专题20 与圆相关的压轴题-2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）（第2期）（解析版）

【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】专题20与圆相关的压轴题解答题1．（2022·湖北宜昌）已知，在ABC中，90ACB，6BC，以BC为直径的O与AB交于点H，将ABC沿射线AC平移得到DEF，连接BE．(1)如图1，DE与O相切于点G．①求证：BEEG；②求BECD的值；(2)如图2，延长HO与O交于点K，将DEF沿DE折叠，点F的对称点'F恰好落在射线BK上．①求证：'HKEF∥；②若'3KF，求AC的长．【答案】(1)①见解析；②9BECD(2)①见解析；②AC的长为23【分析】（1）①用切线角定理即可证②连接OE，OD，OG，证明ODGEOG△∽△，利用相似对应边成比例即可得到（2）①延长HK交BE于点Q，设ABC，利用题目中平移，折叠的对应角相等，BQO和'BEF用α表示出来，得到'BQOBEF即可②连接'FF，交DE于点N，证明HBKENF△≌△，设BKx，利用HBKFCB△∽△，算出x；在RtHBK△中，31sin62BKBHKKH，在RtABC中，即可求出AC的长(1)①如第23题图1【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】∵ABC沿射线AC方向平移得到DEF∴BECF∥∵90ACB∴90CBEACB方法一：连接OG，OE∵DE与O相切于点G∴90OGE∴90OBEOGE∵OBOG，OE为公共边∴RtBOERtGOEHL△≌△∴BEGE方法二：∵BC是O的直径∴BE与O相切于点B∵DE与O相切于点G∴BEGE②如第23题图2方法一：【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】过点D作DMBE于点M∴90DMB由（1）已证90CBEBCF∴四边形BCDM是矩形∴CDBM，DMBC由（1）已证：BEGE同理可证：CDDG设BEx，CDy在RtDME中，222DMMEDE∴2226xyxy∴9xy即9BECD方法二：图3，连接OE，OD，OG∵DE与O相切于点G，BE与O相切于点B，CD与O相切于点C∴BEGE，CDDG，12OEGBEG，12ODGCDG∵BECF∥∴180BEGCDG∴90OEGODG∴90EOD∴90DOGGOE又∵DE与O相切于点G∴OGDE【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】∴90DOGODG∴GOEODG∴ODGEOG△∽△∴OGEGDGOG，即2OGDGEG∵O的直径为6∴3OG∴9BECD(2)①方法一：如图4延长HK交BE于点Q设ABC∵在O中，OBOH∴BHOOBH∴2BOQBHOOBH∴902BQO∵ABC沿射线AC方向平移得到DEF，DEF沿DE折叠得到'DEF△∴'DEFDEFABC∴'902BEF∴'BQOBEF∴'HKEF∥方法二：∵HK是O的直径，【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】∴90HBK，设ABC，在O中，OBOH，∴BHOOBH，∴'90HKF，∵ABC沿射线AC方向平移得到DEF，DEF沿DE折叠得到'DEF△，∴'DEFDEFABC，∴'902BEF，∵'EBFABC，在'BEF△中，'180''90BFEEBFBEF，∴''HKFBFE，∴'HKEF∥.方法三：如图，延长'BF交DN于点N∵ABC沿射线AC方向平移得到DEF∴ABDE∥，ABCDEF△≌△∵DEF沿DE折叠得到'DEF△∴'DEFDEF△≌△∴'DEFABC△≌△∴'ABCDEF，'EFBC∵HKBC∴'EFHK∵HK是直径∴90ABK【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】∵ABDE∥∴90ABKBNE∴'DEFABC△≌△∴'BKHEFN∴180180'BKHEFN即'HKFEFK∴'HKEF∥②连接'FF，交DE于点N，如图6∵DEF沿DE折叠，点F的对称点为'F∴'EDFF，1'2FNFF∵HK是O的直径∴90HBK，点'F恰好落在射线BK上∴'BFAB∵ABC沿射线AC方向平移得到DEF∴ABDE∥，BCEF∴点B在'FF的延长线上∴点B，'F，F这三点在同一条直线上而BC为O的直径∴HKBCEF在HBK和ENF△中HBKENF；BHONEF；HKEF∴HBKENF△≌△∴BKNF【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】设BKx，则''3233BFBKKFFFxxx∵OBOK∴OBKOKB而90HBKBCF∴HBKFCB△∽△∴BKHKBCBF∴6633xx解得：13x，24x（不合题意，舍）∴3BK在RtHBK△中，31sin62BKBHKKH∴30BHK∴30ABC在RtABC中，tantan30ACABCBC∴36tan306233AC即AC的长为23【点睛】本题考查折叠，三角形全等，三角形相似，圆的性质；巧妙构造辅助线，利用上题目所给条件是本题的关键2．（2022·贵州遵义）与实践“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果BD，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】探究展示：如图2，作经过点A，C，D的O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE则180AECD（依据1）BD180AECB点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）点B，D在点A，C，E所确定的O上（依据2）点A，B，C，E四点在同一个圆上(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？