高鸿业微观经济学课后3

第5章课后习题详解1．表5-1是一张关于短期生产函数),(KLfQ的产量表：表5-1短期生产的产量表L1234567TPL103070100120130135APLMPL（1）在表中填空。（2）根据（1），在一张坐标图上作出TPL曲线，在另一张坐标图上作出APL曲线和MPL曲线。（提示：为了便于作图与比较，TPL曲线图的纵坐标的刻度单位大于APL曲线图和MPL曲线图。）（3）根据（1），并假定劳动的价格w＝200，完成下面的相应的短期成本表，即表5-2。表5-2短期生产的成本表LQLwTVCLAPwAVCLMPwMC1102303704100512061307135（4）根据表5-2-2，在一张坐标图上作出TVC曲线，在另一张坐标图上作出AVC曲线和MC曲线。（提示：为了便于作图与比较，TVC曲线图的纵坐标的单位刻度大于AVC曲线和MC曲线图。）（5）根据（2）、（4），说明短期生产函数和短期成本函数之间的关系。答：（1）经填空完成的短期生产的产量表如表5-3所示：表5-3短期生产的产量表L1234567TPL103070100120130135APL101570/3252465/3135/7MPL1020403020105（2）根据（1）中的短期生产的产量表所绘制的TPL曲线、APL曲线和MPL曲线如图5-3所示。61301200120/132071351400280/2740（4）根据（3）中的短期生产的成本表所绘制的TVC曲线、AVC曲线和MC曲线如图5-4所示。图5-3生产函数曲线（3）当w＝200时，有表5-4：表5-4短期生产的成本表LQTVC＝w×LAVC＝w/APLMC＝w/MPL110200202023040040/31037060060/754100800820/35120100025/310图5-4成本曲线（5）边际产量和边际成本的关系：边际成本MC和边际产量MPL两者的变动方向是相反的。联系图5-3和图5-4，可以看出：MPL曲线的上升段对应MC曲线的下降段；MPL曲线的下降段对应MC曲线的上升段；MPL曲线的最高点对应MC曲线的最低点。总产量和总成本之间也存在对应关系。如图所示：当总产量TPL曲线下凸时，总成本TC曲线和总可变成本TVC曲线是下凸的；当总产量TPL曲线存在一个拐点时，总成本TC曲线和总可变成本TVC曲线也各存在一个拐点。平均可变成本AVC和平均产量APL两者的变动方向是相反的。前者递增时，后者递减；前者递减时，后者递增；前者的最高点对应后者的最低点。MC曲线与AVC曲线的交点与MPL曲线和APL曲线的交点是对应的。2．下面是一张某厂商的LAC曲线和LMC曲线图5-5。请分别在Q1和Q2的产量上画出代表最优生产规模的SAC曲线和SMC曲线。图5-5短期成本曲线答：在产量Q1和Q2上，代表最优生产规模的SAC曲线和SMC曲线是SAC1和SAC2以及SMC1和SMC2。SAC1和SAC2分别相切于LAC的A点和B点，SMC1和SMC2则分别相交于LMC的A'和B'点。见下图5-6。图5-6成本曲线3．假定某企业的短期成本函数是TC（Q）＝Q3－5Q2＋15Q＋66：（1）指出该短期成本函数中的可变成本部分和不变成本部分；（2）写出下列相应的函数：TVC（Q）、AC（Q）、AVC（Q）、AFC（Q）和MC（Q）。解：（1）在短期成本函数TC（Q）＝Q3－5Q2＋15Q＋66中，可变成本部分为TVC（Q）＝Q3－5Q2＋15Q；不变成本部分为AFC（Q）＝66（2）根据已知条件和（1），可以得到以下相应的各类短期成本函数：TVC（Q）＝Q3－5Q2＋15QAC（Q）＝＝Q2－5Q＋15＋66QAVC（Q）＝＝Q2－5Q＋15AFC（Q）MC（Q）＝3Q2－10Q＋154．已知某企业的短期总成本函数是STC（Ｑ）＝0.04Ｑ3－0.8Ｑ2＋10Ｑ＋5，求最小的平均可变成本值。