第七章利率期权(固定收益证券-北大姚长辉)

第七章利率期权•第一节基本概念•第二节影响期权价值的因素•第三节期权定价模型——Black’smodels•第四节二项式模型•第五节顶、底、互换选择权的定价•第六节利率模型•第七节可转换债券第一节基本概念•定义•嵌入期权的金融工具•期权的盈亏定义•期权：选择权，可以这样做也可以那样做的权利。•买入期权（CallOption），期权购买者可以按照事先约定的价格购买一定数量证券的权利。•卖出期权（PutOption），期权购买者可以按照事先约定的价格卖出一定数量证券的权利。•美式期权（Americanoption），在到期前的任何时刻都可以执行的期权。•欧式期权（Europeanoption），只有在到期时才能执行的期权。定义•In-the-money•Out-of-themoney•At-the-money•Strikeprice：exerciseprice嵌入期权的金融工具•可回购债券（callablebonds）•可回卖债券（puttablebonds）•可提前偿还的住房贷款（prepayablemortgages）•顶（caps）,箍（collars）,底（floors）•期货期权（optionsonfutures）(e.g.,EurodollarsandTreasurynotes)•互换期权（swaptions）期权的盈亏•profitprofit•LongacallShortacall期权的盈亏•profitprofit•LongaputShortaput第二节影响期权价值的因素因素Call的价格Put的价格标的证券的价格执行价格到期时间利率波动率短期利率利息支付上升下降上升上升上升下降下降上升上升上升下降上升第三节期权定价模型——Black’smodels•Black－Scholes)()(21dNKedSNCrTTTrKSd)2/()/ln(21Tdd12例7.1.Black-Scholes模型的问题•给欧式calloption定价：3年零息债券，施权价格$110,面值$100•结论很明显，应该是0.•但在下面假设情况下，r=10%，4%的年价格波动率，用Black-Scholes模型计算出来的价格为7.78!应用传统Black-ScholesModel给债券定价的问题模型假定债券特征1.证券价格对应一定的概率可以高到任何水平2.短期利率不变3.价格波动率不变债券有最高价。如果再高，除非市场利率为负。短期利率变化！债券价格的波动率在接近偿还期时会降低。价格波动率：股票与债券•股票•债券•时间Black'sModel•尽管存在着以上问题，Black-Scholes的变形，叫做Black’sModel,也还经常被使用，条件是:–a.期权的盈亏在某一特点时间只依赖于一个变量。–b.可以假定在那个时点上，那个变量的分布呈对数正态分布。•例如，当期权有效的时间远远短于债券偿还期时，就可以利用Black’sModel利用Black’sModel给欧式期权定价)()()()(1221dFNdKNePdKNdFNePrTprTcTTKFd2/)/ln(21Tdd12利用Black‘sModel给欧式期权定价•T=期权到期日•F=到期日为T，价值为V的远期价格•K=执行价格•r=T期的即期收益率(连续利率)•σ=F的波动率•N=累积正态分布•Pc=valueofcall•Pp=valueofput例7.2:应用Black'sModel•给10个月期的欧式期权定价：标的债券为9.75的，面值$1,000,半年利息$50(在3个月后和9个月后得到)?•已知–今天债券价格$960(包括应计利息)–执行价格$1,000–3个月的无风险利率为9%，9个月的无风险利率为9.5%，10个月的无风险利率为10%(以年为基础，连续利率)–债券价格的波动率为年9%例7.2:应用Black'sModel•求解•第一步:找到远期价格•计算期权价格的参数为:F=939.68,X=1000,r=0.1,σ=0.09,T=10/12=.8333.86.9395050960)8333(.09.0)75(.09.0)25(.09.00FeFeeP例7.2:应用Black'sModel49.9)(1000)(68.939218333.01.0dNdNePc8333.009.02/8333.009.0)1000/68.939ln(21d8333.009.012dd第四节二项式模型•可回购债券的价值=不可回购债券价值-CallOption的价值•可回卖债券的价值=不可回卖债券价值+PutOption的价值•回购债券定价策略:–利用利率模型给不可回购债券定价–利用利率模型给嵌入的calloption定价.第四节二项式模型•利用已知的二项式模型定价–附息债券–基于附息债券的欧式期权–基于附息债券的美式期权例7.3•有如下的二项式树图，该树图可以用来给无风险债券以及债券期权定价（利率上升下降的概率都是50%。r0=3.5%ru=4.976%rd=4.074%ruu=6.757%rud=5.532%rdd=4.530%例7.3•Priceoption-freebonds.