知识求一些简单实际问题最大（小）值的方法，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力．本节知识具有承上启下的作用，既是前面所学知识的具体应用，又为学生在高中阶段进一步学习二次函数，以及用二次函数研究二次多项式、二次方程、二次不等式等知识奠定基础．二、教学目标：●知识与技能：(1).能为一些较简单的生活实际问题建立二次函数模型，并在此基础上，根据二次函数关系式和图象特点，确定二次函数的最大（小）值，从而解决实际问题．(2).由具体到抽象，进一步理解二次函数cbxaxy2图象的顶点坐标与函数最大（小）值的关系，并明确当0a时函数取得最大值，当0a时函数取得最小值．2●数学思考：(1).体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．(2).经历探究二次函数最大（小）值问题的过程，体会函数的思想方法和数形结合的思想方法．●解决问题：能将生活中的某些简单实际问题转化为二次函数模型，并能熟练运用二次函数知识解决这些实际生活中的最大（小）值问题．●情感与态度：(1).通过对实际生活中最大（小）值问题的探究，认识到二次函数是解决实际问题的重要工具．(2).积极参加数学活动，发展解决问题的能力，体会数学的应用价值．从而增强数学学习信心，体验成功的乐趣．三、教学重难点●教学重点：(1).探索销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义．(2).引导学生将简单的实际问题转化为数学问题，并运用二次函数知识求出实际问题的最大（小）值，从而得到解决某些实际生活中最大（小）值问题的思想方法．●教学难点：从实际问题中抽象出二次函数模型，以利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大（小）值问题．四、教学方式：引导——探究——发现五、学情分析：3九年级学生已初步掌握函数的基础知识，积累了研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的初步经验．由于年龄特征，他们借助直观图象更容易理解抽象的函数问题．我班学生思维较为活跃，在“引导——探究——发现”式的课堂教学中能积极参与讨论问题,大胆发表自己的见解和看法；但同样也存在审题不仔细、考虑问题不全面等不足．六、课前准备：教具：教材，课件，电脑学具：教材，练习本，铅笔，三角板七、教学过程：教学环节教师活动学生活动活动说明创设生活情境从生活中“T恤衫销售”情景引入“何时获得最大利润”问题．某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是20元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是35元时，销售量是600件，而单价每降低1元，就可以多销售200件．若设销售单价为x（20≤x≤35的整数）元，该商店所获利润为y元．请你帮助分析，销售单价是多少元时，可以获利最多？学生观看情景动画．用多媒体对教材进行再创造，再现生活中“T恤衫销售”情景，并对教材上的数据进行了修改，更贴近实际生活，帮助学生理解题意，激发学生的学习热情．探索1．教师提问：(1).此题主要研究哪两个变量之间的关系，哪个是自变量，哪个是因变量．学生独立思考回答第(1)问：销售单价为自变量，所获利润为因变量．为了让学生明确研究的是哪两个变量之间的关系，补充第(1)问．此问建立在学生4思考探索思考(2).销售量可以表示为；销售额（销售总收入）可以表示为；教师进行点评，得出答案，强调结果要化为最简形式.所获利润与销售单价之间的关系式可以表示为；(3).当销售单价是元时，可以获得最大利润，最大利润是元．在解决第(3)问中，先引导学生观察得出此函数为二次函数，再引导学生探索思考“何时获得最大利润”的数学意义．同桌两人在独立思考完成后，通过相互交流结果回答第(2)问，将不同结果写在黑板上.7600－200x；7600x－200x2；学生根据题意，列出此实际问题的函数关系式：y=200x2+11600x152000(20≤x≤35的整数)学生观察函数关系式，独立思考后讨论得出“何时获得最大利润”就是求在自变量x(20≤x≤35的整数)取何值时二次函数的y值最大．已有知识基础上,学生回答较为容易,鼓励学生独立思考完成．第(2)问，为了更容易找到两个变量间的函数关系式，先列代数式，要求学生独立思考完成．然后同桌两人讨论，允许学生间有不同意见．再让学生列出利润与单价的函数关系式，将实际问题转化为数学模型．使学生感受到“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内，此二次函数何时取得最大值问题．5探索思考2．探索求该二次函数最大值的方法．教师鼓励学生大胆猜想，发表不同意见．(1).将a=－200，b=11600，c=－152000代入顶点坐标公式（abacab44,22）得：)200(2116002ab=29．．16200)200(411600)152000()200(44422abac当x=29时，y的值最大，最大值为16200．(2).y=200x2+11600x152000=200(x29)2+16200．当x=29时，y的值最大，最大值为16200．(3).如果学生提出利用图象求此二次函数最大值，教师利用多媒体课件作出此二次函数图象：学生可能会提出利用顶点坐标公式求y的最大值；学生也有可能会利用配方法将此二次函数化为顶点式，求y的最大值；学生还可能提出画出图象求y的最大值的方法．在本章前面的学习中，学生已初步了解求特殊二次函数最大（小）值的方法．