证券投资组合_2

第七章证券组合投资理论现代证券组合投资理论现代证券组合投资理论的概述马柯维茨的均值－方差模型CAPM模型APT模型有效资本市场理论一、现代证券组合投资理论的概述产生：1952年哈理.马柯维茨发表了《证券组合选择》的论文，标志着现代证券组合理论的开端。理论发展：1964、65、66年，马柯维茨的学生威廉.夏普以及林特和摩森等人提出了CAPM模型；1976年罗尔和罗斯等人，在批评了CAPM同时，提出了APT模型。二、均值－方差模型（1）假设：1、投资人以期望收益率来衡量未来实际收益率的总体水平；以收益率方差（或标准差）来衡量收益率的不确定性（风险），因而投资者在投资决策中只关心投资的方差和期望收益率；2、投资者是不知足和厌恶风险的。即投资者总是希望收益率越高越好，而方差越小越好；3、投资者追求自身效用最大化。厌恶风险图APRFARRERPFEAE二、均值－方差模型（2）期望值与方差单个证券的期望收益率与方差单个证券收益率单个证券期望收益率：单个证券方差：00)(pppDRttijMjijRRE1)(2122121)()()(MjiijMjijijRRMRRERR实均方差估算通常用抽样方差代替真某证券收益的概率、预期收益率和标准差预期收益率（）方差（）（）*（）-0.100.05-0.005(-0.10-0.09)2(0.05)-0.020.10-0.002(-0.02-0.09)2(0.10)0.040.200.008(0.04-0.09)2(0.20)0.090.300.027(0.09-0.09)2(0.30)0.140.200.028(0.14-0.09)2(0.20)0.200.100.020(0.20-0.09)2(0.10)0.280.050.014(0.28-0.09)2(0.05)标准差=(0.00703)0.5=0.0838=可能的收益率概率RiiPiRiRiPiiPRR2)(200703.0R090.000.1二、均值－方差模型（3）期望值与方差证券组合的期望收益率与方差若证券组合为P，各种证券的权重在组合中分别为X1、X2…,则证券组合的风险为：MiMiijiiiRxExEp11MiipipMipiipipMiMiiiijiPPpxxRxRxERRE12121122)(或＝经数学变形，可得相关系数的求解又称积差相关系数(coefficientofproduct-momentcorrelation)，是衡量两个变量的相关性.在-1到+1之间.如果为+1则指完全正相关.就是两个变量变化完全一致.比如两个股票,变动完全一致.-1指完全负相关,就是变动完全相反.如果为0则指这两个数量完全不相关。怎样计算.我们来考察两个股票的价格,比如考察n天的.分别的价格为x1,x2...xn,另外一个的价格为y1,y2...yn.相关系数的公式:yxyyxxn11两证券组合的方差计算　时，　完全负相关　　＝－当时，负相关；＜＜当－时，　　零相关；＝当时，正相关；＜＋＜当关；时，两种证券完全正相＝＋当），＋（－相关系数的取值区间为所以，或　　10101011122)()(ABABABAB22222222222ABBABABBAApBAABBAABABBABBAABBAABjBAjApxxxxxxxxRxRxRxRxE11组合的可行集和有效集可行集与有效集可行集：资产组合的机会集合（Portfolioopportunityset），即资产可构造出的所有组合的期望收益和方差。有效组合（Efficientportfolio）：给定风险水平下的具有最高收益的组合或者给定收益水平下具有最小风险的组合。每一个组合代表一个点。有效集（Efficientset）：又称为有效边界（Efficientfrontier）,它是有效组合的集合（点的连线）。投资学第6章12两种风险资产构成的组合的风险与收益若已知两种资产的期望收益、方差和它们之间的相关系数，则由上一章的结论可知两种资产构成的组合之期望收益和方差为11222222211221212222211221212121211112222211112111212221()(1)()(1)2(1)pppprwrwr＋＝＝由于＋，则＋＝由此就构成了资产在给定条件下的可行集！投资学第6章13注意到两种资产的相关系数为1≥ρ12≥－1因此，分别在ρ12＝1和ρ12＝－1时，可以得到资产组合的可行集的顶部边界和底部边界。其他所有的可能情况，在这两个边界之中。投资学第6章14两种资产完全正相关，即ρ12＝1，则有p11112111121p111p221122()(1)()(1)10ppp＝＋当＝时，＝，当＝时，＝，所以，其可行集连接两点（，）和（，）的直线。投资学第6章151111212121112212121221212221212()(1)()/()()(1)(()/())(1()/())ppppppp则－从而－－故命题成立，证毕。命题6.1：完全正相关的两种资产构成的可行集是一条直线。证明：由资产组合的计算公式可得投资学第6章16两种资产组合（完全正相关），当权重w1从1减少到0时可以得到一条直线，该直线就构成了两种资产完全正相关的可行集（假定不允许买空卖空）。