专题24 轴对称变换（含折叠）问题（解析板）

一、选择题1.（黔东南）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为【】[来源:学科网ZXXK]A．6B．12C．25D．45故选D．考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.翻折对称的性质；3.矩形的判定和性质；4.勾股定理；5.方程思想的应用．2.（襄阳）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=13AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是【】A．①②B．②③C．①③D．①④故选D．考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.矩形的性质；3.含30度角直角三角形的判定和性质；4.等边三角形的判定.3.（新疆、兵团）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，分别以ED，EC为折痕将两个角（∠A，∠B）向内折起，点A，B恰好落在CD边的点F处．若AD=3，BC=5，则EF的值是【】A．15B．215C．17D．217∴1EFDH152．[来源:Zxxk.Com]故选A．考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.折叠对称的性质；3.矩形的判定和性质；4.勾股定理.4.（舟山）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，点E，F分别是CD和AB的中点．现将这张纸片折叠，使点B落在EF上的点G处，折痕为AH．若HG的延长线恰好经过点D，则CD的长为【】(A)2cm(B)23cm(C)4cm(D)43cm考点：1.折叠问题；2.矩形的判定和性质；3.勾股定理；4.相似三角形的判定和性质；5.方程思想的应用.二、填空题1.（毕节）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为▲．【答案】32．【解析】试题分析：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∴22BCACAB4.由折叠的性质得：BE=BE′，AB=AB′，设BE=x，则B′E=x，CE=4﹣x，B′C=AC﹣AB′=AC﹣AB=2，在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，即x2+22=（4﹣x）2，解得：x=32．∴BE的长为32．考点：1.折叠的性质；2.勾股定理；3.方程思想的应用.2.（黔东南）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为▲．【答案】5.【解析】考点：1.轴对称的应用（最短路线问题）；2.直线上点的坐标与方程的关系；3.勾股定理.3.（河南）如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=7.点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D'落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为▲.【答案】52或53.【解析】当BN=D'N=3时，AN4,D'A5,D'M2，∴ED'25ED'542；当BN=D'N=4时，AN3,D'A5,D'M1，∴ED'15ED'533.∵DE=D'E，∴DE的长为52或53.考点：1.折叠问题；2.矩形的性质；3.角平分线的性质；4.正方形和等腰直角三角形的判定和性质；5.勾股定理；6.相似三角形的判定和性质；7.方程思想和分类思想的应用.4.（孝感）如图，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE、BE，若△ABE是等边三角形，则DCEABESS＝▲．∴2DCE123SDCEN2a3a3312aa23，2ABE1SABEM2a3a3a212.∴2DCE2ABE3aS13S33a.考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理；3.折叠的性质；4.矩形的性质；5.等边三角形的性质．5.（张家界）已知点Am2,3,B4,n5关于y轴对称，则mn=▲．【答案】0.【解析】试题分析：关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，因此，∵点Am2,3,B4,n5关于y轴对称，∴m24m2mn0n23n5.考点：1.关于y轴对称的点的坐标特征；2.二元一次方程组的应用；3.求代数式的值.6.（张家界）如图，AB、CD是⊙O两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于E,CD⊥MN于点F,P为EF上任意一点,，则PA+PC的最小值为▲．【答案】72.【解析】考点：1.轴对称的应用（最短路线问题）；2.勾股定理；3.垂径定理．7.（扬州）如图，ABC的中位线DE5cm，把ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、F两点间的距离是8cm，则ABC的面积为_______2cm.考点：1.折叠问题；2.三角形中位线性质.8.（赤峰）如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AEF，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB=550，则∠DAF的度数为▲．【答案】20°．【解析】考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.矩形的性质；3.直角三角形两锐角的关系．9.（上海）如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB＝t，那么△EFG的周长为______________（用含t的代数式表示）．【答案】23t【解析】考点：1.折叠问题；2.矩形的判定和性质；3.含30度直角三角形的判定和性质；4.