《投资学》第四章投资组合的选择

1课外分享（北大宣传片）除非你亲自弄清楚什么是你真正想做的事，否则你会做一些对你没有太大意义的事，你的生命就会变得十分悲惨，正因为你过得很悲惨，你就必须从戏院、酗酒、阅读数不尽的书籍、做社会改革的工作以及其他事情来让自己分心。你一旦发现真正爱做的事，你就是一个自由的人了，然后你就会有能力、信心和主动创造的力量。但是如果你不知道自己真正爱做的是什么，你只好去做人人羡慕的律师、政客或这个那个，于是你就不会快乐，因为那份职业会变成毁灭你自己及其他人的工具。2课外分享弄清楚我们想做什么是世上最困难的事情之一。你必须亲自去发现什么是你爱做的事，不要从适应社会的角度来选择职业，因为那将使你永远无法弄清楚自己到底爱做什么。发现你真正爱做的事，需要很深的专注力及洞察力。你心中有爱，让爱自己去运作，它就会带来正确的行动，因为爱是永远不会追求成就的，它也永远不会陷入模仿中。3第四章投资组合的选择确定最优风险资产组合最优资本配置决策4例题假定投资者选择了A和B两个公司的股票作为组合对象，已知数据为：E(rA)=0.25A=0.08;E(rB)=0.18B=0.04如果A和B两个公司的股票的相关系数ρ=1，（1）求出该投资者所有投资组合的收益与风险。（2）并在直角坐标系中画出收益与风险的关系图。（用描点法画图）E(rP)=x1E(rA)+x2E(rB)=0.25x1+0.18x2P=x1A+x2B=0.08x1+0.04x2x1=0.5x1=0.2x1=0x1=1x2=0.5x2=0.8x2=1x2=0代入求解画图即可如果A和B两个公司的股票的相关系数ρ=-1，ρ=0，ρ=0.5？可以分别得到一条曲线，如下图5（给定ρ值后变换A、B两种资产的投资比例）E(rp)25A（资金全部投在A上）ρ=-1ρ=0.5ρ=-0.5ρ=118B（资金全部投在B上）048不同ρ下收益与风险的关系几何表达6机会集合线：由某些给定资产所构建的全部资产组合的集合。如上图中连接两个资产组合的连线，即为相关系数不同的两种风险资产组合的可行集。从图中可以看出：1、两个资产构成的资产组合的可行集是一条通过两个资产点的曲线，随着相关系数的不断变小，这条曲线越是往左弯曲，弯曲程度越来越高；2、当集合线为直线（ρ=1），表示分散化没有益处，不能降低风险；3、当ρ=-1，曲线弯曲程度达到极限成一条折线，资产组合存在一个完全对冲的机会，此时从分散化中获得最多利益，构造了一个无风险资产组合；4、当集合线为抛物线（-1ρ1），表示从分散化中获得更多利益，可以有效降低风险，且存在最小的方差组合（在图中找到，也可通过数学推导出来）风险资产组合的可行集7E(r)B（股票）NA（债券）（思考：如果是多个资产呢？N点怎么求？）风险资产组合可行集的一般式8E(r)B（股票）NA（债券）曲线NB为资产组合有效集（ρ=-1或ρ=1时资产组合有效集？）风险资产组合有效集9在进行实际的投资选择时，由于两种资产的特征值以及两者之间的相关系数已定，所以这个资产组合的有效集就确定了。那么，在这一已确定的有效集上的哪一个点是投资者想要的呢？（最优点？）显然，投资者要根据自己的风险厌恶程度，需用到效用无差异曲线。10E(r)I1I2I3无差异曲线图11E(r)I1B（股票）I2NI3A（债券)I2点是适合投资者风险偏好的最大效用的风险资产组合。（此时，该组合中A和B的构成比例即确定）最优风险资产组合的确定12一、确定最优风险资产组合——证券选择决策确定最优风险资产组合:决定每种风险资产占风险资产组合的比例，从而达到投资效用最大化。（非系统风险可以通过多种风险资产的组合来降低，因此投资者会根据资产的期望收益与方差情况，来选择组合中的风险资产，并考虑自己的风险厌恶程度）13假定投资组合中的股票与债券的相关系数ρ为确定值求该组合方差的最小值？