高级微观经济理论(英文第3版)Ch01译稿

1第一章：价格和优化1.1支持价格1.2影子价格1.3包络定理1.4约束条件下优化的基础知识1.5应用：联合成本条件下的垄断定价21.1支持价格关键词：凸生产集和非凸生产集，价格激励，支持超平面定理追求自身利益是经济学的核心假定。因此，深入理解最大化理论是进行有效的理论研究所必需的。其中，约束条件下的最大化理论，对经济学研究极为重要，所以第一章就介绍这一理论。1这里不做纯粹的数学探讨，而是把中心放在价格上。我们首先探讨“支持价格”的作用，分析如何利用价格激励经济主体做最优选择。除了这一重要性外，支持价格还是约束条件下的最大化理论的核心概念。第二节分析这一点，但强调的是数学模型背后的经济学原理。第三节探讨经济主体的最大收益如何受其所在环境的变化（即“参数”的变化）影响。第四节给出了约束条件下最大值的必要条件的数学证明。第五节举例演示如何应用这一必要条件。设一家工厂或企业能用𝑚种投入品——数量为𝑧=(𝑧1,…𝑧𝑚)——生产𝑛种产品——数量为𝑞=(𝑞1,…𝑞𝑛)。一个生产方案于是就是一个投入-产出向量(𝑧,𝑞)。这家工厂的经理必须在各个可行的生产方案之间做出选择。为简化符号，我们用负数表示投入品，定义“生产向量”为𝑦=(𝑦1,…𝑦𝑛+𝑚)=(−𝑧1,…−𝑧𝑚,𝑞1,…𝑞𝑛)；表示为向量形式，为𝑦=(−𝑧,𝑞)。设𝑌⊆ℝ+𝑚+𝑛为这家工厂的所有的可行的生产方案构成的集合，这就是它的“生产集”。如果价格向量为𝑝=(𝑝1,…𝑝𝑛+𝑚)，则这家工厂的总收入为∑𝑝𝑖𝑦𝑖𝑚+𝑛𝑚=1，总成本为∑𝑝𝑖𝑧𝑖𝑚𝑚=1=∑𝑝𝑖(−𝑦𝑖)𝑚𝑚=1。这家工厂的利润于是为π=�𝑝𝑖𝑦𝑖𝑚+𝑛𝑚=1−�𝑝𝑖𝑧𝑖𝑚𝑚=1=𝑝𝑦例子：生产函数与生产集一家工厂的生产函数为𝑞=4𝑧14⁄，就是说，在投入品数量为𝑧时，这个工厂的最大产量为𝑞=4𝑧14⁄。因此，它的实际产量必须满足约束条件：𝑞≤4𝑧14⁄。它的生产集𝑌是其可行的生产方案构成的集合，即𝑌=�(𝑧,𝑞)�𝑧≥0,𝑞≤4𝑧14⁄�图1.1-1a画出了这个生产集。这个生产集还有另一种等价的表示方式：𝑌={(𝑧,𝑞)|16𝑧−𝑞2≥0}。2如果我们把投入品用负数表示，则一个可行的生产方案是一个生产向量(𝑦1,𝑦2)=(−𝑧,𝑞)，生产集为1附录中介绍了其他数学概念。2在这种表示形式中，𝑧≥𝑞216⁄。由于右边项为正数，所以这一约束条件意味着𝑧≥0。3𝑌={(𝑦1,𝑦2)|−16𝑦1−𝑦22≥0}。图1.1-1b中画出了这个生产集。图1.1-1a：生产集图1.1-1b：生产集▉生产效率我们说，一个生产方案𝑦是浪费的，如果在生产集中存在另一个方案，其产量更大而投入更小。我们说，不浪费的生产方案具有生产效率。正式地说，生产方案𝑦�具有生产效率，如果不存在𝑦∈𝑌使得𝑦𝑦�。3我们探讨价格和利润最大化能否激励企业选择有效率的生产方案。用数学语言说，我们要找到“支持”有效率生产方案的价格。设一家工厂使用一种投入品，生产一种产出品。这种投入品的价格为𝑝1。生产集𝑌（即这家工厂的所有可行的生产方案构成的集合）如图1.1-2所示。图1.1-2a：转移价格太高图1.1-2b：最优转移价格3对向量，我们的定义是，如果对所有的𝑗，𝑦𝑗≥𝑦�𝑗，则𝑦≥𝑦�。如果还存在某个𝑗，使得𝑦𝑗𝑦�𝑗，则yy。如果对所有的𝑗，𝑦𝑗𝑦�𝑗，则𝑦≫𝑦�。4给定投入品数量𝑦1，所能实现的最大产量为这家工厂生产集的边界上的点。在图上，这家工厂具有递减的边际生产率：随着投入品数量不断增加，产量增幅下降。就是说，这个生产集𝑌是凸的：对集合𝑌中每对生产向量𝑦0与𝑦1，其每个凸组合𝑦𝜆=(1−𝜆)𝑦0+𝜆𝑦1,0𝜆1也是一个可行的生产方案。假设这家工厂属于一家大企业，企业规定工厂的目标产量为𝑦20。