专题21 与三角形、四边形相关的压轴题-2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）（第2期）（原卷版

【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】专题21与三角形、四边形相关的压轴题解答题1．（2022·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程27120xx的两个根OAOB，4tan3DAB，动点P从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿折线DCCB向点B运动，到达B点停止．设运动时间为t秒，APC△的面积为S．(1)求点C的坐标；(2)求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；(3)在点P的运动过程中，是否存在点P，使CMP!是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022·贵州黔东南）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图，ABC和BDE都是等边三角形，点A在DE上．求证：以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接DC，根据已知条件，可以证明DCAE，120ADC，从而得出ADC为钝角三角形，故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．(2)【拓展迁移】如图，四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形，点A在EG上．①试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由．②若2210AEAG，试求出正方形ABCD的面积．3．（2022·海南）如图1，矩形ABCD中，6,8ABAD，点P在边BC上，且不与点B、C重合，直线AP与DC的延长线交于点E．(1)当点P是BC的中点时，求证：ABPECP△≌△；(2)将APB△沿直线AP折叠得到APB，点B落在矩形ABCD的内部，延长PB交直线AD于点F．①证明FAFP，并求出在（1）条件下AF的值；②连接BC，求PCB△周长的最小值；③如图2，BB交AE于点H，点G是AE的中点，当2EABAEB时，请判断AB与HG的数量关系，并说明理由．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】4．（2022·吉林）如图，在ABC中，90ACB，30A，6cmAB．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B匀速运动．以PA为一边作120APQ，另一边PQ与折线ACCB相交于点Q，以PQ为边作菱形PQMN，点N在线段PB上．设点P的运动时间为(s)x，菱形PQMN与ABC重叠部分图形的面积为2()cmy．(1)当点Q在边AC上时，PQ的长为cm；（用含x的代数式表示）(2)当点M落在边BC上时，求x的值；(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．5．（2022·黑龙江牡丹江）在菱形ABCD和正三角形BGF中，60ABC，P是DF的中点，连接PG、PC．(1)如图1，当点G在BC边上时，写出PG与PC的数量关系．（不必证明）(2)如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；(3)如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】6．（2022·内蒙古呼和浩特）下面图片是八年级教科书中的一道题：如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，90AEF，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AEEF．（提示：取AB的中点G，连接EG．）(1)请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：；(2)如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AEEF；(3)在（2）的条件下，连接AC，过点E作EPAC，垂足为P．设BEkBC，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明．7．（2022·福建）已知ABCDEC≌△△，AB＝AC，AB＞BC．(1)如图1，CB平分∠ACD，求证：四边形ABDC是菱形；(2)如图2，将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于∠BAC），BC，DE的延长线相交于点F，用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系，并证明；(3)如图3，将（1）中的△CDE绕点C顺时针旋转（旋转角小于∠ABC），若BADBCD，求∠ADB的度数．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】8．（2022·湖南衡阳）如图，在菱形ABCD中，4AB，60BAD，点P从点A出发，沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，过点P作PQAB于点Q，作PMAD交直线AB于点M，交直线BC于点F，设PQM与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动时间为t（秒）．(1)当点M与点B重合时，求t的值；(2)当t为何值时，APQ与BMF全等；(3)求S与t的函数关系式；(4)以线段PQ为边，在PQ右侧作等边三角形PQE，当24t时，求点E运动路径的长．9．（2022·浙江金华）如图，在菱形ABCD中，310,sin5ABB，点E从点B出发沿折线BCD向终点D运动．过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH．(1)如图1，点G在AC上．求证：FAFG．(2)若EFFG，当EF过AC中点时，求AG的长．(3)已知8FG，设点E的运动路程为s．当s满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与BEF相似（包括全等）？【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】10．（2022·四川南充）如图，在矩形ABCD中，点O是AB的中点，点M是射线DC上动点，点P在线段AM上（不与点A重合），12OPAB．(1)判断ABP△的形状，并说明理由．