经济数学

经济数学第四章不定积分4.1不定积分的概念与性质4.2不定积分的性质4.3不定积分的换元积分法4.4不定积分的分部积分法§4.1不定积分的概念4.1.1原函数已知某商品总收入的变化率为，求总收入函数．这是与求导数相反的问题．)()(xgxR)(xR定义4.1设是定义在某区间的已知函数，若存在，使得则称为的一个原函数)(xf)(xF)()('xfxF)(xF)(xf因为，所以是的一个原函数，但，所以的原函数不是唯一的．xx2)('22xx2xxx2)2()1('2'2x2说明：1．原函数的存在问题：如果在某区间连续，那么它的原函数一定存在（将在下一章证明）.2．若存在原函数，则原函数不是唯一。)(xf)(xf定理4.1若是的一个原函数，则是的所有原函数，其中为任意常数．CxF)(C)(xF)(xf)(xf证:由于又所以函数族中的每一个都是的原函数．)()('xfxF)()(])([''xfxFCxFCxF)()(xf另一方面，设是的任一个原函数，即．则)()('xfxG)()]()([''xGxFxG0)()()('xfxfxF)(xG)(xf所以，或，此即的任一原函数均可写成的形式．CxFxG)()(CxFxG)()()(xfCxF)(二、不定积分定义4.2函数的全体原函数叫做的不定积分,记为．其中“”叫做积分号，叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积表达式．由定理4.1知，若是的一个原函数,则其中任意常数称为积分常数．)(xF)(xfx)(xfCxFdxxf)()(C)(xfdxxf)(dxxf)()(xf例1求不定积分解例2求不定积分解时，，又时，．xdxcosxxcos)(sin'Cxxdxsincosdxx10xxx1)(ln'0xxxx11)][ln('Cxdxxln1函数f(x)的原函数图形称为f(x)的积分曲线,不定积分表示的不是一个原函数,而是无穷多个(全部)原函数,通常说成一族函数,反映在几何上则是一族曲线,这族曲线称为f(x)的积分曲线族.4.1.4.不定积分的几何意义在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线彼此平行（如图）.f(x)为积分曲线在(x,f(x))处的切线斜率.例1设曲线通过点(2,3),且其上任一点的切线斜率等于这点的横坐标，求此曲线方程.因此所求曲线的方程为解设所求的曲线方程为,依题意可知xfy21d2所以yxxxCxy'把（2，3）代入上述方程，得C=11212xy4.2.1不定积分的性质性质1被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面.性质2可以推广到有限多个函数的情形，即性质2两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数不定积分的和(或差)，即dxxfddxxkf)(0k是常数，k()()()()fxgxdxfxdxgxdxdxxfdxxfdxxfdxxfxfxfnn21214.2.2不定积分的基本积分公式ckxkdxcxdxx11cxdxxln1cxdxxarctan112cxdxxdxarcsin12cxxdxsincoscxxdxcossincxdxxdxxtancos1sec22cxdxxdxxcotsin1csc22cxdxxxsectanseccxdxxxcsctancsccedxexxcaadxaxxln22d(8)cscdcot.sinxxxxCx(10)sectandsec.xxxxC(7)cosdsin.xxxC22d(9)secdtan.cosxxxxCx(11)csccotdcsc.xxxxC21(12)darcsin.1xxCx21(13)darctan.1xxCx例1计算下列积分.d1(3).d1(2).d)1(23xxxxxx.43131134131CCxxxxxxdd1(2)21解xxxxdd(1)313xxxxdd1(3)22.22111211CxCx.112112CxCx例2计算下列积分(1)2.()..21d(2)d(3)dxxxxxex解(1)22dln2xxxC(3).deexxxC11111()d()()122ln22ln2xxxxCC(2).d2cosxx求4.3.1第一类换元法例1dd2，xu原因在于被积函数cos2x与公式中的被积函数不一样.如果令u=2x，则cos2x=cosu，du=2dx，从而xxdcos11cos2dcosdcosd22xxuuuu所以有？1cos2dsin2.2xxxC分析4.3换元积分法.sin21dcos21cossincossinddCuuuuuuuuu的原函数，因此有被积函数是而言，，即对新的积分变量由于.2sin21sin212CxCuxu代回，得再把综合上述分析，此题的正确解法如下：,d2d,2xuxu得令uuxxdcos21d2cos解.2sin21sin21CxCu，则有得uxd21d.d2cosxx求于是类似于例1，可作如下变换与计算：例2求不定积分．dxxex22分析注意到被积式中含有项，而余下的部分恰有微分关系：2xe)(22xdxdxCeCeduexdedxxexxuuuxuxx22222)(22同样可验证计算结果是正确的．一般，我们有如下的换元积分法:定理4.1若是的一个原函数，则CdxxFdxxxf)]([)()]([')(xF)(xf证明:令，根据复合函数的微分法，得因此，由不定积分的定义就得到了定理中的公式．)()]([)()()()()]]([['''''xxfxufxuFxF)(xu利用第一换元积分法（也叫凑微分法）计算积分的一般程序为：dxxxf)()]([')()]([xdxfduuf)(CxF)]([CuF)(ux)(令凑微分)(xu令解被积函数中的一个因子为余下的因子恰好是中间变量的导数，于是有例3求不定积分．xdxxcossin2xuuxsin,sin22xcosxusinxxdxdxxsinsincossin22Cuduu3231Cx3sin31例4求2dxxex解222211ddd22xxuxexexeuxu变量代换凑微分221122uxeCeCux还原例5求.dtanxx=ln|cos|.xC类似地，有dlnsincot||.xxxCdcossindtanxxxxx解)d(coscos1xx例6求不定积分xxdx2ln解设，则．于是xulnxdxduCxCuduuxdxxxdxln111lnln1ln222说明：在对变量代换发方法熟悉后，可略去中间的换元步骤，直接凑微分后积分即可例7求不定积分dxeexx21Cedeedxeexxxxxarctan)(11122解dxxdxx22cos1sin2xdxdx2cos2121)2(2cos4121xxdx例8求不定积分dxx2sinCxx2sin4121解例9求不定积分dxxxsinCxxdxdxxxcos2sin2sin解一些常用的微分式：)(1baxdadx)(212xdxdxxdxdx2xxdedxexddxxln1xdxdxcossinxdxdxsincosxdxdxtansec2xdxdxcotcsc2xdxdxarcsin12xdxdxarctan12第一换元积分法是选择新的积分变量，但对有些被积函数则需要作相反方式的换元，即令，把作为新的积分变量，才能积出来．即)(xu)(tx这种方法叫做第二换元积分法．4.3.2第二换元积分法dxxf)(dtttf)()](['CtF)(CxF)]([1使用第二换元积分法的关键是恰当地选择变换．对于，要求其单调、可导，且其反函数存在．)(tx)(tx)(1xt例1求不定积分dxxx3131则代入后，得dttdx2Cttdtttdxxx354331151)2(31131解为消去根式，令即,133tx)1(313txCxx)2()13(15132可以看出：若被积函数中含有一个被开方式为一次式的根式时，令，可以消去根式，从而求得积分．若被积函数含有被开方式为二次式的根式时，可使用三角代换消去根式．nbaxtbaxn一般地，当被积函数含有（1），可作代换；（2），可作代换；（3），可作代换．22xataxsin22xataxtan22axtaxsec例2求不定积分)0(22adxxa令于是)22(sinttaxdttatdtadxxa22cos1cos22222Ctata2sin4222axtsinaxtarcsinaxat22cosCxaxaxaxa2222221arcsin2解由得及所以taxaxat22cos例3求不定积分)0()(322axadx解令则．)22(tanttaxtdtdx2sec由得，taxtan22sinxaxtCxaaxxadx222322)(dttataxadx332322secsec)(Ctatdtasin1cos122于是故txa22xa22sinxaxt(14)tandln|cos|.xxxC补充的积分公式：(15)cotdln|sin|.xxxC(16)secdln|sectan|.xxxxC22d1(19)ln||.2xxaCxaaxa(17)cscdln|csccot|.xxxxC22d1(18)arctan.xxCaxaa22d(20)arcsin.xxCaax2222d(21)ln||.xxxaCxa2222d(22)ln||.xxxaCxa证明:由公式§4.4分部积分法)()()()())()(('''xvxuxvxuxvxu)()())()((()()('''xvxuxvxuxvxu分部积分公式也可写成:vduuvudv得对上式两边积分,并应用不定积分的性质3及性质2即得分部积分公式定理4.2设函数具有连续的导数，则有下列分部积分公式：dxxvxuxvxudxxvxu)()()()()()(''分部积分公式的意义在于,它可以将求的积分问题转化为求的积分，当后者容易求出时，分部积分公式就起到了化难为易的作用．运用好分部积分法的关键是恰当地选择好和udv其选择原则：udvvdu(1)要从中容易求得；(2)要比容易积出．dvvduudv例１求不定积分dxxexvCexedxexexdedxxexxxxxx例2求不定积分xdxxcosxxdxdxxsincosxdxxxsinsinCxxxcossin2lnln2xxdxdxxxdxxxln2ln222解:xdxxln例3求不定积分解:解:Cxxx4ln222dxxxx2ln22例4求不定积分dxexx2xxdexdxex22dxxeexxx22xxxdeex22dxexeexxxx222Cexeex