微积分在经济学中的应用分析

第0页共10页微积分在经济学中的应用分析李博西南大学数学与统计学院，重庆400715摘要：本文从经济学与数学的紧密联系出发,分析了数学,尤其是微积分在经济学研究中的地位和作用。关键词:微积分;经济学;边际分析Calculus’sAppliedAnalysisinEconomicsLiboSchoolofMathematicsandStatistics,SouthwestUniversity,Chongqing400715,ChinaAbstract:Basedonthecloserelationshipbetweeneconomicsandmaths,thispaperanalyzestheroleandfunctionofmathsespeciallycalculusineconomics.Keywords:calculus;Economics;marginalanalysis1.数学与经济学的紧密联系经济学与数学之间有天然的联系,经济学从诞生之日起便与数学结下了不解之缘。经济学应用数学有客观基础。经济学研究的对象是人与人之间的“物的交换”，是有量化规则的。经济学基本范畴如需求、供给、价格等是量化的概念。经济学所揭示的规律性往往需要数量的说明。特别是经济学的出发点是“理性经纪人”。由于经纪人在行为上是理性的,经纪人能够根据自己的市场处境判断自身利益,且在若干不同的选择场合时,总是倾向于选择能给自己带来最大利益的那一种。所以,数学中所有关于求极值和最优化的理论,都适用于分析各种各样的最优经济效果问题,而很多求极值的数学理论和概念,也只能在最优经济效果中找到原型。数学方法本身所提供的可能性。多变量微积分的理论特别适用于研究以复杂事物为对象的经济学,偏导数、全导数、全微分公式在数理经济学中是一些最基本的手段。当这些表达一旦被赋予经济学的含义时,复杂的事物就变得如此清晰第1页共10页可辩,用不着任何多余的文字说明,数学方法可以使正确的经济学理论和科学的研究成果表达的更为准确和精确,可以更好的检验结论和前提是否一致或矛盾,可以更有力地增强研究成果中的结论的正确性。尤其是数学中线性规划理论可以说是为了经济学而创立的。它研究在满足一系列约束条件下能够获得极值的条件。经济学的任务也是在遵守资源约束、生产技术的约束下,求得消费者效用最大化。经济学数学化促进了经济学科学化。经济学要想成为科学理论必须具备以下三个条件:可检验性、逻辑一致性和可积累性,而数学使经济学达到这些条件。经济计量学能够根据经济理论建立模型,再将模型的结论同现实世界相比较,以此来决定理论是成立还是予以修改或者应当抛弃;由于数学具有逻辑的本质,所以能够以逻辑为中介来论证经济学的数学化是可行的,也可以说数学能够显示逻辑的一致性;数学的公理化方法能够提供多样知识的有效积累方式。数学方法在经济学研究中的重要作用,可以从经济学的最高奖项——诺贝尔经济学奖的获奖名单中得到证实。考察1969年至2000年三十多年间获该项奖的四十多位经济学家及其他们的获奖成果,其中有四分之三都是因正确地运用了数学方法研究经济理论和经济基础问题而取得重大成果的,特别值得一提的是弗里希教授和丁伯根教授作为“把经济学发展为数学的和定量的科学的先行者”而获得1969年第一届诺贝尔经济学奖这一殊荣的典范;事隔二十多年,1994年诺贝尔经济学奖授予纳什、泽尔腾和海萨尼则又是因为他们用作为现代数学分支的博弈论(主要是非合作博弈论)的模型和方法来研究具有冲突和合作性质的经济问题而取得突破性成果的;2000年瑞典皇家科学院又把诺贝尔经济学奖授予因在微观计量经济学领域做出杰出贡献的美国经济学家詹姆斯•赫克曼和丹尼尔·麦克法登。几乎所有的(除了获1974年诺贝尔奖得主哈耶克)获奖成果都用到了数学工具;有一半以上获奖者都是有深厚数学功底的经济学家,还有少数获奖者本身就是著名的数学家,特别像获得1975年诺贝尔奖的苏联数学家康托洛维奇,获1983年诺贝尔奖的法籍美国数学家德布洛,获1994年诺贝尔奖的美国数学家纳什。