专题22 与二次函数相关的压轴题-2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）（第2期）（解析版）

【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】专题22与二次函数相关的压轴题解答题1．（2022·湖北鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，14a）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣14a上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣14a叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF=12a，例如，抛物线y＝12x2，其焦点坐标为F（0，12），准线方程为l：y＝﹣12．其中MF=MN，FH=2OH=1．(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：，．(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线y＝18x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：ACAB＝BCAC＝512．后人把512这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．如图4所示，抛物线y＝14x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当MHMF＝2时，请直接写出△HME的面积值．【答案】(1)（0，18），18y，(2)42，4）或（42，4）(3)14a(4)51或35【分析】（1）根据交点和准线方程的定义求解即可；【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】（2）先求出点P的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可；（3）如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，证明△FDB∽△FHC，推出16FDa，则112ODOFDFa，点B的纵坐标为112a，从而求出36BDa，证明△AEF∽△BDF，即可求出点A的坐标为（23，124a），再把点A的坐标代入抛物线解析式中求解即可；（4）如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF，先证明△MNH是等腰直角三角形，得到NH=MN，设点M的坐标为（m，214m），则2114MNmmHN，求出2m，然后根据黄金分割点的定义求出51HE，则1=512HMESHENH△；同理可求当点E是靠近H的黄金分割点时△HME的面积．(1)解：由题意得抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程分别为（0，18），18y，故答案为：（0，18），18y，(2)解：由题意得抛物线y＝18x2的准线方程为124ya，∵点P到准线l的距离为6，∴点P的纵坐标为4，∴当4y时，2148x，解得42x，∴点P的坐标为（42，4）或（42，4）；(3)解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，由题意得点F的坐标为F（0，14a）直线l的解析式为：y＝﹣14a，∴BDAECH∥∥，12FHa，∴△FDB∽△FHC，∴BDFDFBHCFHFC，∵BC=2BF，∴CF=3BF，【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】∴1=3BDFDFBHCFHFC，∴16FDa，∴112ODOFDFa，∴点B的纵坐标为112a，∴2112axa，解得36xa（负值舍去），∴36BDa，∵AEBD∥，∴△AEF∽△BDF，∴3AEBDEFDF，∴3AEEF，∵222AEEFAF，∴22416EFAF，∴EF=2，∴AE23，∴点A的坐标为（23，124a），∴12124aa，∴248810aa，∴121410aa，解得14a（负值舍去）；【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】(4)解：如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF，∵在Rt△MNH中，2sin=2MNMFMHNMHMH∠，∴∠MHN=45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴NH=MN，设点M的坐标为（m，214m），∴2114MNmmHN，∴2m，∴HN=2，∵点E是靠近点F的黄金分割点，∴51512HEHF，∴1=512HMESHENH△；同理当E时靠近H的黄金分割点点，51512EFHF，∴25135HE，∴1=352HMESHENH△，综上所述，=252HMES△或=35HMES△【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，黄金分割等，正确理解题意是解题的关键．2．（2022·江苏无锡）已知二次函数214yxbxc图像的对称轴与x轴交于点A（1，0），图像与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C在点D的左侧），且90CAD．