专题09 反比例函数的图像、性质和应用（解析板）

一、选择题1.（福州）如图，已知直线yx2分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线kyx交于E，F两点.若AB=2EF，则k的值是【】[来源:学§科§网Z§X§X§K]A．1B．1C．12D．34【答案】D．【解析】考点：1.反比例函数与一次函数交点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.相似三角形的判定和性质；4.轴对称的性质.3.（黔东南）如图，正比例函数y=x与反比例函数1yx的图象相交于A、B两点，BC⊥x轴于点C，则△ABC的面积为【】A．1B．2C．32D．524.（河北）定义新运算：ab0babab0b，例如：4⊕5=54，4⊕（-5）=54．则函数y=2⊕x（x≠0）的图象大致是【】[来源:Z,xx,k.Com]【答案】D．【解析】考点：1.新定义；2反比例.函数图象的分析；3.分类思想的应用5.（扬州）若反比例函数ky(k0)x的图像经过P(2,3)，则该函数的图像不经过．．．的点是（）A.)2,3(B.)6,1(C.)6,1(D.)6,1(6.（呼和浩特）已知函数1yx的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c＋1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根x1，x2判断正确的是【】A．x1＋x21，x1·x20B．x1＋x20，x1·x20C．0x1＋x21，x1·x20D．x1＋x2与x1·x2的符号都不确定【答案】C．【解析】试题分析：∵1x01xy1xx0x，且点A（a，c）在第一象限的一支曲线上，点B（b，c＋1）在第二象限的一支曲线上，考点：1.反比例函数的性质；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.一元二次方程根与系数的关系；4.分类思想的应用.7.（宁夏）已知两点111P(xy)，、222P(xy)，在函数5yx的图象上，当12xx0时，下列结论正确的是【】A.120yyB.210yyC.12yy0D.21yy0考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.反比例函数的性质．8.（潍坊）已知一次函数y1=kx+b（kO）与反比例函数y2=mx(m≠0)的图象相交于A、B两点，其横坐标分别是-1和3，当y1y2时，实数x的取值范围是()A．x-l或0x3B．一1x0或0x3C．一1x0或x3D．0x3【答案】A．【解析】试题分析：根据题意，在同一坐标系内作出一次函数y1=kx+b（kO）与反比例函数y2=mx(m≠0)的图象如图，当直线在双曲线上方时，x＜-1或x0＜x＜3.故选A．考点：1.反比例函数与一次函数的交点问题；2.数形结合思想的应用．9.（天津）已知反比例函数10yx，当1x2时，y的取值范围是【】（A）0y5（B）1y2（C）5y10（D）y1010.（重庆A）如图，反比例函数6yx在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为-1，-3.直线AB与x轴交于点C，则△AOC的面积为【】A.8B.10C.12D.24【答案】C.【解析】考点：1.反比例函数和一次函数交点问题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系.11.（重庆B）如图，正方形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，反比例函数ky(k0)x在第一象限的图象经过顶点A（m，2）和CD边上的点E（n，23），过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G（0，－2），则点F的坐标是【】A、5(,0)4B、7(,0)4C、9(,0)4D、11(,0)4【答案】C.【解析】试题分析：∵A（m，2），∴正方形ABCD的边长为2.∴点F的坐标是9(,0)4.故选C.考点：1.反比例函数和一次函数交点问题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.正方形的性质.[来源:Zxxk.Com]二、填空题1.（玉林、防城港）如图，OABC是平行四边形，对角线OB在轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线1kyx和2kyx的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：①12kAMCNk；②阴影部分面积是121kk2；③当∠AOC=90°时12kk；④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是▲（把所有正确的结论的序号都填上）．【答案】①④．【解析】∴S阴影部分=S△AOM+S△CON=12（|k1|+|k2|），而k1＞0，k2＜0，∴S阴影部分=12（k1﹣k2）.所以②错误.∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称.所以④正确．综上所述，正确的结论是①④．考点：1.反比例函数综合题；2.反比例函数的图象和k的几何意义；3.平行四边形、矩形的性质和菱形的性质．2.（遵义）如图，反比例函数kyx（k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，若E是AB的中点，S△BEF=2，则k的值为▲．【答案】8.【解析】3.（武汉）如图，若双曲线kyx与边长为5的等边△AOB的边OA、AB分别相交于C、D两点，且OC＝3BD，则实数k的值为▲.【答案】934.【解析】考点：1.反比例函数图象上点的坐标特征；2.等边三角形的性质；3.锐角三角函数定义；4.特殊角的三角函数值．4.（孝感）如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线kyx0x经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D，若OCDS9，则OBDS的值为▲．【答案】6.【解析】考点：1.反比例函数系数k的几何意义；2.三角形中位线的性质；3.相似三角形的判定和性质；4.转换思想的应用.5.（南京）已知反比例函数kyx的图像经过A（-2，3），则当x3时，y的值是▲.6.