足见数学方法在经济学研究中的重大作用。2.微积分的引入确立了边际分析在经济学中的地位19世纪中期的边际革命无疑是现代经济学自建立以来最大的一次变革。边际第2页共10页革命实际是西方经济学在价值理论上的一种新发展,就是用边际效用学说来重新认识和分析价值问题,即产品的价值取决于边际效用的大小。边际分析早在边沁时代就出现,但引入数学微积分带来个人争取极大化经济均衡点的处理,才使得边际分析成为可能,才使它以不可阻挡之势出现在经济学各个分支。边际分析的实质就是经济学家们利用心理学和数学——微积分方法对经济学的一个整合。边际分析的数学含义是指自变量发生微小变化时,引起的因变量的变化。这种分析正是用微积分来完成的。可以说没有微积分将无法进行经济活动动态分析和边际分析。2.1一般均衡理论中的微积分方法经济均衡理论是瓦尔拉斯创立的。所谓瓦尔拉斯均衡,就是对每一个商品市场的供给和需求相等的所有均衡条件进行描述。即寻求在经济生活中消费者追求效用最大化,生产者追求利润最大化的过程中,均衡价格体系存在的条件。一般均衡分析是在构建多变量方程组的前提下,运用微积分理论对商品市场的供求进行边际分析,从而寻求一个均衡价格体系,使经济达到一般均衡。其思路是由家户商品需求和要素供给及厂商商品供给和要素需求的分析,到整个商品市场和要素市场的一般均衡。家户的行为:先考虑某个家户h的产品需求和要素供给,然后再将所有H个家户的商品需求和要素供给分别相加求得每种商品的市场需求和每种要素的市场供给。家户h的效用取决于它所消费的各种商品数量(1hQ，…，rhQ)以及它提供的各种要素数量((1)rhQ，…，nhQ)。于是家户h的效用函数可写成:hU=hU(1hQ，…，rhQ;(1)rhQ，…，nhQ)。家户h的全部收入均来自其要素供给。由于产品和要素价格对单个家户来说是既定不变的常量(产品和要素市场均为完全竞争),且不存在储蓄和负储蓄,故家户h的全部收入就等于1(1)rrhPQ+…+nnhPQ,式中1rP,…,nP分别为各种要素的价格,家户h在各种商品上的支出则为11hPQ+…+rrhPQ,式中1P,…,rP分别为各种产品的价格。家户h的预算约束即“预算线”为：111(1)hrhrrhnhPQPQPQPQrn……第3页共10页于是,家户h是在预算约束的条件下,选择最优的商品消费量即商品需求量和最优的要素销售量即要素供给量,以使其效用函数达到最大。根据在约束条件下的极值原理可知,家户h对每种商品的需求量取决于所有的商品价格和要素价格,即取决于整个经济的价格体系。如:假定某家户的效用函数为:12(,)UUQQ;其预算约束为:1122PQPQI。式中,I为家户既定收入。由此可建立拉格朗日函数如下:12121122(,,)(,)()LQQUQQIPQPQ;是拉格朗日乘数。于是,在预算约束条件下的效用最大化的条件为:12111(,)0UQQLPQQ12222(,)0UQQLPQQ11220LPQPQI由这些效用最大化条件可以求得最优消费量1Q和2Q,显而易见,如果改变约束条件中的价格P1和P2,则最优消费量Q1和Q2也将随之变化。这就是说,最优消费量Q1和Q2均是价格P1和P2的函数。上述对单个家户h的讨论也适用于所有其他家户。将所有H个家户对每一种产品的需求加总起来,就得到每一种产品的市场需求;与单个家户的需求情况一样,每一种商品的市场需求显然也是整个经济的价格体系的函数,即有:1111(,,)ddrnQQPPPPr…，；…,……11(,,)ddrrrnQQPPPPr…，；…,。式中，1HdiihhQQ（1,2,i…r）,为第i种产品的市场需求。再将所有H个家户对每一种要素的供给加总起来,就得到每一种要素的市场供给;与单个家户的供给情况一样,每一种要素的市场供给显然也是整个价格体系的函数。