导数在经济学中应用

14:50§4.4导数概念在经济学中的应用一、边际与边际分析二、弹性与弹性分析14:50一、边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率．利用导数研究经济变量的边际变化的方法，即边际分析法，是经济理论中的一个重要分析方法．1.边际成本2.边际收入3.边际利润14:50设某产品的产量为x单位时所需的总成本为)(xCC，当产量由x增加到xx时，总成本的增量为)()(xCxxCC，此时，总成本的平均变化率为xxCxxCxC)()(它表示产量由x变到xx时，在平均意义下的边际成本.1.边际成本14:50如果极限xxCxxCxCxx)()(limlim00存在，则称此极限为产量为x的边际成本，即)('xC称之为边际成本函数。即边际成本是总成本函数关于产量的导数。边际成本的经济意义为：在一定产量的基础上，再生产1单位产品应增加的总成本.即总成本对产量的变化率.14:50根据边际成本的意义和导数的概念，一般有以下结论：（1）边际成本仅与变动成本有关，与固定成本无关．（2）如果某产品的单价为P，则若PxC)('，则企业还可继续增加产量；若PxC)('，则应立即停止增产，要致力于改进产品质量，提高出厂价格或降低生产成本．14:50设某产品的销售量为x时总收入函数为)(xRR，当销量x有增量x时，其总收入的平均增长量为xxRxxRxR)()(如果xxRxxRxRxx)()(limlim00存在，则称此极限是销量为x时的边际收入，即)('xR称之为边际收入函数.2.边际收入边际收入的经济意义：每增加一个单位的销量所增加的总收入数量。即边际收入为总收入对销量的变化率。14:50设)(xL是利润函数，则由总成本、总收入和总利润之间的关系，显然可得)()()(xCxRxL两边求导得)(')(')('xCxRxL)('xL称之为边际利润函数。3.边际利润边际利润的经济意义：每增加一个单位的销量所增加的利润。即边际利润为总利润对销量的变化率。14:50例1设某厂每月生产的产品固定成本为1000元，生产x个单位产品的可变成本为xx1001.02元，如果每单位产品的售价为30元，试求：总成本函数，总收入函数，总利润函数，边际成本，边际收入及边际利润为零时的产量．解总成本为可变成本与固定成本之和，依题设，总成本函数10001001.0)(2xxxC总收入函数xpxxR30)(总利润函数)()()(xCxRxL10002001.02xx14:50令0)('xL，得02002.0x，1000x。即，当月产量为1000个单位时，边际利润为零.这说明，月产量为1000个单位时，再多生产一个单位产品不会增加利润．边际成本1002.0)('xxC边际收入30)('xR边际利润2002.0)('xxL14:501.弹性的概念2.需求弹性3.用需求弹性分析总收益（或市场销售额）的变化二、弹性与弹性分析弹性概念是经济学中的另一个重要概念，用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应速度。或者说，一个经济变量变动百分之一会使另一个经济变量变动百分之几。14:501.弹性的概念设函数)(xf在点)0(00xx的某邻域内有定义，且0)(0xf。如果极限00000000/)(/)]()([lim/)(/limxxxfxfxxfxxxfyxx存在，则称此极限值为函数)(xfy在点0x处的点弹性（也叫相对变化率），记为0xxExEy；14:501.弹性的概念而称比值000000/)(/)]()([/)(/xxxfxfxxfxxxfy为函数)(xfy在点0x与点xx0之间的弧弹性(平均相对变化率)。如果函数)(xfy在区间(,)ab内可导，且()0fx，则称()()EyxfxExfx为函数()yfx在区间(,)ab内的点弹性函数，简称为弹性函数。14:50由弹性的一般定义知：若Q表示某商品的市场需求量，价格为p,若需求函数()QQp可导，则称d()dEQpQEpQpp为商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，常记为p。即d()dpEQpQEpQpp2.需求弹性14:50需求价格弹性p一般为负。这表明，当商品的价格上涨（或下跌）1%时，其需求量将减少（或增加）约%p。因此，经济学中，比较商品需求弹性大小时，采用弹性的绝对值p。当我们说商品的需求价格弹性大时，是指其绝对值大．当1p（即1p）时,称为单位弹性，此时商品需求量变动的百分比与价格变动的百分比相等；2.需求弹性14:50当1p（即1p）时，称为高弹性，此时商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，价格的变动对需求量的影响较大；当10p（即1p）时，称为低弹性，此时商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，价格的变动对需求量的影响不大。2.需求弹性14:50在商品经济中，商品经营者关心的是提价（0p）或降价（0p）对总收益的影响.设销售收益RQp（Q为销售量，p为价格），则当价格p有微小改变量p时，有QdpQdppdQpdQQdpQpddRR)1()(即(1)dpRQp3.用需求弹性分析总收益（或市场销售额）的变化14:50由p0知，p=–p，于是有(1)dpRQp由此可知，当1p（高弹性）时，降价(0)dp可使总收益增加(0)R，薄利多销多受益；提价(d0)p将使总收益减少(0)R．当1p（低弹性）时，降价可使总收益减少(0)R，提价使总收益增加．当1p（单位弹性）时，总收益近似为(0)R，即提价或降价对总收益没有明显的影响．14:50解(1)515pQe所以55d1()d55ppppQppeQpe例2设某商品的需求函数为5pQe，求(1)需求弹性函数；(2)356p、、时的需求弹性,并给以适当的经济解释．14:50解(2)当330.61,5pp时，为低弹性，说明3p时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，即价格上涨1%，需求量只减少0.6%；此时降价将使总收益减少，提价将使总收益增加．当5p时1,p为单位弹性，说明当5p时，需求变动的幅度与价格变动的幅度相同，即价格上涨1%，需求量也减少1%；此时提价或降价对总收益没有明显影响．14:50解当6p时，1.21p，为高弹性，说明6p时，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，即价格上涨1%，需求量将减少1.2%；此时降价将使总收益增加，提价将使总收益减少．例3设糕点厂加工生产A类糕点的总成本函数和收入函数分别是2()10020.02Cxxx（元）和2()70.01Rxxx（元）。求:边际利润函数及当产量分别是200公斤，250公斤和300公斤时的边际利润，并说明其经济意义.14:50解（1）由题意，得利润函数为2()()()10050.01LxRxCxxx边际利润函数为()50.02Lxx日产量为200公斤、250公斤和300公斤时的边际利润分别是(200)1L（元）、(250)0L（元）、(300)1L（元）其经济意义为：日产量为200公斤的基础上，再增产1公斤，则总利润可增加1元；日产量为250公斤的基础上，再增产1公斤，则总利润无增加；日产量为300公斤的基础上，再增产1公斤，则反而亏损1元.14:50解因为ddppQQp，所以pQpQQpQpp而由题设条件得Q15%18%Qpp所以18%1.215%p故该商品的需求弹性约为-1.2。例4某产品在市场销售中，为了提高销量，降价了15%，结果销量增长了18%，试问该商品的需求弹性为多少？14:50作业习题三33、34、35、3614:50关于复合函数求导数的几个例子,1)3)(2(ln3xxxy例1求dxdy14:50),sin1ln(sin42xxy例2求dxdy14:50,arcsinxay例3求dxdy14:50,)1(xxxy例4求dxdy14:50,)(lnlnxxxxy例5求dxdy14:50),2tanarctan(222xbababay例6求dxdy（ba,为常数，且0ba），14:50,22xxeexxexexy例7求dxdy14:50,)(,)()(可导xfeefyxfx例8求dxdy14:50)(',1)1(xfxxxf求已知例9