专题22 与二次函数相关的压轴题-2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）（第2期）（原卷版）

【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】专题22与二次函数相关的压轴题解答题1．（2022·湖北鄂州）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点F（0，14a）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣14a上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣14a叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF=12a，例如，抛物线y＝12x2，其焦点坐标为F（0，12），准线方程为l：y＝﹣12．其中MF=MN，FH=2OH=1．(1)【基础训练】请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：，．(2)【技能训练】如图2所示，已知抛物线y＝18x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标；(3)【能力提升】如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；(4)【拓展升华】古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：ACAB＝BCAC＝512．后人把512这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点．如图4所示，抛物线y＝14x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当MHMF＝2时，请直接写出△HME的面积值．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】2．（2022·江苏无锡）已知二次函数214yxbxc图像的对称轴与x轴交于点A（1，0），图像与y轴交于点B（0，3），C、D为该二次函数图像上的两个动点（点C在点D的左侧），且90CAD．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点C与点B重合，求tan∠CDA的值；(3)点C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值与（2）中所求的值相等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022·山西）综合与探究：如图，二次函数213442yxx的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PDx轴于点D，作直线BC交PD于点E(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；(2)当CEP△是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)连接AC，过点P作直线lAC∥，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CEFD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】4．（2022·四川宜宾）如图，抛物线2yaxbxc与x轴交于3,0A、1,0B两点，与y轴交于点0,3C，其顶点为点D，连结AC．(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；(2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；(3)在（2）的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求35PFPM的最小值．5．（2022·湖北恩施）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线2yxc与y轴交于点0,4P．(1)直接写出抛物线的解析式．(2)如图，将抛物线2yxc向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】(3)直线BC与抛物线2yxc交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与ABC相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．(4)若将抛物线2yxc进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点时，请直接写出拋物线2yxc平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．6．（2022·广西玉林）如图，已知抛物线：22yxbxc=-++与x轴交于点A，(2,0)B（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线12x，P是第一象限内抛物线上的任一点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D为线段OC的中点，则POD能否是等边三角形？请说明理由；(3)过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与BMH相似，求点P的坐标．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】7．（2022·广西）已知抛物线2yx2x3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．(1)求点A，点B的坐标；(2)如图，过点A的直线:1lyx与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接PAPC、，设点P的纵坐标为m，当PAPC时，求m的值；(3)将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线2(23)(0)yaxxa与线段MN只有一个交点，请直接写出．．．．a的取值范围．8．（2022·福建）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线2yaxbx经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．(1)求抛物线的解析式；(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；(3)如图，OP交AB于点C，PDBO∥交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为1S，2S，3S．判断1223SSSS是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】9．（2022·贵州黔东南）如图，抛物线2yax2xc的对称轴是直线1x，与x轴交于点A，3,0B，与y轴交于点C，连接AC．(1)求此抛物线的解析式；(2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DMx轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；(3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2022·湖南长沙）若关于x的函数y，当1122txt时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数2MNh，我们不妨把函数h称之为函数y的“共同体函数”．(1)①若函数4044yx，当1t时，求函数y的“共同体函数”h的值；②若函数ykxb（0k，k，b为常数），求函数y的“共同体函数”h的解析式；(2)若函数21yxx（），求函数y的“共同体函数”h的最大值；(3)若函数24yxxk，是否存在实数k，使得函数y的最大值等于函数y的“共同体函数”h的最小值．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】11．（2022·湖北武汉）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线223yxx的顶点为A，与y轴交于点C，线段CBx∥轴，交该抛物线于另一点B．(1)求点B的坐标及直线AC的解析式：(2)当二次函数223yxx的自变量x满足2mxm剟时，此函数的最大值为p，最小值为q，且2pq．求m的值：(3)平移抛物线223yxx，使其顶点始终在直线AC上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围．12．（2022·内蒙古通辽）如图，抛物线2yxbxc与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，直线BC方程为3yx．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上一点，若12PBCABCSS，请直接写出点P的坐标；(3)点Q是抛物线上一点，若45ACQ，求点Q的坐标．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】13．（2022·山东烟台）如图，已知直线y＝43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2022·山东聊城）如图，在直角坐标系中，二次函数2yxbxc的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点0,3C，对称轴为直线1x，顶点为点D．(1)求二次函数的表达式；(2)连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：DACBCO；【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】(3)如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数2yxbxc的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点1D且12CDCD，得到新抛物线1y，1y交y轴于点N．如果在1y的对称轴和1y上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．15．（2022·黑龙江齐齐哈尔）综合与探究如图，某一次函数与二次函数2yxmxn的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．(1)求抛物线的解析式；(2)点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为；(3)点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度的最大值；(4)在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】16．（2022·湖南）如图，已知抛物线2()30yaxbxa的图像与x轴交于(1,0)A，(4,0)B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标；(2)若四边形BCEF为矩形，3CE．点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与BOC相似时，求运动时间t的值；(3)抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线图像上的动点．若过点Q的直线9:()4lykxmk与抛物线只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GHGK为定值．【中小学教辅资源店微信：mlxt2022】17．（2022·内蒙古包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)yaxca与x轴交于A，B两点，点B的坐标是(2,0)，顶点C的坐标是(0,4)，M是抛物线上一动点，且位于第一象限，直线AM与y轴交于点G．(1)求该抛物线的解析式；(2)如图1，N是抛物线上一点，且位于第二象限，连接OM，记AOGMOG，的面积分别为12,SS．当122SS，且直线CNAM∥时，求证：点N与点M关于y轴对称；(3)如图2，直线BM与y轴交于点H，是否存在点M，使得27OHOG．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2022·广西梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线443yx分别与x，y轴交于点A，B，抛物线2518yxbxc恰好经过这两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若点C的坐标是0,6，将ACO△绕着点C逆时针旋转90°得到ECF△，点A的对应点是点E．①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；②若