(2)当点M为边DC中点时，连接CP并延长交AD于点N．求证：PNAN．(3)点Q在边AD上，85,4,5ABADDQ，当90CPQ时，求DM的长．11．（2022·湖北武汉）已知CD是ABC的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，ADm，BDn，ADE与BDF的面积之和为S．(1)填空：当90ACB，DEAC，DFBC时，①如图1，若45B，52m，则n_____________，S_____________；②如图2，若60B，43m，则n_____________，S_____________；(2)如图3，当90ACBEDF时，探究S与m、n的数量关系，并说明理由：(3)如图4，当60ACB，120EDF，6m，4n时，请直接写出S的大小．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】12．（2022·山东临沂）已知ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，CD．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)在线段AC上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD绕点Р逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点Р在线段AC上的位置发生变化时，DPQ的大小是否发生变化？说明理由．(3)在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．13．（2022·江西）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板90,60PEFPF的一个顶点放在正方形中心O处，并绕点O逆时针旋转，探究直角三角板PEF与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P放在点O处，在旋转过程中，当OF与OB重合时，重叠部分的【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】面积为__________；当OF与BC垂直时，重叠部分的面积为__________；一般地，若正方形面积为S，在旋转过程中，重叠部分的面积1S与S的关系为__________；(2)类比探究：若将三角板的顶点F放在点O处，在旋转过程中，,OEOP分别与正方形的边相交于点M，N．①如图2，当BMCN时，试判断重叠部分OMN的形状，并说明理由；②如图3，当CMCN时，求重叠部分四边形OMCN的面积（结果保留根号）；(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O处，该锐角记为GOH（设GOH），将GOH绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，GOH的两边与正方形ABCD的边所围成的图形的面积为2S，请直接写出2S的最小值与最大值（分别用含的式子表示），（参考数据：6262sin15,cos15,tan152344）14．（2022·贵州贵阳）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．如图，在ABCD□中，AN为BC边上的高，ADmAN，点M在AD边上，且BABM，点E是线段AM上任意一点，连接BE，将ABE△沿BE翻折得FBE．(1)问题解决：如图①，当60BAD，将ABE△沿BE翻折后，使点F与点M重合，则AMAN______；(2)问题探究：如图②，当45BAD，将ABE△沿BE翻折后，使EFBM∥，求ABE的度数，并求出此时m的最小值；(3)拓展延伸：当30BAD，将ABE△沿BE翻折后，若EFAD，且AEMD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】15．（2022·吉林长春）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形ABCD为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中2ADAB．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点B的对应点为点E，折痕为AF；再沿过点F的直线折叠，使点C落在EF上，点C的对应点为点H，折痕为FG；然后连结AG，沿AG所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想ADGAFG△≌△．【问题解决】(1)小亮对上面ADGAFG△≌△的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：证明：四边形ABCD是矩形，∴90BADBCD．由折叠可知，1452BAFBAD，BFAEFA．∴45EFABFA．∴2AFABAD．请你补全余下的证明过程．【结论应用】(2)DAG的度数为________度，FGAF的值为_________；(3)在图①的条件下，点P在线段AF上，且12APAB，点Q在线段AG上，连结FQ、PQ，如图②，设ABa=，则FQPQ的最小值为_________．（用含a的代数式表示）【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】16．（2022·广东深圳）（1）【探究发现】如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将AEB△沿BE翻折到BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：BFGBCG△≌△（2）【类比迁移】如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且8,6,ADAB将AEB△沿BE翻折到BEF处，延长EF交BC边于点,G延长BF交CD边于点,H且,FHCH求AE的长．（3）【拓展应用】如图③，在菱形ABCD中，E为CD边上的三等分点，60,D将ADE沿AE翻折得到AFE△，直线EF交BC于点,P求CP的长．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】17．（2022·黑龙江）ABC和ADE都是等边三角形．(1)将ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PAPBPC（或PAPCPB）成立；请证明．(2)将ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．18．（2022·辽宁锦州）在ABC中，ACBC，点D在线段AB上，连接CD并延长至点E，使DECD，过点E作EFAB，交