解：据题意，可知AVC（Ｑ）＝0.04Ｑ2－0.8Ｑ＋10因为，当平均可变成本AVC函数达到最小值时，一定有＝0。故令＝0，有解得：Ｑ＝10又由于，所以当Ｑ＝10时，AVC（Q）达到最小值。将Ｑ＝10代入平均可变成本函数AVC（Q）＝0.04Ｑ2－0.8Ｑ＋10，解得：AVC（Q）min＝6也就是说，当产量Ｑ＝10时，平均可变成本AVC（Ｑ）达到最小值，其最小值为6。5．假定某厂商的边际成本函数MC＝3Ｑ2－30Ｑ+100，且生产10单位产量时的总成本为l000。求：（1）固定成本的值。（2）总成本函数、总可变成本函数，以及平均成本函数、平均可变成本函数。解：（1）根据边际成本函数和总成本函数之间的关系，由边际成本函数MC=3Q2-30Q+100积分可得总成本函数，即有：总成本函数又因为根据题意有Ｑ＝10时的TC＝1000，所以有：TC＝103－15×102＋100×10＋α＝1000解得：α＝500所以，当总成本为1000时，生产10单位产量的总固定成本为：TFC＝α＝500.（2）由（1），可得：总成本函数：总可变成本函数：平均成本函数：平均可变成本函数：6．某公司用两个工厂生产一种产品，其总成本函数为C＝2Ｑ21＋Ｑ22－Ｑ1Ｑ2，其中Ｑ1表示第一个工厂生产的产量，Ｑ2表示第二个工厂生产的产量。求：当公司生产的总产量为40时能够使得公司生产成本最小的两工厂的产量组合。解:此题可以用两种方法来求解。（1）第一种方法：当一个厂商用两个工厂生产同一种产品时，它必须使两个工厂生产的边际成本相等，即MC1＝MC2,才能实现成本最小的产量组合。根据题意，第一个工厂生产的边际成本函数为：MC1＝4Ｑ1－Ｑ2第二个工厂的边际成本函数为：MC2＝2Ｑ2－Ｑ1于是，根据MC1＝MC2原则，得：2Ｑ2－Ｑ1＝4Ｑ1－Ｑ2解得：Ｑ1＝0.6Ｑ2（1）又因为Ｑ＝Ｑ1＋Ｑ2＝40，于是，将（1）代入有：0.6Ｑ2＋Ｑ2＝Ｑ＝40解得：Ｑ2*＝25将其代入（1），解得：Q1*＝15（2）第二种方法：运用拉格朗日发来求解。C＝2Ｑ21＋Ｑ22－Ｑ1Ｑ2s.t.Ｑ1＋Ｑ2＝40将以上拉格朗日函数分别对Ｑ1、Ｑ2和λ求导，得最小值的一阶条件为：由前两个式子可得：4Ｑ1－Ｑ2＝2Ｑ2－Ｑ1即：Ｑ1＝0.6Ｑ2将Ｑ1＝0.6Ｑ2代入第三个式子，得：40－0.6Ｑ2－Ｑ2＝0解得：Ｑ2*＝25再由Ｑ1＝0.6Ｑ2，得：Ｑ1*＝157．已知生产函数Ｑ＝A1/4L1/4K1/2；各要素价格分别为PA＝1，PL＝1，PK＝2；假定厂商处于短期生产，且K＝16。推导：该厂商短期生产的总成本函数和平均成本函数；总可变成本函数和平均可变函数；边际成本函数。解:由于是短期生产,且K＝16，PA＝1，PL＝1，PK＝2，故总成本等式C＝PAA＋PLL＋PKK可以写成：C＝1×A＋1×L＋32C＝A＋L＋32生产函数可以写成：Ｑ＝A1/4L1/4（16）1/2＝4A1/4L1/4而且，所谓的成本函数是指相对于给定产量而言的最小成本。因此，根据以上内容，相应的拉格朗日函数法表述如下：A＋L＋32s.t.A1/4L1/4＝Ｑ（其中，Ｑ为常数）将以上拉格朗日函数分别对A、L、λ求偏导，得最小值的一阶条件为：由前两个式子可得：即：L＝A将L＝A代入约束条件即第三个式子，得：Ｑ－A1/4L1/4＝0解得：A*＝且：L*＝于是，有短期生产的各类成本函数如下：总成本函数TC（Ｑ）＝A+L+32＝平均成本函数AC（Ｑ）＝总可变成本函数TVC（Ｑ）＝平均可变成本函数AVC（Ｑ）＝边际成本函数MC（Ｑ）＝8．已知某厂商的生产函数为Q＝0.5L1/3K2/3；当资本投入量K＝50时资本的总价格为500；劳动的价格PL＝5。求：（1）劳动的投入函数L＝L（Q）。（2）总成本函数、平均成本函数和边际成本函数。（3）当产品的价格P＝100时，厂商获得最大利润的产量和利润各是多少？