鼓励学生大胆猜想、探索求此二次函数最大值的方法．由于研究y=x2，y=－x2的最大（小）值时，教材是利用图象让学生分析理解的，因此学生很可能会提到利用图象来求y的最大值的方法．xyo5000102030401000015000y=200x2+11600x15200016200(29,16200)6探索思考教师提问：在此函数图象上怎样体现销售单价x为3520x的整数？教师对学生的回答作出补充或纠正．教师讲解：我们只是利用此二次函数图象帮助分析，图象上的点并不全满足题意．教师对这三种求此二次函数最大值的方法都给予肯定（根据学生回答情况调整探索三种方法的顺序）．学生思考并作出回答：受自变量取值范围的限制，该题的图象应为二次函数图象的一部分．如果学生提到：结合此题的实际背景，销售单价为整数，对应的利润值也为整数，此题的图象应由二次函数图象上一些不连续的点构成．通过此问题的设置，让学生体会实际问题中自变量通常有取值范围的限制，因此函数图象往往是相应二次函数图象的一部分．由于结合此题的实际背景，自变量x的取值范围为20≤x≤35的整数，图象应由此二次函数图象上一些不连续的点构成，对于此问题，如果学生提出给予简单讲解，若未提出，则不提此问题．通过探索求此二次函数最大值方法的过程，进一步让学生明确此二次函xyo500010203040100001500016200y=-200x2+11600x-152000(20≤x≤35)(29,16200)xyo500010203040100001500016200(29,16200)y=200x2+11600x152000(20≤x≤35的整数)7数的最大值就是顶点的纵坐标值．问题解决解决问题：当销售单价x是元时，可以获得最大利润y，最大利润y是元．学生验证：根据实际问题的意义，检验自变量的这一取值是否在取值范围内．当销售单价是29元时，可以获得最大利润是16200元．让学生明确在运用数学知识解决实际问题时，要注意与实际背景相结合．通过“提出问题——解决问题”的过程，前后呼应，巩固已学知识，并让学生体会二次函数是解决实际问题的一类重要数学模型．归纳求二次函数最值的一般方法同学们利用已学过的知识解决了“何时获得最大利润”问题．教师进一步提出：怎样来求一般二次函数的最值呢？学生观察二次函数图象，验证归纳得出：当a0时，二次函数最大值是顶点的纵坐标值；当a0时，二次函数的最小值也是顶由于前面研究的是a0的二次函数，因此先观察此类函数图象．有了a0的二次观察y=ax2+bx+c(a0)的图象顶点)44,2(2abacab1xyo18在此过程中鼓励学生相互补充．点的纵坐标值．最后归纳出求二次函数最大（小）值的方法：(1).配方化为顶点式求最大（小）值；(2).直接带入顶点坐标公式求最大（小）值；(3).利用图象找顶点求最大（小）值．函数最大值的验证过程后，学生很容易归纳出a0的二次函数最小值也是顶点的纵坐标值．通过对一般二次函数最大（小）值问题的探究归纳，让学生再次明确二次函数的最大（小）值就是顶点的纵坐标值，使学生明确求二次函数最大（小）值的三种方法．知识1．在本章第一节“种多少棵橙子树”的问题中，我们得到表示增种橙子树的数量x（棵）与橙子总产量y（个）的二次函数表达式为6000010052xxy，也曾用列表的方法得到一个猜想：当x=10时，橙子的总产量最多．现在请你验证一下你的猜想是否正确．你是怎样做的？与同伴交流．学生回答：1．y=5(x-10)2+60500,当x=10时，y=60500．此外，学生还可以利用顶点坐标公式、图象求该二次函数最大值．第1题运用求二次函数最大值的方法解决橙子最大产量问题，验证本章第一节所提出的问题中猜想的正确性．xyo11)44,2(2abacab顶点观察y=ax2+bx+c(a0)的图象9ABCD运用知识运用2．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度是15米，AB边为x米，所围成矩形的面积为y平方米．(1).写出y与x的关系式；(2).利用函数图象描述篱笆所围成的矩形面积与AB的长之间的关系；(3).当AB为多少米时，可以使篱笆所围成的矩形面积在50平方米以上？结合图象进行分析．教师利用多媒体展示该二次函数大致图象．2．(1).y=x2+15x(0x15)(2).引导学生分析图象得到当x7.5时，所围成矩形的面积随着AB的增大而增大；当x7.5时，所围成矩形的面积随着AB的增大而减小．(3).当5cmAB10cm时，可以使篱笆所围成的矩形面积在50平方米以上．第2题第(2)问，教师利用多媒体课件绘制该二次函数图象，学生利用图象直观分析，体会数形结合的思想方法，再次感受二次函数的最大值是图象顶点的纵坐标值．第(3)问通过设置由函数值求自变量取值的问题培养学生的逆向思维．xyy=-x2+15x(0x15)o102010203040605056.25103．某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元/件，经试销调查，发现销售量y（件）与销售单价x（元/件）可近似于一次函数：y=－x+1000(500≤x≤800，x为整数)．设公司获得毛利润（毛利润=销售总价－成本总价）为S元．(1).使用销售单价x表示毛利润S；(2).若你是试销员，要使公司获得最大的毛利润，销售单价应定为多少元？此时最大毛利润是多少元，销售量是多少件？3．(1)S=x2+1500x500000(500≤x≤800，x为整数)．(2).S=(x750)2+62500．当x=750时，S最大值=62500，此时y=250（件）．针对我班学生能力较强，思维比较活跃的特点，补充了一题综合利用一次函数和二次函数知识求最大毛利润的练习，