从而得到结论:存在一组价格,使得所有市场的供给和需求都恰好相等,也即存在着整个经济体系的一般均衡。2.2宏观经济中的微积分思想第4页共10页凯恩斯在1936年出版的《就业利息与货币通论》中揭示了经济危机和失业的原因:即有效需求不足——带来失业,而需求不足的原因是边际消费倾向递减——消费需求不足、资本边际效率递减活动偏好带来投资需求不足。要解决这些问题必须依靠国家的力量进行干预,增加投资需求带动消费需求。于是凯恩斯在边际消费倾向的基础上提出了乘数原理:设投资增量为△I,由△I导致的收入增量为△Y,则△Y=K·△I,K就是乘数,即投资增量和由它所引起的收入增量之间的一定比率:11YYkCIYCY，△C为消费增量,CY为边际消费倾向,乘数是一减边际消费倾向的倒数,乘数与边际消费倾向成正比例,即边际消费倾向越大,乘数就越大,边际消费倾向越小,乘数就越小。所以,要消灭萧条和失业,国家应当鼓励和支持全社会成员尽可能多消费,应当增加货币数量以降低利率,使企业家预期的纯利润相对地提高,也就是提高资本的边际效率,增加投资物的需求,通过乘数作用增加消费品的需求。第二次世界大战后,随着西方实行国家干预程度的提高,有必要弄清决定经济增长的因素和条件。这时,边际分析也被引入了宏观经济增长分析。新古典经济学家认为,总产量和生产要素的投入存在着一定的函数关系,而这种函数关系是同各要素生产力的边际量密切相关的。固然经济增长所要考虑的是总量的变动,但产品总量的变动依赖的是各生产要素边际增量的变动。新古典经济学家接受了希克斯提出的技术进步为“中性”的思想。他们认为“中性”的技术进步会使劳动和资本的边际生产力以相同的比例增长。在一定的资本劳动数量比例下,资本的边际生产力由于技术的进步以和产出量同样的比率增长,同时,资本的平均生产力也以相同的比率增长,所以“,中性”的技术进步不会影响资本的边际产品,资本K和劳动L的总收入恰好吸收有着规模变动时报酬不变的现有生产函数条件下的总产量。所以,各生产要素的边际替代率等于1,也就是说,劳动和资本对产量增长所做出的贡献的份额不一定相同,但它们的和始终为1。所以“中性”的技术进步实际上指技术进步为相对不变,可以暂时略去技术进步的因素,于是索洛得出这样的结论:11QkkdMPPdMPPd。它表示产品的增量等于各生产要素的边际物质产品乘以各生产要素的增量。那么,把各个时期产品的增量汇总,就可得出产品的总量。也可以这么说,产品总价值由第5页共10页各要素所创造的产品或价值之和构成,把这个公式稍一变形就可得到:1[][]kMPPMPPdQdKdLQQQdQQKdKQLdLQKQKLQL显然,产量增长率不仅依赖于资本和劳动两者的增长率,而且还依赖于资本和劳动在产量中的相对贡献。而式中的QKKQ=QK：QK，QK为资本的边际生产率,QK为资本的平均生产率,把它变形为:QKQK，即为资本的生产弹性K,同样QLLQ为劳动力的生产弹性L,如果考虑到技术进步的因素,则索洛得出:KLdQdAdKdLQAKL新古典经济学家对国民经济增长因素的分析其出发点是边际增量分析。正因为要素的边际生产力是递减的,所以要素的边际产品是不断变动的,而边际产品的变动又取决于要素构成的变动和各要素增长的比例。同时,在完全自由竞争的假设下,各生产要素的价格取决于各自的边际生产力。于是,就可以从生产要素的增量去考虑国民经济总量的运动。由此看到边际分析方法进而微积分分析工具是宏观经济理论的一个不可忽视的分析工具。3.微积分为最优化理论奠定了基础边际分析研究的是函数边际点上的极值。也就是研究因变量在某一点上(即边际点)是由递增变为递减,还是由递减变为递增的规律。这种边际点的函数值就是极大值或极小值。边际点的自变量是作为判断并加以取舍的最佳点,而寻找这个可据以做出最优决策的最合理的边际点,正是经济研究的一个焦点。因此,微积分法是研究最优化规律不可缺少的