(学生版)《证券投资学》第七专题：衍生证券定价之四：期权

西安交通大学王晓芳金融学第七讲1《证券投资学》第七讲衍生证券定价之四：期权定价西安交通大学王晓芳教授西安交通大学王晓芳金融学第七讲2期权(选择权)的概念期权(选择权option)是赋予其持有者在规定的时间范围内有权利但无义务按事先双方约定的价格向另一方购买或出售一定数量某种资产（称为标的资产）的权利。西安交通大学王晓芳金融学第七讲3对于期权的买者来说，有按合约实施交易的权利而没有义务。对于期权的卖者来说，期权合约赋予他的只有义务而没有权利。期权价格或期权费，期权买者在合约生效时支付给期权卖者的费用作为给期权卖者承担义务的报酬期权的概念期权的权利、义务和期权价格西安交通大学王晓芳金融学第七讲4期权(option)分买权和卖权。买权是一种赋予选择权持有人权利的契约，简称买权。此契约规定，持有人有权在指定日期或指定日期前的任一天，以特定的价格购买特定的资产。也称看涨期权（call）。期权的购买者为获得这项权利需要支付一定的价格即期权费。期权的概念西安交通大学王晓芳金融学第七讲5卖出选择权是其持有者在期权到期日或到期日前的任一时间以特定的价格出售特定资产的权力。简称卖权或看跌期权（put）。期权的购买者为获得这项权利也需要支付一定的期权费。西安交通大学王晓芳金融学第七讲6◆买卖行为的施行称做“选择权的执行”。◆特定的资产可以是股票、股价指数、债券、外币、贵金属、金融期货或农产品。我们提到的特定资产将专指股票，称为“标的证券”或“标的资产”。◆特定的价格又称为“执行价格”：或“敲定价格”◆若选择权仅可在到期日成交，则此种选择权属欧式选择权，可在到期日或之前成交，属于美式期权。◆选择权的市场价格称为选择权的价格。西安交通大学王晓芳金融学第七讲7按有无行权时间选择权可划分为欧式期权和美式期权：◆欧式期权没有行权时间选择权，只能在到期日行权。◆美式期权有行权时间选择权，可选择在到期日或到期前的一定时间范围内行权。期权的分类西安交通大学王晓芳金融学第七讲8权利特征执行时间看涨期权（买权）看跌期权（卖权）标准欧式期权欧式看涨期权（欧式买权）欧式看跌期权（欧式卖权）标准美式期权美式看涨期权（美式买权）美式看跌期权（美式卖权）标准欧式期权的买方只能在到期日行权。标准美式期权的买方可选择在到期日或到期前的任何时间行权。期权的分类按权利特征划分按执行时间划分西安交通大学王晓芳金融学第七讲9标准欧式买权记T为到期日，X为执行价，S为标的资产的当前价格，ST为标的资产到期日的价格，c和p依次表示标准欧式买权和卖权的期权费。买权持有者在到期日T有权利但无义务以价格X从空头方卖入标的资产。标的资产到期日的市价为ST。买权持有者应如何行权呢？标准欧式期权行权决策与损益西安交通大学王晓芳金融学第七讲10标准欧式买权例考察标的为1股IBM股票的欧式看涨期权，执行价格为100美元。每股股票的期权价格=5美元；到期日市场行情、行权决策、到期回报及损益IBM股票现价S行权决策及到期回报初始成本净收益S≤100100S≤105105S不执行，O执行，S－100执行S－100－5－5－5－50S－100－50S－100－50标准欧式期权行权决策与损益西安交通大学王晓芳金融学第七讲11标准欧式买权假设无交易成本。若ST＞X持权者会行权，因为以X买入标的再以市场价ST卖出可获利ST－X。持权人获得收入。若ST≤X，持权者不会行权，因为行权会遭受损失。综合这两种情况，可看出买权持有者到期回报可表达为：max[ST－X,O]即ST－X和O中的较大者。