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1/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司专题23与四边形相关的压轴题一、选填题1.(2021·广西来宾市·中考真题)如图,矩形纸片ABCD,:2:1ADAB,点E,F分别在AD,BC上,把纸片如图沿EF折叠,点A,B的对应点分别为A,2/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司B,连接AA并延长交线段CD于点G,则EFAG的值为()A.22B.23C.12D.53【答案】A3/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司【分析】根据折叠性质则可得出EF是AA的垂直平分线,则由直角三角形性质及矩形性质可得∠AEO=∠AGD,∠FHE=∠D=90°,根据相似三角形判定推出△EFH∽△GAD,再利用矩形判定及性质证得FH=AB,即可求得结果.【详解】解:如图,过点F作FH⊥AD于点H,4/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司∵点A,B的对应点分别为A,B,∴EAEA,FBFB,∴EF是AA'的垂直平分线.∴∠AOE=90°.∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠B=∠D=90°.5/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司∴∠OAE+∠AEO=∠OAE+∠AGD,∴∠AEO=∠AGD.∵FH⊥AD,∴∠FHE=∠D=90°.∴△EFH∽△GAD.∴EFFHAGAD.∵∠AHF=∠BAD=∠B=90°,∴四边形ABFH是矩形.6/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司∴FH=AB.∴1222EFFHABAGADAD;故选:A.【点睛】本题考查了矩形的折叠问题,掌握折叠的性质、矩形及相似三角形的判定与性质是解题的关键.2.(2021·湖南衡阳市·中考真题)如图,矩形纸片,4,8ABCDABBC,点M、N分别在矩形的边AD、BC上,将矩形纸片沿直线MN折叠,使点C落在矩形的边AD上,记为点P,点D落在G处,连接PC7/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司,交MN于点Q,连接CM.下列结论:①四边形CMPN是菱形;②点P与点A重合时,5MN;③PQM的面积S的取值范围是45S.其中所有正确结论的序号是()A.①②③B.①②C.①③D.②③8/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司【答案】C【分析】根据矩形的性质与折叠的性质,证明出PMNPNM,PMPN,通过等量代换,得到PM=CN,则由一组邻边相等的平行四边形是菱形得到结论正确;用勾股定理5CN,1252CQAC,由菱形的性质对角线互相垂直,再用勾股定理求出225MNQN;当MN过点D时,最小面积1144444CMPSSS菱形,当P点与A点重合时,S最大为15454S,得出答案.9/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司【详解】解:①如图1,∵PMCNP,∴PMNMNC,∵折叠,∴MNCPNM,NC=NP∴PMNPNM,10/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司∴PMPN,∴PM=CN,∴MPCN∥,∴四边形CNPM为平行四边形,∵CNNP,∴平行四边形CNPM为菱形,故①正确,符合题意;11/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司②当点P与A重合时,如图2所示设BNx,则8ANMCx,在RtABN△中,222ABBNAN,12/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司即2224(8)xx,解得:3x,∴5CN,2245ACABBC,∴1252CQAC,又∵四边形CNPM为菱形,∴ACMN,且2MNQN,∴225QNCNCQ∴225MNQN,故②错误,13/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司不符合题意.③当MN过点D时,如图3所示:此时,CN最短,四边形CMPN的面积最小,则S最小为14/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司1144444CMPSSS菱形,当P点与A点重合时,CN最长,四边形CMPN的面积最大,则S最大为15454S,∴45S,故③正确,符合题意.故答案为:①③.【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、折叠问题、勾股定理的综合应用,熟练掌握菱形的判定定理15/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司与性质定理、勾股定理是解决本题的关键.3.(2021·湖南常德市·中考真题)如图,已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点,AE与DF交于P.则下列结论成立的是()16/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司A.12BEAEB.PCPDC.90EAFAFDD.PEEC【答案】C17/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司【分析】根据正方形的性质,全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质逐一判断即可.【详解】解:∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=CA,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,18/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司∵已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点,∴BE=12BC=12AB12AE,故A选项错误,不符合题意;在△ABE和△DAF中,19/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司90ABDAABEDAFBEFA,∴△ABE≌△DAF(SAS),∴∠BAE=∠ADF,∵∠ADF+∠AFD=90°,∴∠BAE+∠AFD=90°,∴∠APF=90°,20/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司∴∠EAF+∠AFD=90°,故C选项正确,符合题意;连接FC,同理可证得△CBF≌△DAF(SAS),∴∠BCF=∠ADF,∴∠BCD-∠BCF=∠ADC-∠ADF,即90°-∠BCF=90°-∠ADF,21/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司∴∠PDC=∠FCD∠PCD,∴PCPD,故B选项错误,不符合题意;∵ADPD,∴CDPD,∴∠DPC∠DCP,22/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司∴90°-∠DPC90°-∠DCP,∴∠CPE∠PCE,∴PECE,故D选项错误,不符合题意;故选:C.