专题30函数与几何综合问题(共30题)-2020年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】

2020年中考数学真题分项汇编（全国通用）专题30函数与几何综合问题【共30题】一．解答题（共30小题）1．（2020•扬州）如图，已知点A（1，2）、B（5，n）（n＞0），点P为线段AB上的一个动点，反比例函数y=𝑘𝑥（x＞0）的图象经过点P．小明说：“点P从点A运动至点B的过程中，k值逐渐增大，当点P在点A位置时k值最小，在点B位置时k值最大．”（1）当n＝1时．①求线段AB所在直线的函数表达式．②你完全同意小明的说法吗？若完全同意，请说明理由；若不完全同意，也请说明理由，并求出正确的k的最小值和最大值．（2）若小明的说法完全正确，求n的取值范围．【分析】（1）①把n＝1代入确定出B的坐标，利用待定系数法求出线段AB所在直线的解析式即可；②若n＝1，完全同意小明的说法，求出正确k的最大值与最小值即可；（2）若小明的说法完全正确，把A与B坐标代入反比例解析式，并列出不等式，求出解集即可确定出n的范围．【解析】（1）①当n＝1时，B（5，1），设线段AB所在直线的函数表达式为y＝kx+b，把A（1，2）和B（5，1）代入得：{𝑘+𝑏=25𝑘+𝑏=1，解得：{𝑘=−14𝑏=94，则线段AB所在直线的函数表达式为y=−14x+94；②不完全同意小明的说法，理由为：k＝xy＝x（−14x+94）=−14（x−92）2+8116，∵1≤x≤5，∴当x＝1时，kmin＝2；当x=92时，kmax=8116，则不完全同意；（2）当n＝2时，A（1，2），B（5，2），符合；当n≠2时，y=𝑛−24x+10−𝑛4，k＝x（𝑛−24x+10−𝑛4）=𝑛−24（x−𝑛−102𝑛−4）2+(10−𝑛)216(2−𝑛)，先增大当x取92时，k为8116，为最大，到B为5时减小，即在直线上A到x=92时增大，到5时减小，当92＜x≤5时，k在减小，当n＜2时，k随x的增大而增大，则有𝑛−102𝑛−4≥5，此时109≤n＜2；当n＞2时，k随x的增大而增大，则有𝑛−102𝑛−4≤1，此时n＞2，综上，n≥109．2．（2020•泰州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点（与B、C不重合），PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S．（1）用含x的代数式表示AD的长；（2）求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．【分析】（1）由平行线分线段成比例定理，用x表示CD，进而求得结果；（2）根据三角形的面积公式列出函数解析式，再根据函数性质求出S随x增大而减小时x的取值范围．【解析】（1）∵PD∥AB，∴𝐶𝑃𝐶𝐵=𝐶𝐷𝐶𝐴，∵AC＝3，BC＝4，CP＝x，∴𝑥4=𝐶𝐷3，∴CD=34𝑥，∴AD＝AC﹣CD＝3−34𝑥，即AD=−34𝑥+3；（2）根据题意得，S=12𝐴𝐷⋅𝐶𝑃=12𝑥(−34𝑥+3)=−38(𝑥−2)2+32，∴当x≥2时，S随x的增大而减小，∵0＜x＜4，∴当S随x增大而减小时x的取值范围为2≤x＜4．3．（2020•滨州）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x﹣1与直线y＝﹣2x+2相交于点P，并分别与x轴相交于点A、B．（1）求交点P的坐标；（2）求△PAB的面积；（3）请把图象中直线y＝﹣2x+2在直线y=−12x﹣1上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x的取值范围．【分析】（1）解析式联立，解方程组即可求得交点P的坐标；（2）求得A、B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可；（3）根据图象求得即可．【解析】（1）由{𝑦=−12𝑥−1𝑦=−2𝑥+2解得{𝑥=2𝑦=−2，∴P（2，﹣2）；（2）直线y=−12x﹣1与直线y＝﹣2x+2中，令y＝0，则−12x﹣1＝0与﹣2x+2＝0，解得x＝﹣2与x＝1，∴A（﹣2，0），B（1，0），∴AB＝3，∴S△PAB=12𝐴𝐵⋅|𝑦𝑃|=12×3×2=3；（3）如图所示：自变量x的取值范围是x＜2．4．（2020•襄阳）如图，反比例函数y1=𝑚𝑥（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B（n，2）．（1）m＝4，n＝2；（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；（3）若点P是反比例函数y1=𝑚𝑥（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为2．【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，得出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析式，能求出n，即可得出B的坐标；（2）分别把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；根据图象求得y1＜y2时x的取值范围；（3）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得．【解析】（1）∵把A（1，4）代入y1=𝑚𝑥（x＞0）得：m＝1×4＝4，∴y=4𝑥，∵把B（n，2）代入y=4𝑥得：2=4𝑛，解得n＝2；故答案为4，2；（2）把A（1，4）、B（2，2）代入y2＝kx+b得：{𝑘+𝑏=42𝑘+𝑏=2，解得：k＝﹣2，b＝6，即一次函数的解析式是y＝﹣2x+6．由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是1＜x＜2；（3）∵点P是反比例函数y1=𝑚𝑥（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，∴S△POM=12|m|=12×4=2，故答案为2．5．（2020•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=𝑚𝑥（x＞0）的图象经过点A（4，32），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．（1）m＝6，点C的坐标为（2，0）；（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值，根据A点的坐标即可求得C的坐标；（2）根据待定系数法求得直线AB的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式得到S△ODE=−38（x﹣1）2+278，由二次函数的性质即可求得结论．