解：（1）已知K＝50时，其总价格为500，所以10KP对于生产函数Q＝0.5L1/3K2/3可求出：2/31/31163LKKLMPMPLK（），（）由LLKKPMPPMP，可得：KL代入生产函数，得：0.52QLLQ，即（2）将L＝2Q代入成本等式C＝5L＋10K可得：总成本函数10500LKTCLPKPQ平均成本函数10500/ACQ边际成本函数10MC（3）由（1）可知，生产者达到均衡时，有：KL因为K＝50，所以：L＝50代入生产函数有：得：Q＝25此时利润为：()25007501750LKPQTCPQPLPK9、假定某厂商短期生产的边际成本函数SMC（Q）＝3Q2－8Q＋100，且已知当产量Q＝10时的总成本STC＝2400，求相应的STC函数、SAC函数和AVC函数。解：由边际成本函数SMC（Q）＝3Q2－8Q＋100积分得：总成本函数STC＝Q3－4Q2＋100Q+a又因为当产量Q＝10时的总成本STC＝2400，即：2400＝103－4×102+100×10+a解得：a＝800所求总成本函数STC＝Q3－4Q2＋100Q+800平均成本函数28004100STCSACQQCQ可变成本函数SVC＝Q3－4Q2＋100Q平均成本函数24100SVCAVCQQC10．试用图从短期总成本曲线推导长期总成本曲线，并说明长期总成本曲线的经济含义。答：（1）长期总成本曲线的推导。长期总成本LTC是指厂商在长期中在每一个产量水平上通过选择最优的生产规模所能达到的最低总成本。相应地，长期总成本函数写成以下形式：LTC＝LTC（Q）根据对长期总成本函数的规定，可以由短期总成本曲线出发，推导长期总成本曲线。在图5-7中，有三条短期总成本曲线STC1、STC2和STC3，它们分别代表三个不同的生产规模。由于短期总成本曲线的纵截距表示相应的总不变成本TFC的数量，因此，从图中三条短期总成本曲线的纵截距可知，STC1曲线所表示的总不变成本小于STC2曲线，STC2曲线所表示的总不变成本又小于STC3曲线，而总不变成本的多少（如厂房、机器设备等）往往表示生产规模的大小。因此，从三条短期总成本曲线所代表的生产规模看，STC1曲线最小，STC2曲线居中，STC3曲线最大。图5-7长期总成本曲线的推导假定厂商生产的产量为Q2，在短期内，厂商可能面临STC1曲线所代表的过小的生产规模或STC3曲线所代表的过大的生产规模，于是，厂商只能按较高的总成本来生产产量Q2，即在STC1曲线上的d点或STC3曲线上的e点进行生产。但在长期，情况就会发生变化。厂商在长期可以变动全部的要素投入量，选择最优的生产规模，于是，厂商必然会选择STC2曲线所代表的生产规模进行生产，从而将总成本降低到所能达到的最低水平，即厂商是在STC2曲线上的b点进行生产。类似地，在长期内，厂商会选择STC1曲线所代表的生产规模，在a点上生产Q1的产量；选择STC3曲线所代表的生产规模，在c点上生产Q3的产量。这样，厂商就在每一个既定的产量水平实现了最低的总成本。虽然在图5-7中只有三条短期总成本线，但在理论分析上可以假定有无数条短期总成本曲线。这样一来，厂商可以在任何一个产量水平上，都找到相应的一个最优的生产规模，都可以把总成本降到最低水平。也就是说，可以找到无数个类似于a、b和c的点，这些点的轨迹就形成了图5-7中的长期总成本LTC曲线。显然，长期总成本曲线是无数条短期总成本曲线的包络线。在这条包络线上，在连续变化的每一个产量水平上，都存在着LTC曲线和一条STC曲线的相切点，该STC曲线所代表的生产规模就是生产该产量的最优生产规模，该切点所对应的总成本就是生产该产量的最低总成本。所以，LTC曲线表示长期内厂商在每一产量水平上由最优生产规模所带来的最小生产总成本。（2）长期总成本曲线的经济含义长期总成本LTC曲线是从原点出发向右上方倾斜的。它表示：当产量为零时，长期总成本为零，以后随着产量的增加，长期总成本是增加的。而且，长期总成本LTC曲线的斜率先递减，经拐点之后，又变为递增。11．试用图