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当前位置:首页 > 中学教育 > 初中教育 > 专题24 轴对称变换(含折叠)问题(解析板)
一、选择题1.(黔东南)如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=16,将矩形ABCD沿EF折叠,使点C与点A重合,则折痕EF的长为【】[来源:学科网ZXXK]A.6B.12C.25D.45故选D.考点:1.翻折变换(折叠问题);2.翻折对称的性质;3.矩形的判定和性质;4.勾股定理;5.方程思想的应用.2.(襄阳)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,且AE=13AB,将矩形沿直线EF折叠,点B恰好落在AD边上的点P处,连接BP交EF于点Q,对于下列结论:①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等边三角形.其中正确的是【】A.①②B.②③C.①③D.①④故选D.考点:1.翻折变换(折叠问题);2.矩形的性质;3.含30度角直角三角形的判定和性质;4.等边三角形的判定.3.(新疆、兵团)如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,E为AB上一点,分别以ED,EC为折痕将两个角(∠A,∠B)向内折起,点A,B恰好落在CD边的点F处.若AD=3,BC=5,则EF的值是【】A.15B.215C.17D.217∴1EFDH152.[来源:Zxxk.Com]故选A.考点:1.翻折变换(折叠问题);2.折叠对称的性质;3.矩形的判定和性质;4.勾股定理.4.(舟山)如图,在一张矩形纸片ABCD中,AD=4cm,点E,F分别是CD和AB的中点.现将这张纸片折叠,使点B落在EF上的点G处,折痕为AH.若HG的延长线恰好经过点D,则CD的长为【】(A)2cm(B)23cm(C)4cm(D)43cm考点:1.折叠问题;2.矩形的判定和性质;3.勾股定理;4.相似三角形的判定和性质;5.方程思想的应用.二、填空题1.(毕节)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,AC=5,点E在BC上,将△ABC沿AE折叠,使点B落在AC边上的点B′处,则BE的长为▲.【答案】32.【解析】试题分析:∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,AC=5,∴22BCACAB4.由折叠的性质得:BE=BE′,AB=AB′,设BE=x,则B′E=x,CE=4﹣x,B′C=AC﹣AB′=AC﹣AB=2,在Rt△B′EC中,B′E2+B′C2=EC2,即x2+22=(4﹣x)2,解得:x=32.∴BE的长为32.考点:1.折叠的性质;2.勾股定理;3.方程思想的应用.2.(黔东南)在如图所示的平面直角坐标系中,点P是直线y=x上的动点,A(1,0),B(2,0)是x轴上的两点,则PA+PB的最小值为▲.【答案】5.【解析】考点:1.轴对称的应用(最短路线问题);2.直线上点的坐标与方程的关系;3.勾股定理.3.(河南)如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=7.点E为DC上一个动点,把△ADE沿AE折叠,当点D的对应点D'落在∠ABC的角平分线上时,DE的长为▲.【答案】52或53.【解析】当BN=D'N=3时,AN4,D'A5,D'M2,∴ED'25ED'542;当BN=D'N=4时,AN3,D'A5,D'M1,∴ED'15ED'533.∵DE=D'E,∴DE的长为52或53.考点:1.折叠问题;2.矩形的性质;3.角平分线的性质;4.正方形和等腰直角三角形的判定和性质;5.勾股定理;6.相似三角形的判定和性质;7.方程思想和分类思想的应用.4.(孝感)如图,已知矩形ABCD,把矩形沿直线AC折叠,点B落在点E处,连接DE、BE,若△ABE是等边三角形,则DCEABESS=▲.∴2DCE123SDCEN2a3a3312aa23,2ABE1SABEM2a3a3a212.∴2DCE2ABE3aS13S33a.考点:1.翻折变换(折叠问题);2.勾股定理;3.折叠的性质;4.矩形的性质;5.等边三角形的性质.5.(张家界)已知点Am2,3,B4,n5关于y轴对称,则mn=▲.【答案】0.【解析】试题分析:关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变,横坐标互为相反数,因此,∵点Am2,3,B4,n5关于y轴对称,∴m24m2mn0n23n5.考点:1.关于y轴对称的点的坐标特征;2.二元一次方程组的应用;3.求代数式的值.6.(张家界)如图,AB、CD是⊙O两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于E,CD⊥MN于点F,P为EF上任意一点,,则PA+PC的最小值为▲.【答案】72.【解析】考点:1.轴对称的应用(最短路线问题);2.勾股定理;3.垂径定理.7.(扬州)如图,ABC的中位线DE5cm,把ABC沿DE折叠,使点A落在边BC上的点F处,若A、F两点间的距离是8cm,则ABC的面积为_______2cm.考点:1.折叠问题;2.三角形中位线性质.8.(赤峰)如图,E是矩形ABCD中BC边的中点,将△ABE沿AE折叠到△AEF,F在矩形ABCD内部,延长AF交DC于G点,若∠AEB=550,则∠DAF的度数为▲.【答案】20°.【解析】考点:1.翻折变换(折叠问题);2.矩形的性质;3.直角三角形两锐角的关系.9.(上海)如图,已知在矩形ABCD中,点E在边BC上,BE=2CE,将矩形沿着过点E的直线翻折后,点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处,且点C′、D′、B在同一条直线上,折痕与边AD交于点F,D′F与BE交于点G.设AB=t,那么△EFG的周长为______________(用含t的代数式表示).【答案】23t【解析】考点:1.折叠问题;2.矩形的判定和性质;3.含30度直角三角形的判定和性质;4.等边三角形的判定和性质.10.