若考虑期权费c，则买权持有者的盈亏为：max[ST－X,O]－c=max[ST－X－c,－c]标准欧式期权行权决策与损益西安交通大学王晓芳金融学第七讲12看涨期权空头的回报和盈亏：由于持权者的所得就是让权者的损失，故让权者到期回报为：－max[ST－X,O]=max[X－ST,O]，若考察期权费c，让权者的盈亏为：－max[ST－X－c,－c]=max[X＋c－ST，c]标准欧式期权行权决策与损益西安交通大学王晓芳金融学第七讲13看跌期权多头的回报和盈亏：持权者在到期日当X＞ST时行权，X≤ST时不行权，到期回报为：max[X－ST,0]若考虑期权费p，持有者的盈亏为：max[X－ST―p,―p]标准欧式期权行权决策与损益西安交通大学王晓芳金融学第七讲14看跌期权空头的回报和盈亏：max[ST―X,0]若考虑期权费p，让权者的盈亏为：max[ST＋p－X,p]标准欧式期权行权决策与损益西安交通大学王晓芳金融学第七讲15看涨期权S(当前价格)X（执行价）时称为实值期权，内在价值（立即行权带来的价值）大于零S=X时称为平价期权，内在价值等于零SX时称为虚值期权，内在价值小于零看跌期权XS时称为实值期权，内在价值大于零X=S时称为平价期权，内在价值等于零XS时称为虚值期权，内在价值小于零实值、评价与虚值期权期权价值构成：期权价值等于时间价值加内在价值西安交通大学王晓芳金融学第七讲16标的资产到期日之前没有收益的标准美式看涨期权多头提前行权不合理其它情况下的标准美式期权提前行权可能是合理的。标准美式期权行权时间决策西安交通大学王晓芳金融学第七讲17显而易见，欧式期权在到期日的价格很容易确定。因为从现在看在到期日，标的资产的价格会出现两种价格变动，或者上升或者下降。当上升高过执行价格时，显然其股票价格与执行价格的差额即为看涨期权在到期日的价格。若低于执行价格，买权执行者就会放弃执行，买权价格=0。期权的价格西安交通大学王晓芳金融学第七讲18●K=执行价格●S*到期日标的股票之市场价格●C*到期日时买进一股标的股票的选择权的价格。则有：S*—K若S*＞KC*=0若S*≤K或C*=MAX（0，S*—K）西安交通大学王晓芳金融学第七讲19常用赛马上的术语，当S*＞K，称该买权以“赌赢“收场，当S*＜K为赌输。若是卖权。执行者同样可选择是否行使权力。若P*代表卖权在到期日的价值则有：0若S*≥KP*=K—S*若S*＜K或是P*=MAX（0,K—S*）S*＜K为赌赢。西安交通大学王晓芳金融学第七讲20确定一买权或卖权在到期日的价格很容易，但在到期日之前要确定其价格却相对困难。为了确定期权的价格，1973年Black和Scholes发表了标的资产在行权前不付红利的欧式期权定价模型。其推导过程数学上复杂。在70年代末，财务学教授开始研究二项式方法，其目的在于简化Black和Scholes定价模型，同时也可以为美式期权定价。这两个模型是最基本的期权定价模型，下面分别介绍：西安交通大学王晓芳金融学第七讲211、二项式期权定价模型（也称二叉树期权定价模型、二项分布期权定价模型）①二项式过程的描述二项式期权定价模型所依据的股票价格变动过程如下所示：usSds令S为标的资产的现行价格，假定过了一段时间后，该价格可能上升为us，也可能下跌至ds。可以把u理解为“当资产增值时的1+报酬率”，同样d是“资产贬值时的1-报酬率”。西安交通大学王晓芳金融学第七讲22假定对该资产有一单期的买权，执行价格为K，当它于下一期到期时，零与资产价格中最大者即为该买权的价值。现今的买权价格为C，这是我们试图要确定的。这种关系如下所示：Cu=max(0,us-k)CCd=max(0,ds-k)西安交通大学王晓芳金融学第七讲23②构造等价资产组合(复制现金流)构造等价资产组合的目的是通过无风险借/贷和标的资产的组合构造出一个与被定价期权具有相同现金流的组合。运用套利原理可知，期权的价值应等于等价资产组合的价值。具体的构造如下：西安交通大学王晓芳金融学第七讲24假定存在着一种无风险资产，今天对此资产投资的每一元，到了下一期即可得到R元。毛利率R实际上等于（1+利率），假如可以无限制地按R的毛利率借入或贷出。借入或贷出某个数量的无风险资产与一定量的标的资产，可以形成一个投资组合。这个投资组合的收益要恰好等于选择权的价值。