这种产品是中间品，要提供给企业内部的一家“下游”工厂。从图上看，工厂经理的最佳选择是购买𝑧1=−𝑦10件投入品。如果投入品数量低于这一水平，目标产量不可能实现；如果投入品数量高于这一水平，生产能力就会过剩。这里的关键问题是，如何激励工厂经理做出正确选择。假设企业对每件产品规定了一个“转移价格”𝑝2，工厂经理的奖金为由此实现的利润：Π(𝑦)=𝑝1𝑦1+𝑝2𝑦2图1.1-2中画出了两条“等利润线”。等利润线的陡峭程度为投入品和产出品的价格比率𝑝1𝑝2⁄。从图上可以看出，这个比率太低，因为利润最大化的点位于𝑦0左上方。而只要恰当地降低转移价格，就能得到最优的生产方案，见图1.1-2b。这就是说，正确的转移价格能为经理提供恰到好处的激励。遗憾得是，这种方法并不始终管用。我们看图1.1-3。设目标产量为𝑦20。图1.1-3：在这种情况中，没有最优的转移价格在图中，直线{𝑦|𝑝⋅𝑦=𝑝⋅𝑦0}与生产集的边界在点𝑦0相切。并且，我们还可以看出，工厂在(𝑦10,𝑦20)上所实现的利润大于这一生产方案附近的其它生产方案所实现的利润。但是，5这条直线位于零利润线𝑝⋅𝑦=0的左方，因此，在这一生产方案上，工厂的利润是负的。在这种情况中，工厂经理不购买任何投入品，因此不生产任何产出，而最大化自己的利润。上述两种情况的区别是，在第一种情况中生产集是凸集，在第二种情况中却不是凸集。这告诉我们，只要生产集是凸集，企业就能用价格指导生产决策。命题1.1-1：支持超平面定理如果𝑌⊂ℝ𝑛是个非空凸集，𝑦0位于𝑌的边界上，则存在𝑝≠0使得（i）对所有的𝑦∈𝑌，𝑝⋅𝑦≤𝑝⋅𝑦0，（ii）对所有的𝑦∈int𝑌，𝑝⋅𝑦𝑝⋅𝑦0。附录C给出了此命题的一般证明。这里，我们看一种具体情况：凸集𝑌是个上优集，即𝑌={𝑦|𝑔(𝑦)≥𝑔(𝑦0)}只要在点𝑦0上梯度向量不等于零，函数𝑔在点𝑦0的线性逼近为𝑔̅(𝑦)=𝑔(𝑦0)+𝜕𝑔𝜕𝑦(𝑦0)⋅(𝑦−𝑦0)在两维空间中，这一线性逼近的图形为一个切平面，见图1.1-4。如果上优集𝑌={𝑦|𝑔(𝑦)≥𝑔(𝑦0)}如图中所示是凸的，则𝑌中所有的点都位于𝑔̅的上优集内。用数学表述，𝑔(𝑦)≥𝑔(𝑦0)⇒𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑦0)⋅(𝑦−𝑦0)≥0(1.1-1)图1.1-5：支持超平面我们有下面的引理。引理1.1-2：如果𝑌={𝑦|𝑔(𝑦)≥𝑔(𝑦0)}是凸的，则𝑦∈𝑌⇒𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑦0)⋅(𝑦−𝑦0)≥0。证明：在𝑌中任取点y。因为𝑌是凸的，0y与y所有的凸组合都位于𝑌中。就是说，对所有6的()0,1λ∈，()()()()0000gygygygyλ−≥⇒−≥，其中，𝑦𝜆=(1−𝜆)𝑦0+𝜆𝑦定义ℎ(𝜆)≡𝑔�𝑦𝜆�=𝑔�(1−𝜆)𝑦0+𝜆𝑦�=𝑔�𝑦0+𝜆(𝑦−𝑦0)�.于是，对所有的()0,1λ∈()()()()()00000gyyygyhhλλλλ+−−−=≥。随着0λ→，上式左边的极限是ℎ(𝜆)的导数在𝜆=0上的取值。根据上式，ℎ′(0)≥0。对ℎ(𝜆)求导，得到()()()()000dhgyyyyydyλλλ∂=+−⋅−∂令0λ=，则得到()()000gyyyy∂⋅−≥∂。证毕我们现在能证明命题1.1-1：对于等量集边界上任意一点0y，选择()0gpyy∂=−∂。根据上述引理，对所有的y∈ϒ，0pypy⋅≤⋅。例题：生产两种产品的企业某个企业只使用一种可变投入品（例如劳动力），设其数量为𝑧。如果它把2z数量的劳动力用于生产商品2，3z数量的劳动力用于生产商品3，则它能生产12222yz=件商品2和1233yz=件商品3。