(成都)如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN,连接A′C.则A′C长度的最小值是▲.[来源:Zxxk.Com]【答案】71.【解析】考点:1.单动点和折叠问题;2.菱形的性质;3.锐角三角函数定义;4.特殊角的三角函数值;5.三角形边角关系;6.勾股定理;7.折叠对称的性质.11.(舟山)如图,点C在以AB为直径的半圆上,AB=8,∠CBA=30°,点D在线段AB上运动,点E与点D关于AC对称,DF⊥DE于点D,并交EC的延长线于点F.下列结论:①CE=CF;②线段EF的最小值为23;③当AD=2时,EF与半圆相切;④若点F恰好落在BC上,则AD=25;⑤当点D从点A运动到点B时,线段EF扫过的面积是163.其中正确结论的序号是▲.[来源:学科网]【答案】①③⑤.【解析】∴线段EF的最小值为43.结论②错误.③如图,连接CD,CO,∵∠CAB=90°,∠CBA=30°,∴∠CAB=60°.∴△AOB是等边三角形,∴AO=4,∠OCA=60°.∴当AD=2时,CD⊥AD,∠OCD=∠DOA=30°.∵根据轴对称的性质,∠EOA=∠DOA=30°,∴∠ECO=90°.∴EF与半圆相切.结论③正确.④若点F恰好落在BC上,则点D,F重合于点B,AD=AB=8.结论④错误.⑤当点D从点A运动到点B时,线段EF扫学科网过的面积是△ABC面积的2倍,为163.结论⑤正确.综上所述,结论正确的是①③⑤.[来源:Z&xx&k.Com]考点:1.单动点和轴对称问题;2.轴对称的性质;3.垂直线段的性质;4.圆周角定理;5.含30度角直角三角形的性质;6.等边三角形的性质;7.切线的判定.三、解答题1.(福州)(每小题7分,共14分)(1)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证:∠A=∠D.(2)如图,在边长为1个单位的小正方形所组成的网格中,△ABC的顶点均在网格上.①sinB的值是▲;②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1(A与A1,B与B1,C与C1相对应),连接AA1,BB1,并计算梯形AA1B1B的面积.[来源:Zxxk.Com]【答案】(1)证明见解析;(2)①35;②作图见解析,20.【解析】由轴对称的性质可得:AA1=2,BB1=8,高BC=4.∴11AABB1111SBC2842022AABB.考点:1.全等三角形的判定和性质;2.网格问题;3.勾股定理;4.锐角三角函数定义;5.作图-轴对称变换.2.(梅州)(本题满分11分)如图,已知抛物线233yxx384与x轴的交点为A、D(A在D的右侧),与y轴的交点为C.(1)直接写出A、D、C三点的坐标;(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使得MD+MC的值最小,并求出点M的坐标;(3)设点C关于抛物线对称的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.试题解析:(1)A(4,0)、D(-2,0)、C(0,-3)(2)如图,连接AC,则AC与抛物线的对称轴交点M即为所求.设直线AC的解析式为y=kx+b,则4k+b0b3,解得3k4b3.(3)存在,分两种情况:①如图,当BC为梯形的底边时,点P与D重合时,四边形ADCB是梯形,此时点P为(-2,0).②如图,当BC为梯形的腰时,过点C作CP//AB,与抛物线交于点P,∵点C,B关于抛物线对称,∴B(2,-3)设直线AB的解析式为11y=kx+b,则11114k+b02k+b3,解得113k2b6.∴直线AB的解析式为3y=x62.∵CP//AB,∴可设直线CP的解析式为3y=xm2.∵点C在直线CP上,∴m=3.∴直线CP的解析式为3y=x32.联立23y=x3233yxx384,解得11x=0y3,22x=6y6∴P(6,6).综上所述,在抛物线上存在点P,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形,点P的坐标为(-2,0)或(6,6).考点:1.二次函数综合题;2.待定系数法的应用;3.曲线上点学科网的坐标与方程的关系;4.轴对称的应用(最短线路问题);5.二次函数的性质;6.梯形存在性问题;7.分类思想的应用.3.(遵义)(14分)如图,二次函数24yxbxc3的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0),与y轴交于点C.若点P,Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动.(1)求该二次函数的解析式及点C的坐标;(2)当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请求出E点坐标;若不存在,请说明理由.(3)当P,Q运动到t秒时,△APQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,请判定此时四边形APDQ的形状,并求出D点坐标.【答案】(1)248yxx433,C(0,4);(2)存在满足条件的点E,点E的坐标为(13,0)或(95,0)或(﹣1,0);(3)四边形APDQ为菱形,D点坐标为529,816.【解析】令x=0,得y=4,∴C(0,4).(2)存在.如答图1,过点Q作QD⊥OA于D,此时QD∥OC,∵A(3,0),B(﹣1,0),C(0,﹣4),O(0,0),∴AB=4,OA=3,OC=4,∴AC=22345,AQ=4.∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1,∴E(﹣1,0).综上所述,存在满足条件的点E,点E的坐标为(13,0)或(95,0)或(﹣1,0).(3)四边形APDQ为菱形,D点坐标为529,816.理由如下:如图2,D点关于PQ与A点对称,过点Q作,FQ⊥AP于F,∵AP=AQ=t,AP=DP,AQ=DQ,∴AP=AQ=QD=DP,∴四边形AQDP为菱形.∵FQ∥OC,∴△AFQ∽△AOC.∴AFFQAQAOOCAC,即AFFQt34AC.∴A
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