（赤峰）如图，反比例函数kyk0x的图象与以原点0,0为圆心的圆交于A、B两点，且A1,3，图中阴影部分的面积为▲．（结果保留）【答案】3.【解析】考点：1.圆和双曲线的对称性质；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.勾股定理；5.扇形面积的计算；6.转换思想和数形结合思想的应用.7.（滨州）如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4.反比例函数ky(x0)x的图象经过顶点C，则k的值为▲.【答案】－6.【解析】试题分析：∵菱形的两学科网条对角线的长分别是6和4，∴C（﹣3，2）.∵点C在反比例函数ky(x0)x的图象上，∴k23，解得k=－6.考点：1.菱形的性质；2.曲线上点的坐标与方程的关系.8.（上海）已知反比例函数kyx（k是常数，k≠0），在其图像所在的每一个象限内，y的值随着x的值的增大而增大，那么这个反比例函数的解析式是_________（只需写一个）．9.（成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线3yx2与双曲线6yx相交于A，B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP，BC.若△PBC的面积是20，则点C的坐标为▲.【答案】149,37.【解析】∵△PBC的面积是20，∴11462m20m23.∴66914m73.[来源:学科网]∴点C的坐标为149,37.[来源:学科网]考点：1.反比例函数和一次函数交点问题；2.待定系数法；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.转换思想的应用.10.（天津）已知反比例函数kyx（k为常数，k0）的图象位于第一、第三象限，写出一个符合条件的k的值为▲．11.（新疆、兵团）若点A（1，y1）和点B（2，y2）在反比例函数1yx图象上，则y1与y2的大小关系是：y1▲y2（填“＞”、“＜”或“=”）．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．[来源:学科网ZXXK]三、解答题1.（梅州）（本题满分7分）已知反比例函数kyx的图象经过点M(2，1).（1）求该函数的表达式；（2）当2x4时，求y的取值范围（直接写出结果）.考点：1.曲线上点的坐标与方程的关系；2.反比例函数的性质.2.（河南）（9分）如图，在直角梯形OABC中，BC//AO，∠AOC=900，点A、B的坐标分别为(5,0)、(2,6)，点D为AB上一点，且BD=2AD.双曲线kyx（x＞0）经过点D,交BC于点E.（1）求双曲线的解析式；（2）求四边形ODBE的面积.【答案】（1）8yx；（2）12.[来源:学*科*网Z*X*X*K]【解析】试题分析：（1）过点B、D作x轴的的垂线，垂足分别为点M、N，由DN∥BM得到△AND∽△ABM，∴双曲线的解析式为8yx．（2）∵点E在BC上，∴点E的纵坐标为6.3.（黄冈）如图，已知双曲线1yx与两直线1yx4、ykx（k0且1k4）分别相交于A、B、C、D四点．（1）当C(－1，1)时，A、B、D三点的坐标分别是A(▲，▲)、B(▲，▲)、D(▲，▲)．（2）证明：以A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形；（3）当k为何值时，ADBC是矩形？【答案】（1）11A2B222，，，，D（1，-1）；（2）证明见解析；（3）4.【解析】∴11A2B222，，，.（2）由反比例函数为中心对称图形，利用中心对称性质得到OA=OB，OC=OD，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形即可得证.（3）由A与B坐标，利用两点间的距学科网离公式求出AB的长，联立双曲线1yx与直线ykx，表示出CD的长，根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到AB=CD，即可求出此时k的值．∴C1,kk，D1,kk.∴22221111CDkkAB221722kk.整理得：4k1k40，解得：1k4（不合题意，舍去）或k=4，则当k=4时，ADBC是矩形．考点：1.反比例函数与正比例函数综合题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.平行四边形的判定；4矩形的性质；5.勾股定理；6.反比例函数与正比例函数的中心对称性质.4.（十堰）（8分）如图，点B（3，3）在双曲线kyx（x＞0）上，点D在双曲线4yx（x＜0）上，点A和点C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点A，B，C，D构成的四边形为正方形．（1）求k的值；（2）求点A的坐标．【答案】（1）9.（2）（1，0）．【解析】试题分析：（1）把B的坐标代入求出即可；∴∠ADM=∠BAN.在△ADM和△BAN中，∵∠ADM=∠BAN，∠DMA=∠ANB=90°，AD=AB，∴△ADM≌△BAN（AAS）.∴BN=AM=3，MD=AN=a.∴OA=3﹣a，即AM=b+3﹣a=3，a=b.∵ab=4，∴a=b=2.∴OA=3﹣2=1，即点A的坐标是（1，0）．考点：1.正方形的性质；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.全等三角形的判定和性质；3.待定系数法的应用．5.（襄阳）（6分）如图，一次函数y1=﹣x+2的图象与反比例函数2kyx的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C．已知tan∠BOC=12，点B的坐标为（m，n）．（1）求反比例函数的解析式；（2）请直接写出当x＜m时，y2的取值范围．【答案】（1）28yx；（2）y2＞0或y2＜﹣2．【解析】把点B（m，n）代入y1=﹣x+2得n=﹣m+2，∴n=2n+2，解得n=﹣2.∴m=4.∴B点坐标为（4，﹣2）.把B（4，﹣2）代入2kyx得k=4×（﹣2）=﹣8，∴反比例函数解析式为28yx.（2）当x＜4，y2的取值范围为y2＞0或y2＜﹣2．考点：1.反比例函数与一次函数的交点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.锐角三角函数定义；4.数形结合思想的应用.6.（赤峰）（12分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为