【解析】（1）∵反比例函数y=𝑚𝑥（x＞0）的图象经过点A（4，32），∴m=4×32=6，∵AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．∴C（2，0）；故答案为6，（2，0）；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把A（4，32），C（2，0）代入得{4𝑘+𝑏=322𝑘+𝑏=0，解得{𝑘=34𝑏=−32，∴直线AB的解析式为y=34x−32；∵点D为线段AB上的一个动点，∴设D（x，34x−32）（0＜x≤4），∵DE∥y轴，∴E（x，6𝑥），∴S△ODE=12x•（6𝑥−34x+32）=−38x2+34x+3=−38（x﹣1）2+278，∴当x＝1时，△ODE的面积的最大值为278．6．（2020•遂宁）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═𝑘𝑥（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．（1）求双曲线y=𝑘𝑥（k≠0）和直线DE的解析式．（2）求△DEC的面积．【分析】（1）作DM⊥y轴于M，通过证得△AOB≌△DMA（AAS），求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线y=𝑘𝑥（k≠0）和直线DE的解析式．（2）解析式联立求得E的坐标，然后根据勾股定理求得DE和DB，进而求得CN的长，即可根据三角形面积公式求得△DEC的面积．【解析】∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），∴OA＝2，OB＝1，作DM⊥y轴于M，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠OAB+∠DAM＝90°，∵∠OAB+∠ABO＝90°，∴∠DAM＝∠ABO，在△AOB和△DMA中{∠𝐴𝐵𝑂=∠𝐷𝐴𝑀∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐷𝑀𝐴=90°𝐴𝐵=𝐷𝐴，∴△AOB≌△DMA（AAS），∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，∴D（2，3），∵双曲线y═𝑘𝑥（k≠0）经过D点，∴k＝2×3＝6，∴双曲线为y=6𝑥，设直线DE的解析式为y＝mx+n，把B（1，0），D（2，3）代入得{𝑚+𝑛=02𝑚+𝑛=3，解得{𝑚=3𝑛=−3，∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；（2）连接AC，交BD于N，∵四边形ABCD是正方形，∴BD垂直平分AC，AC＝BD，解{𝑦=3𝑥−3𝑦=6𝑥得{𝑥=2𝑦=3或{𝑥=−1𝑦=−6，∴E（﹣1，﹣6），∵B（1，0），D（2，3），∴DE=√(2+1)2+(3+6)2=3√10，DB=√(2−1)2+32=√10，∴CN=12BD=√102，∴S△DEC=12DE•CN=12×3√10×√102=152．7．（2020•牡丹江）如图，已知直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段OA的长是方程x2﹣7x﹣18＝0的一个根，OB=12OA．请解答下列问题：（1）求点A，B的坐标；（2）直线EF交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线AB于点C．若C是EF的中点，OE＝6，反比例函数y=𝑘𝑥图象的一支经过点C，求k的值；（3）在（2）的条件下，过点C作CD⊥OE，垂足为D，点M在直线AB上，点N在直线CD上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）解一元二次方程，得到点A的坐标，再根据OB=12OA可得点B坐标；（2）利用待定系数法求出直线AB的表达式，根据点C是EF的中点，得到点C横坐标，代入可得点C坐标，根据点C在反比例函数图象上求出k值；（3）画出图形，可得点P共有5个位置，分别求解即可．【解析】（1）∵线段的长是方程的一个根，解得：x＝9或﹣2（舍），而点A在x轴正半轴，∴A（9，0），∵OB=12OA，∴B（0，92），（2）∵OE＝6，∴E（﹣6，0），设直线AB的表达式为y＝kx+b，将点A和B的坐标代入，得：{0=9𝑘+𝑏92=𝑏，解得：{𝑘=−12𝑏=92，∴AB的表达式为：𝑦=−12𝑥+92，∵点C是EF的中点，∴点C的横坐标为﹣3，代入AB中，y＝6，则C（﹣3，6），∵反比例函数𝑦=𝑘𝑥经过点C，则k＝﹣3×6＝﹣18；（3）存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，如图，共有5种情况，在四边形DM1P1N1中，M1和点A重合，∴M1（9，0），此时P1（9，12）；在四边形DP3BN3中，点B和M重合，可知M在直线y＝x+3上，联立：{𝑦=𝑥+3𝑦=−12𝑥+92，解得：{𝑥=1𝑦=4，∴M（1，4），∴P3（1，0），同理可得：P2（9，﹣12），P4（﹣7，4），P5（﹣15，0）．故存在点P使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，点P的坐标为P1（9，12），P2（9，﹣12），P3（1，0），P4（﹣7，4），P5（﹣15，0）．8．（2020•广元）如图所示，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=𝑚𝑥的图象交于A（3，4），B（n，﹣1）．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）在x轴上存在一点C，使△AOC为等腰三角形，求此时点C的坐标；（3）根据图象直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．【分析】（1）先把A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数的解析，再把B点坐标代入所求得的反比例函数的解析式，求得B点坐标，最后用待定系数法求出一次函数的解析式便可；（2）分三种情况：OA＝OC，AO＝AC，CA＝CO，分别求解即可；（3）根据图象得出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围即可．【解析】（1）把A（3，4）代入𝑦=𝑚𝑥，∴m＝12，∴反比例函数是𝑦=12𝑥；把B（n，﹣1）代入𝑦=12𝑥得n＝﹣12．把A（3，4）、B（﹣12，﹣1）分别代入y＝k