例如票面利率5.25%（年支付），期限3年的债券V=102.075C=0r0=3.5%V=99.461C=5.25rU=4.976%V=101.333C=5.25rd=4.074%V=98.588C=5.25ruu=6.757%V=99.732C=5.25rud=5.532%V=100.689C=5.25rdd=4.53%V=100C=5.25V=100C=5.25V=100C=5.25V=100C=5.25例7.3•PricingaEuropeanCallOption:假定票面利率5.25%的债券是可回购的，回购日为2年末，回购价格为$99.50.Vcall=0.383,Vbond=101.692Vcall=0.383r0=3.5%Vcall=0.11ru=4.976%Vcall=0.683rd=4.074%Vcall=0ruu=6.757%Vcall=0.232rud=5.532%Vcall=1.189rdd=4.53%例7.3•PricingaAmericanCallOption:在1年后和2年后都可以回购，价格都是$99.50.Vcall=0.938,Vbond=101.137Vcall=0.938r0=3.5%Vcall=max(0.11,0)ru=4.976%Vcall=max(0.683,1.833)rd=4.074%Vcall=0ruu=6.757%Vcall=0.232rud=5.532%Vcall=1.189rdd=4.53%第五节顶、底、互换选择权的定价•顶与底•互换选择权顶与底•利率的顶是一个选择权，它限制住了浮动利率负债所支付的最高利率水平。•利率的底是一个选择权，它限制住了浮动利率负债所支付的最低利率水平。•顶和底可以：–脱离贷款本身，可以通过单独交易来获得。–与证券相连，其价格体现在了证券的利率当中。顶与底•一个顶可以被理解为关于浮动利率R的一串calloptions。•一个底可以被理解为关于浮动利率R的一串putoptions。•顶和底被分离出来的部分被称为“caplets”,“floorlets”•顶的盈亏=本金×期限×max[Rt-Rk,0]•Rt=t期的利率•Rk=caprate•注意是你购买了顶，给你带来的利益，而不是实际支付的利率！例7.4:给Cap定价•Caprate5.2%,名义数量:$10,000,000,支付频率:年•利率变化r0=3.5%ru=5.4289%rd=4.4448%ruu=7.0053%rud=5.7354%rdd=4.6958%ruuu=9.1987%ruud=7.5312%rudd=6.1660%rddd=5.0483%例7.4:Valueoftheyear1caplet•22,890=10,000,000(5.4289%-5.2%)•11,058=0.5(22,890+0)/1.03511,058r0=3.5%22,890ru=5.4289%0rd=4.4448%例7.4:Valueoftheyear2caplet66,009r0=3.5%111,008ru=5.4289%0rdd=4.6958%53,540rud=5.7354%180,530ruu=7.0053%25,631rd=4.4448%例7.4:Valueoftheyear3caplet150,214r0=3.5%214,217ru=5.4289%96,726rd=4.4448%295,775ruu=7.0053%155,918rud=5.7354%46,134rdd=4.6958%399,870ruuu=9.1987%233,120ruud=7.5312%96,600rudd=6.1660%0rddd=5.0483%例7.4:ValueofCap•Valueofcap•=valueofcaplet1+valueofcaplet2+valueofcaplet•=11,058+66,009+150,214•=227,281例7.5:给Floor定价•Floorrate4.8%,名义金额:$10,000,000,支付频率:年•利率变化如下r0=3.5%ru=5.4289%rd=4.4448%ruu=7.0053%rud=5.7354%rdd=4.6958%ruuu=9.1987%ruud=7.5312%rudd=6.1660%rddd=5.0483%例7.5:Valueoftheyear1floorlet•35,520=10,000,000(4.8%-4.4448%)•17,159=0.5(35,520+0)/1.03517,159r0=3.5%0ru=5.4289%35,520rd=4.4448%例7.5:Valueoftheyear2floorlet2,410r0=3.5%0ru=5.4289%10,420rdd=4.6958%0rud=5.7354%0ruu=7.0053%4,988rd=4.4448%例7.5:Valueoftheyear3floorlet0r0=3.5%0ru=5.4289%0rd=4.4448%0ruu=7.0053%0rud=5.7354%0rdd=4.6958%0ruuu=9.1987%0ruud=7.5312%0rudd=6.1660%0rddd=5.0483%例7.5:ValueofFloor•Valueoffloor•=valueoffloorlet1+valueoffloorlet2+valueoffloorlet•=17,159+2,410+0•=19,569互换选择权（Swaptions）•例7.6：有下面互换：名义本金$1000，期限3年。固定利率支付方每年支付10.1%,他拥有选择权，使他随时可以终结互换。我们的目的是要确定这一互换选择权的价值。•假定在0时点利率为10%。利率上升与下降的概率各为50%。利率路径如下：例7.6:Swaptionsr0=10%ru=11%rd=9%ruu=12%rud=10%rdd=8%例7.6:Swaptions•如果理解为本金也相互交换，对于分析该问题，也许更为方便。由于收和付的金额是相等的，这不会影响期权的价值。例7.6:Swaptions•在Time2:市场利率分别为12%,10%,or8%.•如果是12%,–固定利率最后支付额的现值=$1101/1.12=$983.04(YOU)–浮动利率最后支付额的现值=$1120/1.12=$1000.00–不执行！因此，期权的价值为$0.例7.6:Swaptions•如果是10%,–固定利率最后支付额的现值=$1101/1.10=$1000.91(YOU)–浮动利率最后支付额的现值=$1100/1.10=$1000.00–执行的价值为$0