计量经济学08

经济计量学Chp8——多元回归：估计与假设检验主要内容8.1多元线性回归模型及其假定8.2多元线性回归参数的估计8.3多元回归模型的拟合优度8.4多元回归模型的假设检验8.5关于设定误差8.6实例从单解释变量到多解释变量一个例子：存款机构破产学习目标多元回归模型的估计问题多元回归模型的假设检验问题多元回归模型区别于双变量模型的特性如何决定多元回归模型中解释变量的个数8.1多元线性回归模型及其假定多元线性回归模型多元线性回归模型：表现在线性回归模型中的解释变量有多个。一般表现形式：i=1,2…,n其中:k为解释变量的数目，Bj称为回归参数（regressioncoefficient）。01122iiikkiiYBBXBXBXu也被称为总体回归函数的随机表达形式。它的非随机表达式为:1201122(|,,)iiikiiikkiEYXXXBBXBXBX表示：各变量X值固定时Y的均值，即总体回归线上的点。习惯上：把常数项看成为一虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始终取1。于是：模型中解释变量的数目为（k+1）01122iiikkiiYBBXBXBXu确定成分随机成分Bj也被称为偏回归系数，表示在其他解释变量保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化;或者说Bj给出了Xj的单位变化对Y均值的“直接”或“净”（不含其他变量）影响。其随机表示式:ei称为残差或剩余项(residuals)，可看成是总体回归函数中随机扰动项ui的近似替代。用来估计总体回归函数的样本回归函数为：01122iiikkiiYbbXbXbXe01122ˆiiikkiYbbXbXbX多元线性回归模型的基本假定假设1：回归模型是参数线性的，并且正确设定假设2：解释变量与扰动项不相关假设3，随机误差项具有零均值、同方差，服从正态分布及不序列相关性（相当于书中的3、4、5、7等四个假设）。0)(iE22)()(iiEVar0)(),(jijiECovnjiji,,2,1,多元线性回归模型的基本假定假设4：解释变量之间不存在完全共线性，即两个解释变量之间无确切的线性关系。在存在完全共线性的情况下，不能估计偏回归系数，即不能估计各解释变量各自对应变量Y的影响。实际问题中，很少会遇到完全共线性的情况，但却面临高度共线性或近似完全共线性的情况。这将第三部分说明。8.2多元线性回归参数的估计主要内容1.普通最小二乘估计量2.OLS估计量的方并与标准误3.多元回归OLS估计量的性质4.估计实例1.普通最小二乘估计对于随机抽取的n组观测值(Yi,Xji),i=1,2,…,n;j=1,…,k如果样本函数的参数估计值已经得到，则有：i=1,2…n•根据最小二乘原理，参数估计值应该是如下方程组的解011ˆiikkiYbbXbX其中：2112)ˆ(niiiniiYYeQ01000kQbQbQb20111niikkiiYbbXbX•于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：解这k+1个方程组成的线性代数方程组，即可得到(k+1)个待估参数的估计值bj,j=0,1,…,k01101111011ikkiiikkiiiiikkikiikibbXbXYbbXbXXYXbbXbXXYX•对于三变量模型：解得：01122210111212220211222iiiiiiiiiiiiYbbXbXYXbXbXbXXYXbXbXXbX22111222221212iiiiiiiiiiiyxxyxxxbxxxx21221212221212iiiiiiiiiiiyxxyxxxbxxxx01122bYbXbX2.OLS估计量的方差与标准误标准误的作用：建立真实参数的置信区间；检验统计假设方差与标准误的具体公式：22221221121220222121221iiiiiiiiXxXxXXxxVarbnxxxx22212221212iiiiixVarbxxxx21222221212iiiiixVarbxxxx各参数的标准误分别等于它们方差的平方根。22ˆ3ien2221122ˆiiiiiiiieYYybyxbyx3.多元回归OLS参数估计量的性质在满足基本假设的情况下，其结构参数B的普通最小二乘估计——矩估计及最大似然估计仍具有：线性性、无偏性、有效性。同时，随着样本容量增加，参数估计量具有：渐近无偏性、渐近有效性、一致性。1、线性性其中,C=(X’X)-1X’为一仅与固定的X有关的行向量2、无偏性1bXXXYCY111EbEXXXYEXXXXBuBXXEXuB3、有效性（最小方差性）这里利用了假设:E(X’u)=0参数估计量b的方差－协方差矩阵111111122CovbEbEbbEbEbBbBEXXXuuXXXXXXEuuXXXEuuXXIXXXX其中利用了和2EuuI111bXXXYXXXXBuBXXXu12CovbXX根据高斯——马尔可夫定理，在所有无偏估计量的方差中是最小的。关于样本容量问题所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理和最大似然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。⒈最小样本容量样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）,即n≥k+1因为，无多重共线性要求：秩(X)=k+12、满足基本要求的样本容量•从统计检验的角度：n30时，Z检验才能应用；n-k≥8时,t分布较为稳定•一般经验认为:当n≥30或者至少n≥3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求。