【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质等知识.此题综合性很强,解题的关键是注意数形结合思想的应用.23/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司4.(2021·山东东营市·中考真题)如图,ABC是边长为1的等边三角形,D、E为线段AC上两动点,且30DBE,过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F,分别交BC、AB于点H、G.现有以下结论:①34ABCS!;②当点D与点C重合时,12FH;③3AECDDE;④当AECD时,四边形BHFG为菱形,其中正确结论为()A.①②③B.①②④C.①②③④D.②③④24/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司【答案】B【分析】过A作AI⊥BC垂足为I,然后计算△ABC的面积即可判定①;先画出图形,然后根据等边三角形的性质和相似三角形的性质即可判定②;如图将△BCD绕B点逆时针旋转60°得到△ABN,求证NE=DE;再延长EA到P使AP=CD=AN,证得∠P=60°,NP=AP=CD,然后讨论即可判定③;如图1,当AE=CD时,根据题意求得CH=CD、AG=CH,再证明四边形BHFG为平行四边形,最后再说明是否为菱形.25/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司【详解】解:如图1,过A作AI⊥BC垂足为I∵ABC是边长为1的等边三角形∴∠BAC=∠ABC=∠26/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司C=60°,CI=1212BC∴AI=32∴S△ABC=113312224AIBC,故①正确;27/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司如图2,当D与C重合时∵∠DBE=30°,ABC是等边三角形∴∠DBE=∠ABE=30°∴DE=AE=1122AD∵GE//BD∴1BGDEAGAE∴BG=1122AB28/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司∵GF//BD,BG//DF∴HF=BG=12,故②正确;29/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司如图3,将△BCD绕B点逆时针旋转60°得到△ABN∴∠1=∠2,∠5=∠6=60°,AN=CD,BD=BN∵∠3=30°∴∠2+∠4=∠1+∠4=30°∴∠NBE=∠3=30°30/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司又∵BD=BN,BE=BE∴△NBE≌△DBE(SAS)∴NE=DE延长EA到P使AP=CD=AN∵∠NAP=180°-60°-60°=60°∴△ANP为等边三角形∴∠P=60°,NP=AP=CD31/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司如果AE+CD=3DE成立,则PE=3NE,需∠NEP=90°,但∠NEP不一定为90°,故③不成立;如图1,当AE=CD时,∵GE//BC∴∠AGE=∠ABC=60°,∠GEA=∠C=60°32/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司∴∠AGE=∠AEG=60°,∴AG=AE同理:CH=CD∴AG=CH∵BG//FH,GF//BH∴四边形BHFG是平行四边形∵BG=BH∴四边形BHFG为菱形,故④正确.故选B.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质以及菱形的判定等知识33/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司点,灵活运用相关知识成为解答本题的关键.5.(2021·四川宜宾市·中考真题)如图,在矩形纸片ABCD中,点E、F分别在矩形的边AB、AD上,将矩形纸片沿CE、CF折叠,点B落在H处,点D落在G处,点C、H、G恰好在同一直线上,若AB=6,AD=4,BE=2,则DF的长是()34/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司A.2B.74C.322D.3【答案】A35/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司【分析】构造如图所示的正方形CMPD,然后根据相似三角形的判定和性质解直角三角形FNP即可.【详解】如图,延长CE,FG交于点N,过点N作//lAB,延长,CBDA交l于,MP,36/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司∴∠CMN=∠DPN=90°,∴四边形CMPD是矩形,根据折叠,∠MCN=∠GCN,CD=CG,DFFG,∵∠CMN=∠CGN=90°,CN=CN,∴RtMNCRtGNC,37/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司∴6CMCGCD,MNNG四边形CMPD为正方形,//BEMN∴CBECMN,∴4263BECBMNCM,2BE,3MN,3NP,设DFx,则38/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司4AFx,在RtPNF中,由222FPNPNF可得222(42)3(3)xx解得2x;39/580学科网(北京)股份有限公司学科网(北京)股份有限公司故选A.【点睛】本题考查了折叠问题,正方形的性质与判定,矩形的性质,平行线的性质,全等三角形的性质和判定,相似三角形,勾股定理等知识点的综合运用,难度较大.作出合适的辅助线是解题的关键.6.(2021·黑龙江绥化市·中考真题)如图所示,在矩形纸片ABCD中,3,6ABBC,点EF、分别是矩形的边A
本文标题:专题23 与四边形形相关的压轴题-三年(2019-2021)中考真题数学分项汇编(全国通用用)(解析
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