（即图中N点）公式推导如下：由p2=w2DD2+w2EE2+2wDwEDEρDE，用(1-wD)来替代wE，有：p2=w2DD2+(1-wD)2E2+2wD(1-wD)DEρDE求其一阶导数，令其等于0，有wmin(D)=[E2-DEρDE]/[D2+E2-2DEρDE]补充：最小方差的风险资产组合的比例推导14令2D=10，2E=15，ρDE=-0.5代入上式，有wmin(D)=[15-(-6.123)]/[10+15-2(-6.123)]=(21.123)/(37.246)=0.567wE=1-0.567=0.433这个最小化方差的资产组合的方差为2min=(0.567210)+(0.433215)+(20.5670.433-6.123)=3.02该组合为相关系数确定下的最小方差的资产组合。这一组合的期望收益为：E(rp)=0.56710%+0.43320%=14.33%举例1516托宾的收益风险理论托宾(JamesTobin)是著名的经济学家，1955-56年，发现马克维茨假定投资者在构筑资产组合时是在风险资产的范围内选择，没有考虑无风险资产和现金，而实际上投资者会在持有风险资产的同时持有国库券等低风险资产和现金的。他指出，投资者首先在风险资产和无风险资产这两种资产之间进行选择，他还得出：各种风险资产在风险资产组合中的比例与风险资产组合占全部投资的比例无关。即投资者的投资决策包括两个决策，资产配置和证券的选择。17二、最优资本配置决策投资者首先面临的最基本的决策资本配置决策：在投资组合中，决定风险资产占多大比重，无风险资产占多大的比重。最优资本配置决策？18假定某风险资产p的期望收益率为E(rP)=9%，标准差为P=21%，无风险资产F的收益率为rf=3%，令投资者在风险资产P的投资比例为y，无风险资产的投资比例则为1-y，则整个资产组合C的期望收益率为：E(rc)=yE(rP)+(1-y)rf=3%+y(9%-3%)=3+6y整个资产组合C的标准差为：σC=yσp=21y资本配置线的形成19根据σC=yσp=21y，有y=c/21，将y代入E(rc)=3+6y得到E(rc)=3+(9-3)/21σc从式中可看出，此资产组合的期望收益率是标准差的线性函数。可以画出有关E(rc)和σc的几何图形资本配置线的形成20E(rc)E(rp)=9%prf=3%F021%σc资本配置线（CAL）的形成图21线段FP称为资本配置线：表示所有可能选择的无风险资产与风险资产构成的资产组合。（不同的y值决定线段上的不同位置）实质上也是无风险资产与风险资产构成的资产组合的可行集，也是其有效集。图中看出：斜率为正，即(9-3）/21；斜率越大，单位风险的风险溢价越大，越优；其中(9-3）为风险溢价。两个极端点：如果选择将全部投资投向风险资产（y=1），期望收益与标准差就是E(rp)=9%，P=21%；如果选择将全部投资投向无风险资产(y=0)，期望收益与标准差就是E(rf)=3%，f=0如果y=0.5，可以在直线上表示为F与P的中点。资本配置线的意义22根据公式：E(rc)=rf+y[E(rp)-rf]σC=yσp将两式变形约去y，得E(rc)=rf+[E(rp)-rf]σCσp无风险资产（组合）和风险资产（组合）所构成的资产组合的CAL也一样。（风险资产组合点是风险资产组合有效集上的一点）资本配置线的数学表达式23E(rc)E(rp)prfFσc0σp资本配置线（CAL）的几何图24E(rp)=9%p(rf)=3%F021%最优资本配置的确定确定最优资本配置的程序是首先确定资本配置线，然后沿这条线找到与效用无差异曲线相切的点。25在给定可行集中（资本配置线上）选出一个最优组合（y值），从而使效用最大化。