第七章均值—方差证券资产组合理论

第七章均值—方差证券资产组合理论第一节资产组合的期望收益与标准差一单个证券的期望收益率与方差设某投资者所以可供选择的证券有N种，对于任一种证券，其收益有M种可能性，我们用Rij表示证券i在第j种可能性下的收益，用Pij表示第i种证券的收益率出现第j种可能性的概率。第i种证券收益的期望收益为：MjijijiPRR1对证券投资者来说，仅知道某种证券期望收益尚不足以对该证券有足够的把握，我们还必须知道收益率的离散程度，即要知道各收益率偏离期望值的情况。在表7.2中A、B两种投资结局的期望收益都为10，但其离散程度不一样，显然个人选择时会感到这两种投资方式是不同的。表7.2两种投资的收益分布AB结局收益（%）概率结局收益（%）概率121091/31/31/3101042/51/52/5收益均值大小只表示某证券收益的期望值。对两种证券比较优劣时，不能光凭收益均值大小来决定，还要考虑各证券的风险程度。而风险程度的大小我们用收益率的标准差σ来衡量。收益率偏离均值越厉害，也就是标准差越大，它表示证券收益的变化越厉害，风险也越大。第i种证券收益的方差定义为如果证券收益M种可能性发生的概率相同，即Pij=则有：212MjiijijiRRPMjiijiMRR122M1市场状况收益ABCDE好151611616平均910101010坏341944均值910101010方差2424542424标准差4.94.97.354.94.9二资产组合的期望收益率与方差市场状况BC组合（60%b+40%c)好1.161.011.1平均1.11.11.1坏1.041.191.1二资产组合的期望收益率与方差假设某投资者用N种证券组成了他的资产组合，设该资产组合用P表示，投资在证券i上的资本量占总投资的比例为Xi，（i=1,2,…,N）则有：j=1，2，…，MNiijiPjRXR1此表示在第j种可能结果下组合P的收益率，因此P的期望收益率为：NiiiNiijiNiijippRXRXERXERER111组合收益的方差设证券组合只包含两种证券，由概率论知识可知：其中σ1、σ2分别为这两种证券的标准差，而σ12为这两种证券的协方差。σ12符号不同，影响不一样。协方差反映了该两证券收益变动之间的联系，σ120表示两证券收益同方向变化，σ120表示两证券收益反方向文化，σ12=0表示他们互相独立。12212222212122XXXXP对于包含有N种证券的资产组合P，其方差由下式决定：若该组合是等比例地投资在各证券上，即投资在各种证券上的资本量相等，，则有：其中，是种证券方差之平均值，是种协方差的平均值。ikkNiNikkiiNiiPXXX112122ikiNiNikkikNiiPNNNNNNNNN11111211122三资产组合的风险分散原理对每个证券组合而言，组成组合的单个资产的风险称为可分散化风险，也称作非系统风险或个股风险，而则为不可分散化风险，也称作系统风险或市场风险。2iik表7.5所列数据显示了美国股票市场的实际情况，平均方差和平均协方差从纽约股票交易所所有上市股票的每月数据中采样。证券数组合方差146.619416.9481210.354169.530507.8491007.45310007.097无穷大7.058图7.1是显示分散化原理的图，采样自美国股票市场实际情况。组合风险（%）证券数量15304527100N图7.1组合风险与单个证券风险的关系四偏斜度和证券组合分析许多证券分析家建议，仅仅用证券收益分布的二个特征值尚不足以准确地反映收益的随机变化性，还必须再增加一个特征值“偏斜度”来作出补充。所谓偏斜度是测量收益分布的非对称性情况的。正态分布为对称分布，因此偏斜度为零，但正态分布的自然对数函数就不是对称的A收益概率图7.2证券收益的自然对数正态分布分析家们提倡再补充一个偏斜度，主要是他们相信投资者们将都会偏好于正偏斜度，若其它条件不变，则可认为投资者们将更喜欢可能带来较高收益的证券组合。若偏斜度被接受，则我们在前面讨论的证券组合“问题”就将在一个三维空间中表达出来。这三个坐标轴分别为；均值、均方差、偏斜度。而我们的有效边界也将被一个“有效边界曲面”所代替。该有效边界曲面将是所有可行空间域中具有最大均值，最小均方差和最大偏斜度的部分所构成。第二节有效资产组合曲线一不存在无风险借贷1．不允许卖空设定X1为投资在第i种证券上的资产价值比例，在不存在无风险借贷且不允许卖空的假设下显然有：且Xi≥0，因为“卖空”行为在经济意义上相当于负投资。11NiiX仍设有A、B两种证券，其中相关系数为ABBAAABBAAPRXRXRXRXR1ABBAAABAAAPXXXX)1(2)1(22222（1）若设,则有其中：0≤XA≤1上面方程组的为共同参数，二方程均为线性方程，若消去参数，可得、线性方程如下：1ABBAAAPRXRXR1BAAAPXX1PBABABBABABPRRRRRR（2）若设,则有由于上式中括号中的值可能为负数，故：或者1ABBAAAPRXRXR1221BAAAPXXBAAAPXX1BAAAPXX1沿用上例：=2/3，=1/3组合的风险为零。同时我们也易知：*AX*BXBPX93310BX39BPX131BX将这两个方程所描述的和的关系在坐标平面上表示出来，如图7.4：AB=3=6=1410=8.0图7.4时证券组合的预期收益与标准差之间的关系BRARAPPRP3）下面再讨论ρAB=0的情况，也就是两证券之间线性无关。