•模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明8.3多元线性回归模型的拟合优度拟合优度——多元可决系数（判定系数）１.可决系数与校正的可决系数则2222)ˆ()ˆ)(ˆ(2)ˆ())ˆ()ˆ(()(YYYYYYYYYYYYYYTSSiiiiiiiiii总离差平方和的分解由于:)ˆ()ˆ)(ˆ(YYeYYYYiiii=0所以有：ESSRSSYYYYTSSiii22)ˆ()ˆ(注意：222222ˆˆˆˆˆˆYYYYYYYYYYYYYYYYYYiiiiiiiiiiii011iiikikiibebeXbeXYe可决系数TSSRSSTSSESSR12该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。问题：在应用过程中发现，如果在模型中增加一个解释变量，R2往往增大。这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。——但是，现实情况往往是，由增加解释变量个数引起的R2的增大与拟合好坏无关，R2需校正。校正的可决系数（adjustedcoefficientofdetermination）在样本容量一定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少，所以校正的思路是：将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响:)1/()1/(12nTSSknRSSR其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。注：两个解释变量，但要估计三个参数221111nRRnk注：这里的分母和书上(P165)差１，是因为书上将常数项也看成一个变量。*2、赤池信息准则和施瓦茨准则为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的拟合优度，常用的标准还有:nknAIC)1(2lnee施瓦茨准则（Schwarzcriterion，SC）nnknAClnlnee这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够减少AIC值或AC值时才在原模型中增加该解释变量。赤池信息准则（Akaikeinformationcriterion,AIC）例：P158（古董钟拍卖）校正的判定系数有如下性质：如果k1，则R2总是大于0，但可能为负（例见P165）2R22RR2R8.4多元线性回归模型的假设检验假设检验一、变量的显著性检验（t检验）二、方程的显著性检验(F检验)三、参数的置信区间一、变量的显著性检验（t检验）方程的可决系数R2虽然度量了估计回归直线的拟合优度，但R2本身却不能判定回归系数是否是统计显著的，即是否显著不为零。因此，必须对每个解释变量进行显著性检验——偏回归系数的显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。这一检验是由对变量的t检验完成的。可以证明，在多元线性回归的基本假设条件下，服从正态分布，它们的均值分别为B0，B1，B2，方差分别如P157。但由于2无法观察，故用其无偏估计量代替，所得的OLS估计量服从自由度为(n-3)的t分布，而非正态分布，即：0030~nbBttseb2232~nbBttseb1131~nbBttseb1、t统计量2、t检验——显著性检验法设计原假设与备择假设：H1：Bi0给定显著性水平，可得到临界值t/2(n-k-1)，由样本求出统计量t的数值，通过|t|t/2(n-k-1)或|t|≤t/2(n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，从而判定对应的解释变量是否应包括在模型中。H0：Bi=0（i=1,2…k）注：这里还得注意是单边检验还是双边检验的问题。2、t检验——置信区间法设计原假设与备择假设：H1：Bi0根据给定的显著性水平，可得到临界值t/2(n-k-1)，进而求得总体参数（偏回归系数）的置信区间，再看该区间是否包含零假设的B值——B*（一般为0），以决定接受还是拒绝零假设。H0：Bi=0（i=1,2…k）/2/22221PtttbBtseb2/2222/22btsebBbtseb二、方程的显著性检验(F检验)方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。1、方程显著性的F检验即检验模型Yi=B0+B1X1i+B2X2i++BkXki+ii=1,2,,n中的参数Bj是否显著不为0。可提出如下原假设与备择假设：H0：B0=B1=B2==Bk=0H1：Bj不全为0F检验的思想来自于总离差平方和的分解式：TSS=ESS+RSS由于回归平方和ESS=ŷi2是解释变量X的联合体对被解释变量Y的线性作用的结果，考虑比值：22ˆiiyESSRSSe如果这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性关系。因此,可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断。根据数理统计学中的知识，在原假设H0成立的条件下，统计量)1/(/knRSSkESSF服从自由度为(k,n-k-1)的F分布。给定显著性水平，可得到临界值F(k,n-k-1)，由样本求出统计量F的数值，通过FF(k,n-k-1)或F≤F(k,n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上的线性关系是否显著成立。注意：一元线性回归中，t检验与F检验一致一方面，t检验与F检验都是对相同