第四章 概率分布：在资产收益率中的应用

1DepartmentofFinance,JNU,ZHT1第四章概率分布：在资产收益率中的应用暨南大学金融系朱滔DepartmentofFinance,JNU,ZHT24.14.1概率论引言概率论引言„一些概念…概率：度量某一事件发生的可能性的方法。…随机试验：在相同条件下可以重复进行，而每次结果不可准确预知的实验（今后均简称为试验）…随机事件：试验的每一种可能结果，或者可能结果的组合。…样本空间：试验的所有可能结果的集合。…样本：试验的一次结果。DepartmentofFinance,JNU,ZHT3„描述概率的三种方法…古典或先验概率方法…经验概率方法…主观概率方法DepartmentofFinance,JNU,ZHT411、古典或先验概率方法、古典或先验概率方法„根据试验的客观条件和内容，应用逻辑判断先验地确定所有可能出现的结果，以及每种结果出现的概率。„例子：掷一粒骰子Xi1/6pi162…………DepartmentofFinance,JNU,ZHT511、古典或先验概率方法、古典或先验概率方法„例子：掷两粒骰子Xi1/36pi2123…………2/367……………….6/36有什么启示？DepartmentofFinance,JNU,ZHT611、古典或先验概率方法、古典或先验概率方法„一般化公式：)(-1)()(APAPAAP==不发生所有可能出现的总数数中包含的可能结果的个事件（客观决定）2DepartmentofFinance,JNU,ZHT722、经验概率方法、经验概率方法„通过重复多次试验，来确定每种可能结果出现的概率的方法。„一般化公式：)(-1)()(APAPAAP==不发生试验的总数次数出现的次数事件（主观决定）DepartmentofFinance,JNU,ZHT833、主观概率方法、主观概率方法„个体（投资者）主观上认为一次事件在多大程度上将会发生。…金融决策多检验在主观概率之上。比如理论模型中的“同质预期”和“异质预期”。DepartmentofFinance,JNU,ZHT94.24.2概率法则概率法则„加法法则（两或多事件之一发生）…独立：…不独立：„乘法法则（两或多事件同时发生）…独立：…不独立：)()()(BPAPBAP+=U)()()()(BAPBPAPBAPIU−+=)()()(BPAPBAP×=I)|()()|()()(BAPBPABPAPBAP×=×=I发生的概率。发生条件下，是条件概率，表示在其中BA)|(ABPP129练习题9DepartmentofFinance,JNU,ZHT104.34.3离散型随机变量和连续型随机变量离散型随机变量和连续型随机变量„离散型随机变量…有限多种可能的结果…或者有可数多种可能的结果„如何描述离散型随机变量…概率频率函数（分布列、概率函数）。…P107DepartmentofFinance,JNU,ZHT11„连续型随机变量…直观理解，可能的取值范围充满实数轴上的某些区间。…严格的数学定义：„如何描述离散型随机变量…（累积）分布函数cdf…（概率）密度函数pdf为连续型随机变量。则称上的积分，即：在区间某个非负可积函数可以表示为的分布函数定义：若随机变量ξξ∫∞−=−∞xdttpxFxxpxF)()(),()()(DepartmentofFinance,JNU,ZHT12„（累积）分布函数F(x)…连续型随机变量X，随机变量小于等于x的概率称为随机变量的分布函数，记为F(x):))(Pr()(的概率取值小于随机变量xXxXxF≤=1)(;0)(;)()(=+∞=−∞FFxFxF是增函数的一些性质：3DepartmentofFinance,JNU,ZHT13„（概率）密度函数p(x)…连续型随机变量X，若其分布函数F(x)可以表示为某个非负可积函数p(x)在区间上的积分:…则称p(x)为X的概率密度函数。],(x−∞∫∫∞−∞−==xxdttpdxxpxF)()()(DepartmentofFinance,JNU,ZHT14„（概率）密度函数p(x)—直观含义xp(x)ab∫=baxp红色阴影面积)(DepartmentofFinance,JNU,ZHT154.54.64.54.6随机变量的期望与方差随机变量的期望与方差„随机变量的期望值—加权平均值„随机变量的方差—离散程度是密度函数。，其中，连续型随机变量是概率函数。，其中，离散型随机变量)()()()()(*)(xpdxxxpXEXxpxpxXEX∫∑∞+∞−==2))(()(XEXEXarV−=DepartmentofFinance,JNU,ZHT16一些常见分布介绍一些常见分布介绍„正态分布…„标准正态分布…均值0，方差1222/)(21)(σµπσ−−=xexp密度函数：),(~2σµNX)1,0(~NX2σµ，方差均值dxexFxxx∫∞−−−=222/)(21)()(Fσµπσ：分布函数2/221)(xexp−=π密度函数：dxexFxxx∫∞−−=2/221)()(Fπ：分布函数DepartmentofFinance,JNU,ZHT17中心极限定理中心极限定理„无论随机变量服从怎样的分布，只要满足1、具有有限方差，2、相互独立，这些随机变量的样本均值将服从于正态分布。