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；(3)点C是否存在其他的位置，使得【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)211342yxx(2)1(3)2,1，317,172，117,217【分析】（1）二次函数与y轴交于点0,3B，判断3c，根据1,0A，即二次函数对称轴为1x，求出b的值，即可得到二次函数的表达式；（2）证明ADEBAO∽，得到BOOAAEDE，即BODEOAAE，设211,342Dttt，点D在第一象限，根据点的坐标写出长度，利用BODEOAAE求出t的值，即可AE，DE的值，进一步得出tan∠CDA的值；（3）根据题目要求，找出符合条件的点C的位置，在利用集合图形的性质，求出对应点C的坐标即可。(1)解：∵二次函数214yxbxc与y轴交于点0,3B，∴3c，即2134yxbx，∵1,0A，即二次函数对称轴为1x，∴11224bbxa，∴12b，∴二次函数的表达式为211342yxx．(2)解：如图，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD，【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】∵90CAD，∴90BAODAE，∵90ADEDAE，∴ADEBAO，∵90BOADEA，∴ADEBAO∽，∴BOOAAEDE，即BODEOAAE，∵0,3B，1,0A，∴3BO，1OA，设：211,342Dttt，点D在第一象限，∴OEt，211342DEtt，1AEOEOAt，∴211331142ttt，解得：1103t（舍），24t（舍），当24t时，211443142y，∴413AE，1DE，∴22221310ADDEAE，22221310ABOAOB∵在RtBADV中，【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】∴10tan110ABCDAAD(3)解：存在，如图，（2）图中RtBADV关于对称轴对称时，tan1CDA，∵点D的坐标为4,1，∴此时，点C的坐标为2,1，如图，当点C、D关于对称轴对称时，此时AC与AD长度相等，即tan1CDA，当点C在x轴上方时，过点C作CE垂直于x轴，垂足为E，∵90CAD，点C、D关于对称轴对称，∴45CAE，∴CAEV为等腰直角三角形，【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】∴CEAE，设点C的坐标为211,342mmm，∴211342CEmm，1AEm，∴2113142mmm解得：1317m，2317m（舍），此时，点C的坐标为317,172，当点C在x轴下方时，过点C作CF垂直于x轴，垂足为F，∵90CAD，点C、D关于对称轴对称，∴45CAF，∴CAFV为等腰直角三角形，∴CFAF，设点C的坐标为211,342mmm，∴211342CFmm，1AEm，∴2113142mmm解得：1117m（舍），2117m，此时，点C的坐标为117,217，【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】综上：点C的坐标为2,1，317,172，117,217．【点睛】本题考查二次函数的综合问题，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．3．（2022·山西）综合与探究如图，二次函数213442yxx的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PDx轴于点D，作直线BC交PD于点E(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；(2)当CEP△是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)连接AC，过点P作直线lAC∥，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CEFD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)2,0,8,0AB，点C的坐标为0,4；142yx(2)4,6(3)存在；m的值为4或252【解析】【分析】（1）令213442yxx中y和x分别为0，即可求出A，B，C三点的坐标，利用待定系数法求直线BC的函数表达式；（2）过点C作CGPD于点G，易证四边形CODG是矩形，推出CGOB∥，4DGOC，CGODm，再证明CGEBOC△∽△，推出12EGm，由等腰三角形三线合一的性质可以得出12PGEGm，则142PDPGDGm，由P点在抛物线上可得213442PDmm，联立解出m，代入二次函数解析式【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】即可求出点P的坐标；（3）分点F在y轴的负半轴上和点F在y轴的正半轴上两种情况，画出大致图形，当CEFD时，EGOF，由（2）知12EGm，用含m的代数式分别表示出OF，列等式计算即可．(1)解：由213442yxx得，当0x时，4y，∴点C的坐标为0,4．当0y时，2134042xx，解得122,8xx．∵点A在点B的左侧，∴点A，B的坐标分别为2,0,8,0AB．设直线BC的函数表达式为ykxb，将8,0B，0,4C代入得084kbb，解得124kb，∴直线BC的函数表达式为142yx﹒(2)解：∵点P在第一象限抛物线上，横坐标为m，且PDx轴于点D，∴点P的坐标为213,442mmm，ODm，∴213442PDmm．∵点B的坐标为8,0，点C的坐标为0,4，∴8OB，4OC．过点C作CGPD于点G，则90CGD．∵90PDOCOD，∴四边形CODG是矩形，【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】∴CGOB∥，4DGOC，CGODm．∴12．∵90CGEBOC，∴CGEBOC△∽△．∴EGCGCOBO，即48EGm，∴12EGm．在CPE△中，∵,CPCECGPE，∴12PGEGm．∴142PDPGDGm，∴213144422mmm解得124,0mm（舍去），∴4m．当4m时，2134642ymm﹒∴点P的坐标