等边三角形的判定和性质.10.（成都）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C.则A′C长度的最小值是▲.[来源:Zxxk.Com]【答案】71.【解析】考点：1.单动点和折叠问题；2.菱形的性质；3.锐角三角函数定义；4.特殊角的三角函数值；5.三角形边角关系；6.勾股定理；7.折叠对称的性质.11.（舟山）如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB＝8，∠CBA＝30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F．下列结论：①CE＝CF；②线段EF的最小值为23；③当AD＝2时，EF与半圆相切；④若点F恰好落在BC上，则AD＝25；⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫过的面积是163．其中正确结论的序号是▲．[来源:学科网]【答案】①③⑤.【解析】∴线段EF的最小值为43.结论②错误.③如图，连接CD，CO，∵∠CAB＝90°，∠CBA＝30°，∴∠CAB＝60°.∴△AOB是等边三角形，∴AO=4，∠OCA＝60°.∴当AD＝2时，CD⊥AD，∠OCD＝∠DOA＝30°.∵根据轴对称的性质，∠EOA＝∠DOA＝30°，∴∠ECO＝90°.∴EF与半圆相切.结论③正确.④若点F恰好落在BC上，则点D，F重合于点B，AD=AB=8.结论④错误.⑤当点D从点A运动到点B时，线段EF扫学科网过的面积是△ABC面积的2倍，为163.结论⑤正确.综上所述，结论正确的是①③⑤.[来源:Z&xx&k.Com]考点：1.单动点和轴对称问题；2.轴对称的性质；3.垂直线段的性质；4.圆周角定理；5.含30度角直角三角形的性质；6.等边三角形的性质；7.切线的判定.三、解答题1.（福州）（每小题7分，共14分）（1）如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证：∠A=∠D.（2）如图，在边长为1个单位的小正方形所组成的网格中，△ABC的顶点均在网格上.①sinB的值是▲；②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（A与A1，B与B1，C与C1相对应），连接AA1，BB1，并计算梯形AA1B1B的面积.[来源:Zxxk.Com]【答案】（1）证明见解析；（2）①35；②作图见解析，20.【解析】由轴对称的性质可得：AA1=2，BB1=8，高BC=4.∴11AABB1111SBC2842022AABB.考点：1.全等三角形的判定和性质；2.网格问题；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义；5.作图-轴对称变换．2.（梅州）（本题满分11分）如图，已知抛物线233yxx384与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C.（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.试题解析：（1）A(4，0)、D(－2，0)、C(0，－3)（2）如图，连接AC，则AC与抛物线的对称轴交点M即为所求.设直线AC的解析式为y=kx+b，则4k+b0b3，解得3k4b3.（3）存在，分两种情况：①如图，当BC为梯形的底边时，点P与D重合时，四边形ADCB是梯形，此时点P为(－2，0).②如图，当BC为梯形的腰时，过点C作CP//AB，与抛物线交于点P，∵点C，B关于抛物线对称，∴B(2，－3)设直线AB的解析式为11y=kx+b，则11114k+b02k+b3，解得113k2b6.∴直线AB的解析式为3y=x62.∵CP//AB，∴可设直线CP的解析式为3y=xm2.∵点C在直线CP上，∴m=3.∴直线CP的解析式为3y=x32.联立23y=x3233yxx384，解得11x=0y3，22x=6y6∴P(6，6).综上所述，在抛物线上存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形，点P的坐标为(－2，0)或(6，6).考点：1.二次函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点学科网的坐标与方程的关系；4.轴对称的应用（最短线路问题）；5.二次函数的性质；6.梯形存在性问题；7.分类思想的应用.3.（遵义）（14分）如图，二次函数24yxbxc3的图象与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．（1）求该二次函数的解析式及点C的坐标；（2）当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由．（3）当P，Q运动到t秒时，△APQ沿PQ翻折，点A恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标．【答案】（1）248yxx433，C（0，4）；（2）存在满足条件的点E，点E的坐标为（13，0）或（95，0）或（﹣1，0）；（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为529,816．【解析】令x=0，得y=4，∴C（0，4）．（2）存在．如答图1，过点Q作QD⊥OA于D，此时QD∥OC，∵A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣4），O（0，0），∴AB=4，OA=3，OC=4，∴AC=22345，AQ=4．∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1，∴E（﹣1，0）．综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（13，0）或（95，0）或（﹣1，0）．（3）四边形APDQ为菱形，D点坐标为529,816．理由如下：如图2，D点关于PQ与A点对称，过点Q作，FQ⊥AP于F，∵AP=AQ=t，AP=DP，AQ=DQ，∴AP=AQ=QD=DP，∴四边形AQDP为菱形.∵FQ∥OC，∴△AFQ∽△AOC.∴AFFQAQAOOCAC，即AFFQt34AC.∴A