（否则会出现套利）西安交通大学王晓芳金融学第七讲25令该资产组合含有h个单位的标的资产（风险资产），用B元投资的无风险资产，使股价在“上升”与“下降”两种状态下都满足：投资组合的价值=选择权价值，这样可复制出选择权。Cd解得：h=(us-k)/S(u-d)B=[-d(us-k)]/R(u-d)即：Cuh×us+RB=us-K(上升状态)h×ds+RB=O（下降状态）西安交通大学王晓芳金融学第七讲26由于由h个单位的风险资产加上B元无风险资产的借入(因为B是负数)组成的投资组合之收益恰好等于单期的买权。因此，一开始的成本也必须相等，亦即C=hs+B或C=(R-d)(us-k)/R(u-d)①西安交通大学王晓芳金融学第七讲27举例:设u=1.5，d=0.5，R=1.10，s=100，下一期的s可能升至150，也可能跌至50，且无风险利率为10%，K=100。为这个期权定价。根据公式:h=(us-k)/s(u-d)=(1.5×100-100)/100(1.5-0.5)=50/100=0.5B=[-0.5(1.5×100-100)]/1.1(1.5-0.5)=-25/1.1=-22.73C=hs+B=0.5×100+(-22.73)=27.27也可以直接根据公式C=（R-d）×（us-k）/R（u-d）得出西安交通大学王晓芳金融学第七讲28下面将分析扩展至超过一期以后才到期的买权，其中每一期都会有u和d的变动。同样地会有us和dS两种可能的价格。所以，第二期结束时可能出现的股价有三种。如下图:西安交通大学王晓芳金融学第七讲29uususSudsdsddsCuuCuCCudCdCdd西安交通大学王晓芳金融学第七讲30而对应于上述资产价格的买权价格的树状图如上。尽管多期的价格树状图节点多，但并不会比单期问题更复杂。其差别在于:多期问题的求解，要在每次解一个节点时，重复一次类似公式①。从价格树的右边开始，根据最终资产价格解出到期日买权价值，用公式①求出前一期的买权价值。西安交通大学王晓芳金融学第七讲31关于二项式方法，有一个很重要的事实:无论想评估一个欧式买权、卖权，还是任何其它衍生的证券，所采用的分析过程都一样。例如，若想评估一个卖权，唯一差别就是把最终的卖权价值改为max[0，k-s]而不是max[0，s-k]，其余都一样。由公式可知，选择权的价值取决于最初的资产价格s、执行价格k、到期的期数，标的资产上升下降的幅度u，d，无风险利率R。西安交通大学王晓芳金融学第七讲32◆假设在期权有效期内股票价格的变动只是单步或二步二叉树图的形式，我们只能得到期权价格的一个非常粗略的近似值。◆在实际中应用二叉树方法时，通常将期权有效期分成30或更多的时间步，在每一个时间步，就有一个二叉树股票价格的变动。30个时间步意味着最后有31个末端股票价格，并且230即大约10亿个可能的股票价格路径。西安交通大学王晓芳金融学第七讲332、Black和Scholes选择权定价理论及模型Black－Scholes提出的期权定价模型是用来对不付红利的欧式期权定价的。西安交通大学王晓芳金融学第七讲34布莱克——舒尔斯期权定价公式其中，模型表示为：S：标的资产的当前价值，T-t：距期权到期日的时间：标的资产价格的自然对数方差k：期权执行价格r：期权有效期间的无风险利率N（d1）与N（d2）分别为标的资产价格的自然对数小于d1的概率分布，和标的资产价格的自然对数小于d2的概率分布。)()(2)(1dNKedSNctTrtTdtTtTrKSdtTtTrKSd12221))(2/()/ln())(2/()/ln(2西安交通大学王晓芳金融学第七讲35使用该模型对期权定价的步骤为：第1步：利用所需的数据求解d1，d2。第2步：利用标准正态分布函数的参变量，求出正态分布积分函数N（d1）与N（d2）的值。N（d1）为标的资产价格的自然对数小于d1的概率分布，N（d2）为标的资产价格的自然对数小于d2的概率分布。西安交通大学王晓芳金融学第七讲36第3步：