专题10 二次函数-三年（2019-2021）中考真题数学分项汇编（全国通用）（解析版）

1/69专题10.二次函数一、单选题1．（2021·山西中考真题）抛物线的函数表达式为2321yx，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（）A．2313yxB．2353yxC．2351yxD．2311yx【答案】C【分析】将题意中的平移方式转换成函数图像的平移，再求解析式即可．【详解】解：若将x轴向上平移2个单位长度，相当于将函数图像向下平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，相当于将函数图像向右平移3个单位长度，则平移以后的函数解析式为：23(23)12yx化简得：23(5)1yx，故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数图像平移，将题意中的平移方式转换为函数图像的平移是解决本题的关键．2．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）二次函数2(0)yaxbxca的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（）A．0abcB．函数的最大值为abcC．当31x剟时，0y…D．420abc【答案】D【分析】根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断a、b、c的符号，利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），从而分别判断各选项．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=-1，∴12ba，即b=2a，则b＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，则abc＞0，故A正确；当x=-1时，y取最大值为abc，故B正确；由于开口向上，对称轴为直线x=-1，则点（1，0）关于直线x=-1对称的点为（-3，0），即抛物线与x轴交于（1，0），（-3，0），∴当31x时，0y≥，故C正确；由图像可知：当x=-2时，y＞0，2/69即420yabc，故D错误；故选D．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．3．（2021·四川达州市·中考真题）如图，已知抛物线2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）经过点2,0，且对称轴为直线12x，有下列结论：①0abc；②0ab；③4230abc；④无论a，b，c取何值，抛物线一定经过,02ca；⑤2440ambmb≥．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【分析】①根据图像开口向上，对称轴位置，与y轴交点分别判断出a,b,c的正负②根据对称轴公式2bxa，12x判断,ab的大小关系③根据2x时，0y，比较423abc与0的大小；④根据抛物线的对称性，得到2x与1x时的函数值相等结合②的结论判断即可⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论．【详解】①图像开口朝上，故0a，根据对称轴“左同右异”可知0b，图像与y轴交点位于x轴下方，可知c00abc故①正确；②122bxa得ab0ab故②错误；③2yaxbxcQ经过2,0420abc又由①得c04230abc故③正确；④根据抛物线的对称性，得到2x与1x时的函数值相等当1x时0y，即0abcab20ac即12ca2yaxbxc经过,02ca，即经过(1,0)故④正确；3/69⑤当12x时,1142yabc,当xm时,2yambmc0a函数有最小值1142abc21142ambmcabc化简得2440ambmb≥，故⑤正确．综上所述：①③④⑤正确．选D．【点睛】本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图像的关系，结合图像逐项分析,结已知条件得出结论是解题的关键．4．（2021·陕西中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：x…-2013…y…6-4-6-4…下列各选项中，正确的是A．这个函数的图象开口向下B．这个函数的图象与x轴无交点C．这个函数的最小值小于-6D．当1x时，y的值随x值的增大而增大【答案】C【分析】利用表中的数据，求二次函数的解析式，再配成顶点式，根据二次函数的性质逐一分析即可判断．【详解】解：设二次函数的解析式为2yaxbxc，依题意得：42646abccabc，解得：134abc，∴二次函数的解析式为234yxx=232524x，∵10a，∴这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意；∵2243414250bac，∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意；∵10a，∴当32x时，这个函数有最小值2564，故C选项符合题意；∵这个函数的图象的顶点坐标为(32，254)，∴当32x时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，利用二次函数的性质解答是解题关键．5．（2021·四川眉山市·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线245yxx与y轴交于点C，则该抛物4/69线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为（）A．245yxxB．245yxxC．245yxxD．245yxx【答案】A【分析】先求出C点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x,y），求出它关于点C对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．【详解】解:当x=0时，y=5，∴C（0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x,y），∵原抛物线与新抛物线关于点C成中心对称，由20xx，2510yy；∴对应的原抛物线上点的坐标为,10xy；代入原抛物线解析式可得：21045yxx，∴新抛物线的解析式为：245yxx；故选：A．【点睛】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．6．（2021·上海中考真题）将抛物线2(0)yaxbxca向下平移两个单位，以下说法错误的是（）A．开口方向不变B．对称轴不变C．y随x的变化情况不变D．与y轴的交点不变【答案】D【分析】根据二次函数的平移特点即可求解．【详解】将抛物线2(0)yaxbxca向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y随x的变化情况不变；与y轴的交点改变,故选D．【点睛】此题主要考查二次函数的函数与图象，解题的关键是熟知二次函数图象平移的特点．7．（2021·江苏苏州市·中考真题）已知抛物线22yxkxk的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（）A．5或2B．5C．2D．2【答案】B【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答即可．【详解】解：函数22yxkxk向右平移3个单位，得：22(3)(3)yxkxk；再向上平移1个单位，得：22(3)(3)yxkxk+1，∵得到的抛物线正好经过坐标原点5/69∴220(03)(03)kk+1即20310kk解得：5k或2k∵抛物线22yxkxk的对称轴在y轴右侧∴2kx＞0∴k＜0∴5k故选：B．【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．8．（2021·天津中考真题）已知抛物线2yaxbxc（,,abc是常数，0a）经过点(1,1),(0,1)，当2x时，与其对应的函数值1y．有下列结论：①0abc；②关于x的方程230axbxc有两个不等的实数根；③7abc．其中，正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】D【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可【详解】∵抛物线2yaxbxc（,,abc是常数，0a）经过点(1,1),(0,1)，当2x时，与其对应的函数值1y．∴c=1＞0，a-b+c=-1,4a-2b+c＞1，∴a-b=-2,2a-b＞0，∴2a-a-2＞0，∴a＞2＞0，∴b=a+2＞0，∴abc＞0，∵230axbxc,∴△=24(3)bac=28ba＞0,∴230axbxc有两个不等的实数根；∵b=a+2，a＞2，c=1，∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，∵a＞2，∴2a＞4，∴2a+3＞4+3＞7，故选D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．9．（2021·四川遂宁市·中考真题）已知二次函数2(0)yaxbxca的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc；②24bac；③23cb；④2()abmamb（1m）；⑤若方程2axbxc＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y轴的交点得到a，b，c的取值，于是可对①进行6/69判断；根据抛物线与x轴的交点的个数可对②进行判断；根据对称轴可得12ba，则12ab，根据1x可得0abc，代入变形可对③进行判断；当1x时，yabc的值最大，即当(1)xmm时，即abc2ambmc，则可对④进行判断；由于方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．【详解】解：①∵抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴在y轴右侧，∴b＞0，∴abc＜0，①错误；②∵抛物线与x轴有两个交点∴24bac0∴24bac，故②错误；③∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴12ba，∴12ab由图象得，当1x时，0yabc，∴102bbc∴23cb，故③正确；④当1x时，yabc的值最大，∴当(1)xmm时，abc2ambmc，∴()abmamb（1m），∵b＞0，∴2()abmamb（1m），故④正确；⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，∴所有根之和为2×（-ba）=2×2aa=4，所以⑤错误．∴正确的结论是③④，故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac