经济研究中的计算方法1

经济研究中的计算方法一个生活问题星期天，小明和张老师提着篮子（篮子重0.5斤）去集市买10斤鸡蛋，当张老师往篮子里放称好的鸡蛋时，感觉比过去买10斤鸡蛋时个数少很多。于是她将鸡蛋装进篮子再让摊主一起称，共称得10.55斤。她即刻要求摊主补给少称部分的蛋。旁边的小明感到疑惑不解。聪明的你，张老师怎么知道蛋肯定少了。若用摊主的秤称应补多少斤？让我们分析一下：因为篮子重0.5斤，连鸡蛋一起称为0.55斤，故篮子重了0.05斤。故张老师就知道这10斤蛋肯定少了。设用摊主的秤称应补x斤鸡蛋，则0.5÷0.55=10÷10+x。解得x=1。经检验x=1是原方程的解且符合题意。所以用摊主秤称应补给张老师一斤鸡蛋。通过以上例题让学生明白上街买菜虽是小事，但每天必做。生活确实离不开数学。复利、连续复利与贴现(1)0t10002210设某顾客在银行存入本金A元,若存款的年利率为r，试计算t年后该顾客存款的本利之和A.若每年结算一次，则第一年末的本利之和是A=A+Ar=A(1+r)第二年末的本利之和是A=A（1+r)=A(1+r)tt0第t年末的本利之和是A=A(1+r)12tt0若每月结算一次（即每年结算12次），则月利率r以计，于是由（1）式可得第t年末的本利之和是12rA=A(1+)12365tt0同样道理，若每天结算一次（即每年结算365次），r则日利率以计，于是由（1）式可得第t年末的365本利之和是rA=A(1+)365mtt0综上所述，若每年结算m次，则第t年末的本利之和为rA=A(1+)m这里不论m是多少次，只要是按上式计算本利之和的都称之为“复利”。并且每年结算的次数越多，本利之和就越大。t但是不是结算次数m的不断增加，可以使本利之和A无限地增大呢？其实，这是一个极限问题。t当m→+∞时，A的极限是否存在？(2)mtrtt00m→∞m→∞可以算出rlimA=limA(1+)=Aem这个结果表明，结算周期无穷小，即银行要连续不断地向顾客付利息，这种计息方式就称为------连续复利。但这种连续复利的结果也不是无穷大。0t0我们将A称为资金的“现值”，而将按年利率r以连续复利形式计算出来的A称为资金A的“t年未来值”，这就是所谓资金的时间价值。3（）-rt0tt0由公式(2)可以推出A=Ae利用这个公式可以在已知资金的“t年未来值”A的情况下求资金现值A，这个过程称为“贴现”。例如，我国财政部发行的所谓“贴现国债”，老百姓只要花80多元钱，就可以买到面值100元的国债。它就是用贴现的方法计算出来的。3-0.090在（3）式中，r=0.03,t=3,A=100则A=100e=?x23n根据微积分中的泰勒展开式，我们可以得到这样近似计算公式111e≈1+x+x+x++x2!3!n!复利、连续复利与贴现的例子02t50某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在(t=0)就出售，总收入为R元；如果窖藏t年后按陈酒出售，则总收入为R=Re元。假定银行的年利率为r，并以连续复利计息，那么，这批酒窖藏多少年出售才能使总收入的现值最大呢？什么是“总收入的现值”？资金的时间价值体现在这个计算公式中rtt0A=Ae0t-rt0t其中A为资金的现值，A为按年利率r以连续复利计息的t年未来值；另外，上式也可写成A=Ae22tt-rt-rt-rt5500回到原来的问题。设t年末总收入R的现值为R，则R=Re=(Re)e=Re221用微积分中求极值的方法可以算出，当t=时，25r1R取得最大值。即这批酒窖藏年出售可使总25r收入的现值最大。第一章误差主要知识点数值计算方法的主要内容；数值计算方法的定义；近似计算时，常采用的一些方法；误差的来源；计算某值的绝对误差、绝对误差限、相对误差、相对误差限，有效数字位数；数值运算中应注意的事项。数值计算方法的主要内容数值计算方法这门学科是根据解决实际问题的需要而产生，并随着科学技术的发展而不断地发展与创新。主要内容包括误差的一般概念、插值法、数据拟合法、非线性方程的数值解法、线性代数方程组的数值解法、数值积分法、数值微分法、常微分方程初值问题的数值解法和矩阵特征值与特征向量的求法等。数值计算方法的定义数值计算方法是研究常见的基本数学问题的数值解法及其相关理论的一门数学分支，它包含了数值代数、数值微分与积分，常微分方程数值解等内容。课程的主要目的数值计算方法课程的主要目的就是为人类解决很多实际问题而提供的一种计算工具，故同学们的任务就是学习、掌握并利用这个工具。培养学生基本的和必要的数值计算方面的知识；在学完数学分析、高等代数之后继续提高运用数学知识，解决数值计算问题的能力。误差来源1、模型误差2、观测误差3、截断误差4、舍入误差模型误差用数学模型来描述具体的物理现象时，往往要忽略许多次要因素，把模型“简单化”、“理想化”，因此模型本身就包含有误差，这种误差称为模型误差。模型误差例题例1我们用，（为重力加速度）来描述物体自由下落时距离与时间的关系．设自由落体在时间时的实际下落距离为，则就是“模型误差”。ts21()2stgtgt()tsst观测误差在数学模型中总要包含一些观测数据，这些观测数据受工具、方法、观测者的主观因素、不可预料的随机干扰等影响必然带入误差，这种误差称为观测误差。观测误差例题例2设一根铝棒在温度时的实际长度为，在时的实际长度为，用来表示铝棒在温度为时的长度计算值，并建立数学模型：，其中是实验观测到的常数：则称为“模型误差”，是的“观测误差”。tLt0t0Ltlt0(1)tlLt5(2.380.01)10cttLl50.0110截断误差在解决实际问题时，数学模型常常难于直接求解，往往要近似代替，其近似解与精确解之间的误差称为截断误差。截断误差例题例3求时，可将展开为级数形式：在实际计算时，我们只取前面有限项（例如项）计算部分和作为的值必然产生误差，其误差为：这个误差就是“截断误差”。212!!nxxxexnn2()12!!nnxxSxxn1()(1)!nneRxxn0x在与之间21......2nxxxexnxexexe()nSx舍入误差在计算时总是只能取有限位有效数字进行计算而引起，初始参数与中间结果都必须进行四舍五入，这个误差称为舍入误差。舍入误差例题例4，，等，在计算机上运算时只能用有限位小数，如果取小数点后四位数字，则,，，就是“舍入误差”3.141592621.4142135610.3333313.14160.000074l21.414220.000013l310.33330.0000333l误差来源分析总之，误差一般来自模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差。在计算方法课程中，不分析模型误差；观测误差作为初始舍入误差；截断误差是主要讨论对象，是计算中误差的主要部分。在各种算法中，通过数学方法可推导出截断误差限的公式；舍入误差产生往往有很大的随机性，讨论比较困难，在问题本身呈现病态或不稳定时，它可能成为计算中误差的主要部分。误差分析是一门专门的学科，经过训练的计算工作者，当发现计算结果与实际不符时，应当能找出误差的来源，并采取相应的措施加以改进，甚至对模型进行修改。误差理论误差、误差限、有效数字相对误差及与有效数字的联系算术运算的误差和相对误差误差的概念定义1.1设为准确值，为的一个近似值，称为近似值的绝对误差，简称误差。误差是有量纲的量，它可正可负，当绝对误差为正时，近似值偏大，叫强近似值；当绝对误差为负时，近似值偏小，则称弱近似值。x*xx*xxx绝对误差限通常我们并不知道准确值，也不能算出误差的准确值，但能根据测量工具或计算情况估计出误差的绝对值的上限，这个上限称为近似值的误差限。记为。即在工程中常记为：*xxe*xxx*x绝对误差限例题例5我们用一把毫米刻度的米尺来测量桌子的长度，读出的长度为，是的近似值，由于米尺的精度知道，它的误差限为0.5mm，则有*12350.51234.51235.5[1234.5,1235.5]12350.5xxxmmxxxmm即这表明在区间内，写成*1235xmm*xxx相对误差定义1.2误差与精确值的比值称作近似值的相对误差，记作。相对误差是无量纲的量，常用百分比表示，它可正可负。*exxxx*xre相对误差限相对误差也不能准确计算，而是用相对误差限来估计的：就是相对误差限．当较小时，可以忽略不计，所以以后我们就用表示相对误差限。*rrxxexxrr*x有效数字位数定义1.3如果近似值的绝对误差限是某一位数字的半个单位，我们就说准确到该位，从这一位起直到前面的第一位非零数字为止的所有数字称为的有效数字。*x*x*x有效数字位数(续)413.1416102513.14159102则说x*近似表示x准确到小数后第n位，并从这第n位起直到最左边的非零数字之间的一切数字都称为有效数字，并把有效数字的位数称为有效位数。*1102nxx3.140.0015926有效数位为3位3.14160.0000074有效数位为5位3.14150.0000926有效数位为4位有效数字位数例题0.034039*0.0342*0.03403*0.034044xxxx例：设，那么取2位，，有效数字位数为位；取3位，，有效数字位数为位；取4位，，有效数字位数为位；重要定理、结论定理1.1设近似值，有n位有效数字，则其相对误差限为定理1.2设近似值的相对误差限为：，，则它有n位有效数字。12*0.10mnxaaa10a111102nra12*0.10mnxaaa111102(1)na10a例题分析例若是的具有六位有效数字的近似值，那么它的误差限是：若是的具有五位有效数字的近似值，则误差限是：*3587.64xxx46211*101022xx25711*101022xx*0.0023156x1、避免两个相近的数相减；2、避免除数绝对值远小于被除数绝对值的除法；3、要防止大数“吃掉”小数；4、尽可能减少运算次数；5、要设法控制误差的传播。在近似计算中应该注意的事项