此时有BAAAPRXRXR1222221BAAAPXXP0PRABBRARAB=3=6=14=8MV图7.5时证券组合的预期收益与方差之间的关系我们将ρAB=1，ρAB=-1，ρAB=0及ρAB=0.5四条曲线画在一张图上BRARPRPAB=14=8B=3=610ρ=+1ρ=0.5ρ=0ρ=-1A图7.7证券组合在各种相关系数条件下的预期收益与标准差从图7.7中得到如下结论：对所有的证券资产而言，总存在着某一个ρ值，使资产组合风险（σP）不可能比单个证券中的最小风险（σi）小。如上例中的ρ=0.5，ρ=1时的情况。但当ρ=0及ρ=-1时，其σP可能会比单个证券的最小风险σA小。另外也我们注意到：AB直线（ρAB=1）为组合体的方差（σP）最大时的情况，通过数学方法可以证明任何两个证券的组合体之方差不可能再落到AB直线的右边。同时，ρAB=-1时亦为另一极端。所以，三角形ABC为组合体方差σP及收益之关系所可能落在的区域。对-1ρAB1中任一ρAB之定值，其对应的证券组合体的可能性曲线只会在此区域内，如ρ=0及ρ=0.5时的情况。证明：MV~B曲线为凹曲线，MV~A曲线为凸曲线。PRPABMV图7.8一条典型的组合可能性曲线先观察MV~B线：显然从前面已知，任何两个证券之组合体的可能性曲线不可能在此两点直线的右边。这一结论，不仅适用于任意两个单个证券之组合体特征，也可以推广到以任意两个组合体所组成的组合的可能性曲线的特征。MV点为A、B证券的一个组合体证券，故MV点和B点之组合体适用于此原理，从而图7.9中（a）种情况不会发生，对于（b）种情况，E点和F点为二个组合体，该二点所组成的组合体也不可能在EF直线右边。同理可证明（c）、（d）二种情况不可能存在，至此证明完毕。（1）不允许卖空条件下的有效边界在不允许卖空情况下，投资者所有可能的组合的点集合如图7.10，其中C点为最小风险点。然而，由于我们假定了投资者两个行为原则，因此他只可能选择B、C曲线上的某一点。（2）允许卖空下的有效边界允许卖空意味着在数学模型中XB的值可以为负数，也可以为大于1。XB0表示卖空B证券，并把B所获得的资金投到A证券上。XB1表示卖空A证券，并把所获得的资金投到B证券上。因此，虽然XB值变化范围扩大，然XA+XB=1约束条件仍必须满足。PPRECBEAD图7.10证券组合的各种预期收益和标准差的可能性例子：设期初投资者拥有资金2000元，A股票价格为10元，B股票价格为10元，但投资预测1个月后A价格会上升，B价格为下降。于是他卖出B股票100股，同时买入A月股票300股，则A、B股票的投资比例分别为1.5和-0.5，即XA+XB=1，如果一个月后A、B股票价格分别为11元、9元，则组合的收益率为%10AR%10BR%20)1(ABBBPRXRXR不管是否允许卖空，如下等式始终成立：BAAABBAAPRXRXRXRXR1ABBABBBBABPXXXX12122222二存在无风险借贷设RF为无风险证券资产利率，X为投放在A上的资本比例，（1－X）就是投放在无风险资产上的比例，新的资产组合设为C，则有X≥0FACRXRXR1AAFFAAFCXXXXX2/12222121故有得：ACXCAFAFCRRRRPRARFRPA借贷图7.12含有无风险借贷的证券组合的预期收益和风险HPRPGABH图7.13无风险资产与各种风险资产组合构成的投资组合第三节有效边界的数学描述及计算技术一允许卖空且有无风险借贷PRPFRBA图7.18在允许卖空且有无风险借贷情况下证券组合的收益与风险设θ为夹角。求最大θ即为求最大tgθ值，所以此问题可归结为下述数学规划问题：MaxPFPRR11NiiX设有A、B、C三家股份有限公司，各公司股票收益的特征值由表7.11给出。表7.11A、B、C三家公司股票收益的特征值RRRABCρAB=0.5ρAC=0.214%6%8%3%20%15%ρBC=0.4假设无风险借贷利率均为5%简化后解方程组得：Z1=14/63，Z2=1/63，Z3=3/63进一步由公式X1=14/18，X2=1/18，X3=3/181331222111ZZZRRF1332221212ZZZRRF233122113ZZZRRFNiiiiZZX1二允许卖空但没有无风险借贷解决问题的思路是：认为无风险资产存在，然后再假设一系列的RF值。如：RF=4%、5%、6%，分别找出对应的最佳风险资产组合A、B、C这些点，即构成了有效边界曲线。1．一般解法当RF为某一值时，最佳风险资产组合中各风险资产比例Xi由下列方程组决定：对方程组求解Zi，则可求解出形如Zi=C0i+C1iRF，i=1，2，…，NNiNiNNiiiiFiZZZZZRR1122211仍用前述例子的数据，可得：14-RF＝36Z1+9Z2+18Z38-RF＝9Z1+9Z2+18Z320-RF＝18Z1+18Z2+225Z3解此方程组得：如此，给RF以不同的值，将得到一系列不同的（Z1、Z2、Z3）值，从而构画出有效边界曲线。189421ZFRZ189231891182FRZ1891189432．特殊解法前面我们已从一般解法中得知Zi=C0i+C1iRF。若我们任意选定两个RF值：RF′和RF″，则可以从上面一般方程组中得到相应的Zi′和Zi″值。这样就可以通过方程组：Zi′=C0i+C1iRF′Zi″=C0i+C1iRF″求出C0i和C1i，得出Zi的一般表达式，最终也就可以得到整个有效边界。第四节国际分散化一外国证券风险表7.12一些国家证券市场之间的相关系数（1963－1972）加拿大法国意大利日本英国西德美国