收益Erp风险σp11(,)r22(,)r投资学第6章176.2.3两种完全负相关资产的可行集两种资产完全负相关，即ρ12=-1，则有2222p11112111211121111221p1221p111121221p1121112()(1)2(1)|(1)|()(1)0()(1)()(1)p=－＋当时,当时，=当时，=投资学第6章18命题6.2：完全负相关的两种资产构成的可行集是两条直线，其截距相同，斜率异号。证明：2112111121()(1)()pp当时，则可以得到，从而221212121212221212()(1)ppppprrrrrrrr＋＋＋投资学第6章192112112111212221212,()(1)()pppp同理可证当时，则命题成立，证毕。投资学第6章20两种证券完全负相关的图示收益rp风险σp122212rrr22(,)r11(,)r投资学第6章216.2.4两种不完全相关的风险资产的组合的可行集111122222111121112122222111121()(1)()(1)2(1)0()(1)1ppprwwrwr当1时＋＝尤其当＝时＝这是一条二次曲线，事实上，当1时，可行集都是二次曲线。投资学第6章22总结：在各种相关系数下、两种风险资产构成的可行集收益Erp风险σpρ=1ρ=0ρ=-111(,)r22(,)r122212rrr投资学第6章231212121212121111由图可见，可行集的弯曲程度取决于相关系数。随着的增大，弯曲程度增加；当＝－时，呈现折线状，也就是弯曲度最大；当＝时，弯曲度最小，也就是没有弯曲，则为一条直线；当，就介于直线和折线之间，成为平滑的曲线，而且越大越弯曲。二、均值－方差模型（4）可行集（1）＝＋1＝＋0.5＝-0.5ABEPP＝－1二、均值－方差模型（5）可行集（2）BACEPP可行集的数学含义假定现在有n项有风险资产，它们的预期收益率记为,彼此之间的协方差记为（当时，表示方差），表示资产在组合中的比重。于是投资组合的预期收益率和方差就应当是niRi,,1:njiij,,1,:jiijnixi,...,1:n1iiipRxRninjijjipxx112有效边界的数学含义优化投资组合就是在要求组合有一定的预期收益率的前提条件下，使组合的方差越小越好，即求解以下的二次规划:ninjijjipwxx112minpniiiRRxts1..niix11投资学第6章28风险资产组合的有效集在可行集中，有一部分投资组合从风险水平和收益水平这两个角度来评价，会明显地优于另外一些投资组合，其特点是在同种风险水平的情况下，提供最大预期收益率；在同种收益水平的情况下，提供最小风险。我们把满足这两个条件（均方准则）的资产组合，称之为有效资产组合；由所有有效资产组合构成的集合，称之为有效集或有效边界。投资者的最优资产组合将从有效集中产生，而对所有不在有效集内的其它投资组合则无须考虑。投资学第6章29整个可行集中，G点为最左边的点，具有最小标准差。从G点沿可行集右上方的边界直到整个可行集的最高点S（具有最大期望收益率），这一边界线GS即是有效集。例如：自G点向右上方的边界线GS上的点所对应的投资组合如Ｐ，与可行集内其它点所对应的投资组合（如Ａ点）比较起来，在相同风险水平下，可以提供最大的预期收益率；而与Ｂ点比较起来，在相同的收益水平下，Ｐ点承担的风险又是最小的。投资学第6章30总结A、两种资产的可行集完全正相关是一条直线完全负相关是两条直线完全不相关是一条抛物线其他情况是界于上述情况的曲线B、两种资产的有效集左上方的线C、多个资产的有效边界可行集：月牙型的区域有效集：左上方的线投资学第6章31马克维茨的数学模型*均值-方差（Mean-variance）模型是由哈里·马克维茨等人于1952年建立的，其目的是寻找有效边界。通过期望收益和方差来评价组合，投资者是理性的：害怕风险和收益多多益善。因此，根据上一章的占优原则这可以转化为一个优化问题，即（1）给定收益的条件下，风险最小化（2）给定风险的条件下，收益最大化投资学第6章321111mins.t.,1nnijijijniiinii11111212...=(,,...,)w=(,,...,),nnnnTnncrrrr若已知资产组合收益、方差协方差矩阵和组合各个资产期望收益向量，求解组合中资产权重向量则有33对于上述带有约束条件的优化问题，可以引入拉格朗日乘子λ和μ来解决这一优化问题。构造拉格朗日函数如下1111L()(1)nnnnijijiiiijii上式左右两边对wi求导数，令其一阶条件为0，得到方程组投资学第6章34111122121000njjjnjjjnjnjnjnLwrwLwrwLwrw和方程111niiiniiwrcw投资学第6章35这样共有n＋2方程，未知数为wi（i＝1，2,…,n）、λ和μ，共有n＋2个未知量，其解是存在的。注意到上述的方程是线性方程组，可以通过线性代数加以解决。例：假设三项不相关的资产，其均值分别为1，2，3，方差都为1，若要求三项资产构成的组合期望收益为2，求解最优的权重。投资学第6章36311111322