专题16 解直角三角形-2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）（第1期）（解析版）

【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】专题16解直角三角形一．选择题1．（2022·天津）tan45的值等于（）A．2B．1C．22D．33【答案】B【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解．【详解】作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图：∴∠B=90°-45°=45°，∴△ABC是等腰三角形，AC=BC，∴根据正切定义，tan1BCAAC，∵∠A=45°，∴tan451，故选B．【点睛】本题考查了三角函数，熟练理解三角函数的定义是解题关键．2．（2022·四川乐山）如图，在RtABC中，90C，5BC，点D是AC上一点，连接BD．若1tan2A，1tan3ABD，则CD的长为（）A．25B．3C．5D．2【答案】C【分析】先根据锐角三角函数值求出25AC，再由勾股定理求出5,AB过点D作DEAB于点E，依据三【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】角函数值可得11,,23DEAEDEBE从而得32BEAE，再由5AEBE得AE=2，DE=1，由勾股定理得AD=5，从而可求出CD．【详解】解：在RtABC中，90C，5BC，∴1tan2BCAAC∴225,ACBC由勾股定理得,2222(25)(5)5ABACBC过点D作DEAB于点E，如图，∵1tan2A，1tan3ABD，∴11,,23DEDEAEBE∴11,,23DEAEDEBE∴1123AEBE∴32BEAE∵5,AEBE∴352AEAE∴2,AE∴1DE,在RtADE中,222ADAEDE∴2222215ADAEDE∵25,ADCDAC∴2555,CDACAD故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理，由锐角正切值求边长，正确作辅助线求出DE的长是解答本题的关键．3．（2022·浙江杭州）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（）A．cos1cosB．cos1sinC．sin1sinD．sin1cos【答案】D【分析】要使△ABC的面积S=12BC•h的最大，则h要最大，当高经过圆心时最大．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】【详解】解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，如图所示，∵AD⊥BC，∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，在Rt△BOD中，sinθ=1BDBDOB，cosθ=1ODODOB，∴BD=sinθ，OD=cosθ，∴BC=2BD=2sinθ，AD=AO+OD=1+cosθ，∴S△ABC=12AD•BC=12•2sinθ（1+cosθ）=sinθ（1+cosθ）．故选：D．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的应用与三角形面积的求法．4．（2022·云南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是OO的弦，AB⟂CD．垂足为E．若AB=26，CD=24，则∠OCE的余弦值为（）A．713B．1213C．712D．1312【答案】B【分析】先根据垂径定理求出12CECD，再根据余弦的定义进行解答即可．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，AB⟂CD．∴112,902CECDOEC，OC=12AB=13，∴12cos13CEOCEOC．故选：B．【点睛】此题考查的是垂径定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握垂径定理，锐角三角函数的定义是解答此题的关键．5．（2022·陕西）如图，AD是ABC的高，若26BDCD，tan2C，则边AB的长为（）【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】A．32B．35C．37D．62【答案】D【分析】先解直角ABC求出AD，再在直角ABD△中应用勾股定理即可求出AB．【详解】解：∵26BDCD，∴3CD，∵直角ADC中，tan2C，∴tan326ADCDC，∴直角ABD△中，由勾股定理可得，22226662ABADBD．故选D．【点睛】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键．6．（2022·浙江金华）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知6mBC，ABC，则房顶A离地面EF的高度为（）A．(43sin)mB．(43tan)mC．34msinD．34mtana【答案】B【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据轴对称图形得性质即可得BD=CD，从而利用锐角三角函数正切值即可求得答案．【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：∵它是一个轴对称图形，∴132BDDCBCm，tan3ADADBD，即3tanAD，房顶A离地面EF的高度为(43tan)m，故选B．【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握利用正切值及一条直角边求另一条直角边是解题的关键．7．（2022·浙江丽水）如图，已知菱形ABCD的边长为4，E是BC的中点，AF平分EAD交CD于点F，FGAD∥交AE于点G，若1cos4B，则FG的长是（）A．3B．83C．2153D．