依据1：__________；依据2：__________．(2)图3，在四边形ABCD中，12，345，则4的度数为__________．(3)展探究：如图4，已知ABC是等腰三角形，ABAC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】①求证：A，D，B，E四点共圆；②若22AB，ADAF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．【答案】(1)圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等(2)45°(3)①见解析；②8【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等作答即可；（2）根据同弧所对的圆周角相等即可求解；（3）①根据（1）中的结论证明AEDABD即可得证；②证明BADFAB∽，根据相似三角形的性质即可求解．(1)如图2，作经过点A，C，D的O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE则180AECD（圆内接四边形对角互补）BD180AECB点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】点B，D在点A，C，E所确定的O上（同圆中，同弧所对的圆周角相等）点A，B，C，E四点在同一个圆上故答案为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等(2)在线段CD同侧有两点A，B，12,,,ABCD四点共圆，ADAD4345故答案为：45(3)ABAC，ABCACB，E点与C点关于AD对称，ACDAED，AEBABD，,,,ADBE四点共圆；②8ADAF，理由如下，如图，,,,ADBE四点共圆，FBDDAE，,AEAC关于AD对称，DAEDAC，DACDBF∴，ADCBDF，FACD，ABAC，ABDACD，FABD，又BADFAB，BADFAB∽，【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】ABADAFAB，2ADAFAB，22AB，8ADAF．【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．3．（2022·黑龙江哈尔滨）已知CH是O的直径，点A，点B是O上的两个点，连接,OAOB，点D，点E分别是半径,OAOB的中点，连接,,CDCEBH，且2AOCCHB．(1)如图1，求证：ODCOEC；(2)如图2，延长CE交BH于点F，若CDOA，求证：FCFH；(3)如图3，在（2）的条件下，点G是BH上一点，连接,,,AGBGHGOF，若:5:3AGBG，2HG，求OF的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)193OF【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】【分析】（1）根据SAS证明CODCOE即可得到结论；（2）证明HECO即可得出结论；（3）先证明OFCH，连接AH，证明AHBH，设5AGx，3BGx，在AG上取点M，使得AMBG，连接MH，证明MHG△为等边三角形，得2MGHG，根据AGAMMG可求出1x，得5AG，3BG，过点H作HNMG于点N，求出19HB，再证2HFOF，根据319HBOF可得结论．(1)如图1．∵点D，点E分别是半径,OAOB的中点∴12ODOA=，12OEOB∵OAOB，∴ODOE∵2BOCCHB，2AOCCHB∴AOCBOC∵OCOC∴CODCOE，∴CDOCEO；(2)如图2．∵CDOA，∴90CDO【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】由（1）得90CEOCDO，∴1sin2OEOCEOC∴30OCE，∴9060COEOCE∵11603022HBOC∴HECO，∴FCFH(3)如图3．∵COOH，∴OFCH∴90FOH∠连接AH．∵60AOCBOC∴120AOHBOH，∴AHBH，60AGH∵:5:3AGBG设5AGx，∴3BGx【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】在AG上取点M，使得AMBG，连接MH∵HAMHBG，∴HAMHBG△≌△∴MHGH，∴MHG△为等边三角形∴2MGHG∵AGAMMG，∴532xx∴1x，∴5AG∴3BGAM，过点H作HNMG于点N112122MNGM，sin603HNHG∴4ANMNAM，∴2219HBHANAHN∵90FOH∠，30OHF，∴60OFH∵OBOH，∴30BHOOBH，∴30FOBOBF∴OFBF，在RtOFH中，30OHF，∴2HFOF∴319HBBFHFOF，∴193OF．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．4．（2022·黑龙江绥化）如图所示，在O的内接AMN中，90MAN，2AMAN，作ABMN于点【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】P，交O于另一点B，C是¼AM上的一个动点（不与A，M重合），射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．(1)求证：CMACBD△∽△．(2)若10MN，MCNC，求BC的长．(3)在点