于是，𝑦2件商品2产生的投入品需求为2214y，𝑦3件商品3产生的投入品需求为𝑦32。产出向量(𝑦2,𝑦3)产生的总的投入品需求为14𝑦22+𝑦32。定义𝑦1=−𝑧。则由可行的生产方案构成的集合为()22123104ygyyyyϒ==−−−≥。点()025,8,3y=−在这一集合的边界上，并且在此点上，梯度向量为()0002211,,22gyyyy∂=−−−∂()1,4,6=−−−。由于函数()gy是三个凹函数的和，因此它是凹的（并因此是拟凹的）。定义()()01,4,6gpyy∂=−=∂。则根据上述引理，平面{}0ypypy⋅=⋅是个支持平面。7这一结论很容易验证。给定价格向量𝑝=(1,4,6)，这个企业的利润为𝜋(𝑧)=−𝑧2−𝑧3+4�2𝑧212⁄�+6𝑧312⁄我们很容易解得，在(𝑧̅2,𝑧̅3)=(16,9)时，企业利润达到最大，而相对应的利润最大化的生产向量为𝑦�=(−25,8,3).▉如果向量p非负，则支持超平面定理就具有直接的经济学含义。我们再看生产集为𝑌的那个工厂。除假定生产集为凸集外，我们再增加一个假定。免费处置对任意可行的生产方案𝑦∈𝑌和任意的𝛿0，生产方案𝑦−𝛿也是可行的。在这里，相对于𝑦，在生产方案𝑦−𝛿中，产出向量更小而投入品向量更大。这就意味着，实现方案𝑦−𝛿的一种途径，是依照方案𝑦开展生产，再按照δ中的数量增加购买投入品，然后把多出来的产出品和未用的投入品扔掉。由此得到的净生产向量为𝑦−𝛿。就是说，如果我们能免费处理掉商品，这一假设便能得到满足。假定生产集是个闭集，即它包含其所有边界点。生产方案𝑦0∈𝑌具有生产效率，如果没有其它可行的方案𝑦使得𝑦𝑦0。就是说，𝑦0位于生产集的边界上。根据支持超平面定理，存在向量0p≠使得对所有的𝑦∈𝑌，𝑝∙(𝑦0−𝑦)≥0。根据免费处置假定，对所有向量0δ，10yyδ=−∈ϒ。于是，𝑝∙(𝑦0−𝑦)=𝑝⋅𝛿=�𝑝𝑖𝛿𝑖𝑛𝑖=1≥0这一点对所有的0δ都成立。令1iδ=，且对所有的ji≠，令0jδ=，则对每个1,...,in=，0ip≥。如果0∈𝑌，则根据支持超平面定理，𝑝𝑦0≥𝑝⋅0=0我们于是有下面的结论。命题1.1-3：支持价格如果𝑦0是凸集𝑌的一个边界点，且免费处置假定成立，则存在一个价格向量𝑝0使得对所有的𝑦∈𝑌，𝑝𝑦≤𝑝𝑦0。而且，如果0∈𝑌，则𝑝𝑦0≥0。就是说，如果可行的生产方案集是凸集，我们就能利用价格指导的生产决策，实现任何8有效率的生产方案。线性模型我们现在探讨线性技术。我们将看到，理解这一模型是推导约束条件下优化问题的必要条件的关键。一个企业使用m种投入品生产一种产品，投入品的数量为(𝑧1,…,𝑧𝑚)，产量为q。它有n家工厂。工厂j的活动规模如果为jx，就能利用ijjax件投入品i，在这里，𝑖=1,…,𝑚，生产0jjax件产品。对这n家工厂求和，总产量为01njjjax=∑，对投入品i的总需求为1nijjjax=∑。生产向量𝑦=(−𝑧,𝑞)是可行的生产方案，如果它属于下面的集合：(){}0,0,,zqxqaxxzϒ=−≥≤⋅≤A(1.1-2)这里要看到，由于所有的约束条件都是线性的，所以生产集𝑌是个凸集。并且，如果(),zq−∈ϒ，则对任意的00δ≥和()1,...,0nδδδ=≥，()0,zqδδ−−−∈ϒ。就是说，在这里，免费处置假定成立。在企业只使用两种投入品且只拥有两家工厂时，生产集的形状如图1.1-6所示。图1.1-6：生产集后文中，我们将看到，这一生产集边界上的每个折痕，都是一个只有一家工厂在开工的生产方案。在这两个折痕之间的平面上的每个点中，两家工厂都在开工。要注意的是，边界线上的每个点位于一个或多个平面上。就是说，对每个这种边界点，都存在着支持平面。我们现在证明，对一般的线性模型，存在着支持价格；我们进而概括从投入品向量𝑧̅到效率产量𝑞�的