(y是投资者在风险资产P的投资比例)公式推导如下：根据前面的公式，我们可以得到以下两式：E(rc)=rf+y[E(rp)-rf]σ2C=y2σ2p将两式代入效用函数，有U=E(rc)-0.5A2C=rf+y[E(rp)-rf]-0.5Ay2σ2p求一阶导数U’=E(rp)-rf—Ayσ2p令导数为0，有：y*=[E(rp)-rf]/Aσ2p最优资本配置推导26还用上述例子中的数据。假定风险厌恶系数A为3，求此投资者的最优配置y*的值。有y*=[9%-3%]/(3×21%2)=45.35%根据结果，应将资金的45.35%投资于风险资产，54.65%投资于无风险资产。整个资产组合的E(rc)=3%+(45.35%6%)=5.72%C=45.35%21%=9.52%最优资本配置举例27资本配置习题假设你管理一种预期回报率为18%和标准差为28%的风险资产组合基金；市场短期国债利率为8%。你的一委托人决定将其资产组合的70%投入到你的基金中，另外30%投入到短期国债：1、那么你的委托人的资产组合的预期收益率与标准差各是多少？2、在预期收益与标准差的图表上画出你的资产组合的资本配置线(CAL)，并求出其斜率？3、在该资本配置线上标出你的委托人的位置。4、假设你的委托人风险厌恶程度为A=3.5，则a.应将占总投资额的多少（y）投入到你的风险资产组合中，以达到其最佳资产组合？b.你的委托人的最佳资产组合的预期回报率与标准差各是多少？2829E(r)I1B（股票）I2NI3A（债券)I2点是适合投资者风险偏好的最大效用的风险资产组合总结：最优风险资产组合的确定30E(rp)=9%p(rf)=3%F021%总结：最优资本配置的确定31三种资产的最优资产组合——股票+债券+国库券如果投资者投资组合中有三种资产：两种风险资产，一是债券A，一是股票B；一种是年收益率为5%的无风险短期国库券。有关数据如下：债券A股票B预期收益,E(r)8%13%标准差,σ12%20%相关系数,ρAB0.3032E(r)B（股票）NA（债券）风险资产组合有效集33E(rc)E(rp)prfFσc0σp无风险资产与风险资产构成的资产组合的有效集34DABECAL(A)CAL(B)5813510152025由于B的斜率大于A，B更优。最高的CAL线？因此，两条线相切时，切点所对应的组合P最优。35资本配置线E(rp)prf资产组合可行集0最优投资组合的确定36三种资产最优值的公式推导目的是找出wA，wB值，以获得斜率最大的资本配置线（最高的CAL线）因此，目标函数就是斜率，即SP，Sp=[E(rp)-rf]/σp约束条件：只要满足权重和=1，即wA+wB=1，有MaxSp=[E(rp)-rf]/σp将两种风险资产组合的期望收益和标准差[E(rp)=wAE(rA)+wBE(rB)]P2=wA2A2+wB2B2+2wAwBABρAB代入目标函数，有MaxSp=[wAE(rA)+wBE(rB)-rf]/用1-wA代替wB，对其求导，令导数为零，有wA={[E(rA)-rf]B2-[E(rB)-rf]Cov(rA,rB)}/[E(rA)-rf]B2+[E(rB)-rf]A2-[E(rA)-rf+E(rB)-rf]Cov(rA,rB)}212222)](2[EDEDEEDDprrCov37最优值的计算把上例中的数据代入，得到的解为这个最优资产组合的资本配置线的斜率为SP=(11-5)/14.2=0.4260.40.140.72)51358(144)513(400)58(72)513(400)58(wBwA38最优值的计算（2）上一章我们得出了给定风险资产组合情况下最优资本配置的解，即根据投资者风险厌恶系数计算投资于风险资产组合的最优比例。即y*=[