52【答案】B【分析】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，由题干所给条件可知，AG=FG，EG=GP，利用∠AGP=∠B可得到cos∠AGP=14，即可得到FG的长；【详解】过点A作AH垂直BC于点H，延长FG交AB于点P，【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】由题意可知，AB=BC=4，E是BC的中点，∴BE=2，又∵1cos4B，∴BH=1，即H是BE的中点，∴AB=AE=4，又∵AF是∠DAE的角平分线，AD∥FG，∴∠FAG=∠AFG，即AG=FG，又∵PF∥AD，AP∥DF，∴PF=AD=4，设FG=x，则AG=x，EG=PG=4-x，∵PF∥BC，∴∠AGP=∠AEB=∠B，∴cos∠AGP=12PGAG=22xx=14，解得x=83；故选B．【点睛】本题考查菱形的性质、角平分线的性质、平行线的性质和解直角三角形，熟练掌握角平分线的性质和解直角三角形的方法是解决本题的关键．8．（2022·四川广元）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（）A．35B．255C．25D．55【答案】B【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案．【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】则DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC．在△DCE中，有22215EC，222425DC，22345DE，∴22252025ECDCDE，∴DCE是直角三角形，且90DCE，∴cos∠APC＝cos∠EDC＝255DCDE．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．9．（2022·湖北随州）如图，已知点B，D，C在同一直线的水平，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β，CDa，则建筑物AB的高度为（）A．tantanaB．tantanaC．tantantantanaD．tantantantana【答案】D【分析】设AB=x，利用正切值表示出BC和BD的长，CD=BC-BD，从而列出等式，解得x即可．【详解】设AB=x，由题意知，∠ACB=α,∠ADB=β,∴tanxBD，tanxBC，∵CD=BC-BD，∴tantanxxa，∴tantantantanax，即AB=tantantantana，故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．二．填空题【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】10．（2022·山东泰安）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角30DPC，已知窗户的高度2mAF，窗台的高度1mCF，窗外水平遮阳篷的宽0.8mAD，则CP的长度为______（结果精确到0.1m）．【答案】4.4m##4.4米【分析】根据题意可得AD∥CP，从而得到∠ADB=30°，利用锐角三角函数可得tan0.46mABADADB，从而得到BC=AF+CF-AB=2.54m，即可求解．【详解】解：根据题意得：AD∥CP，∵∠DPC=30°，∴∠ADB=30°，∵0.8mAD，∴3tan0.80.46m3ABADADB，∵AF=2m，CF=1m，∴BC=AF+CF-AB=2.54m，∴2.544.4mtantan30BCCPBPC，即CP的长度为4.4m．故答案为：4.4m.【点睛】本题主要考查了解直角三角形、平行线的性质，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．11．（2022·天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及DPF的一边上的点E，F均在格点上．（Ⅰ）线段EF的长等于___________；（Ⅱ）若点M，N分别在射线,PDPF上，满足90MBN且BMBN．请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）___________．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】【答案】10见解析【分析】（Ⅰ）根据勾股定理，从图中找出EF所在直角三角形的直角边的长进行计算；（Ⅱ）由图可找到点Q，10EQBQEFBF，即四边形EFBQ是正方形，因为90BMBNMBN，，所以BQMBFN，点M在EQ上，BM、BN与圆的交点为直径端点，所以EQ与PD交点为M，通过BM与圆的交点G和圆心O连线与圆相交于H，所以H在BN上，则延长BH与PF相交点即为N．【详解】解：（Ⅰ）从图中可知：点E、F水平方向距离为3，竖直方向距离为1，所以223110EF，故答案为：10；（Ⅱ）连接AC，与竖网格线相交于点O，O即为圆心；取格点Q（E点向右1格，向上3格），连接EQ与射线PD相交于点M；连接MB与O相交于点G；连接GO并延长，与O相交于点H；连接BH并延长，与射线PF相交于点N，则点M，N即为所求，理由如下：连接,BQBF由勾股定理算出221310BQQEEFBF，由题意得90MQBQEFBFEQBF，四边形BQEF为正方形，在RtBQM和RtBFN中，BQBF，1tantan3QBAFBC，QBAFBC，AOGCOH，AGCH，ABGHBC，MBQNBF()RtBQMRtBFNASA≌BMBN，90QBMMBFMBFFBN90MBN，从而确定了点,MN的位置．【点睛】本题考查作图，锐角三角函数、圆周角定理，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握圆周【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】角的定理．12．（2022·江苏扬州）在ABC中，90C，abc、、分别为ABC、、的对边，若2bac，则sinA的值为__________．【答案】152【详解】解：如图所示：在RtABC中，由勾股定理可知：222abc，2acb，22aacc，0a，0b，0c，2222aacccc，即：21aacc，求出152ac或152ac（舍去），在RtABC中：1in52sacA，故答案为：152．【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．在RtABC中，