DepartmentofFinance,JNU,ZHT18„正态分布的标准化„正态分布的性质…对称性…可加性…均值方差完全描述)1,0(~),(~2NXZNXσµσµ−=4DepartmentofFinance,JNU,ZHT19求正态曲线线的面积：查表求正态曲线线的面积：查表„正态分布的统计表P322…例子1：…例子2：…例子3：…例子4：?9.0}Pr{)()1,0(~xxXxFNX，求，=≤=?01.0}Pr{)()1,0(~xxXxFNX，求，=≥=?}5.12Pr{)1,0(~=≥≥XNX，求?}5.1Pr{)4,1(~=≤XNX，求习题17，P130DepartmentofFinance,JNU,ZHT20对数正态分布对数正态分布„定义…随机变量X，如果LnX服从正态分布N(u,σ2)则，称X服从对数正态分布。…X的数字特征)1()()(),(~ln22222/2−==++σσµσµσµeeXVareXENXDepartmentofFinance,JNU,ZHT21对数正态分布的应用对数正态分布的应用————描述资产价格行为描述资产价格行为„例子：tdtndtnttSttStttSttS∆∆∆∆∆==++∑*)()()()(等份，细分成把时间间隔如何刻画价比：内的价比：，时间间隔时刻股票价格，表示记DepartmentofFinance,JNU,ZHT22))1(()(...)()2()()()()())1(()(...)2()3()()2()()()()()()(dtntSdtntSlndttSdttSlntSdttSlntSttSlndtntSdtntSdttSdttSdttSdttStSdttStSttStttSttS−++++++++=+−++××++×++×+=++∆∆∆∆上式取自然对数：内的价比：，时间间隔时刻股票价格，表示记2()()ln~(,)S()dtiidSttNtµσ+∆假定在每个时间间隔上，股票价格变化都是独立、同分布，由中心极限定理知：价比服从对数正态分布。DepartmentofFinance,JNU,ZHT23的含义？)(ln)(ln)()(lntSttStSttS−+=+∆∆),(~)(ln)1(ln)()1(ln1)()(ln)()()(2σµ∆∆∆∆NtStStStSrttSttSrttSetSrtStr−+=+==+=+=，则：隔特别地，取单位时间间，则：的净收益率为记股票DepartmentofFinance,JNU,ZHT24两种收益率计算方法的比较两种收益率计算方法的比较„对数收益率…取值范围…两段时间内收益率的计算„算术收益率…取值范围…两段时间内收益率的计算)(ln)1(lntStSr−+=)()()1(tStStSr−+=),(+∞−∞∈r),1[+∞−∈r2121)()2(ln)1()2(ln)()1(lnrrtStSrtStSrtStSr+=+=++=+=，1)1)(1()1()1()2()()()1(2121−++=++−+=−+=rrrtStStSrtStStSr，5DepartmentofFinance,JNU,ZHT25…分布…分布),(~...),(~)1()(ln......................),(~)()1(ln221221σµσµσµnnNrrrrNntSntSrNtStSrnn+++=−++=+=的分布不清楚rrrrrntSntSntSrtStStSrnn1)1)...(1)(1()1()1()(......................)()()1(211−+++=−+−+−+=−+=DepartmentofFinance,JNU,ZHT26补充补充„排列问题…n个不同的球，抽取其中j个，进行排列，一共有多少种不同的排列方法？„组合问题…n个不同的球，抽取其中j个，进行组合，一共有多少种不同的组合方法？)!(!jnnPjn−=)!(!!jnjnCjn−=DepartmentofFinance,JNU,ZHT27二项式分布二项式分布„二项式分布的四个条件…每次试验都出现两种结果（不妨：成功、失败）…每次试验中，出现特定结果的概率都相同（如：成功概率为p，失败概率为1-p）…每次试验相同…n次试验互相独立„二项式分布的定义…满足上述四条件的n次试验中，成功次数X的概率。…记为：X~B(n,p)下面求解P(X=k)=?DepartmentofFinance,JNU,ZHT28P121P121图图4.84.8„例子1：股票价格经历两次变化，n=2。S0SuSdSuuSud=SduSddppp1-p1-p1-p一条通道的概率p2p(1-p)(1-p)2通道021222121CCC===概率p22p(1-p)(1-p)2DepartmentofFinance,JNU,ZHT29„例子2：股票价格经历三次变化，n=3。S0SuSdSuuSudSddppp1-p1-p1-p一条通道的概率p3p2(1-p)p(1-p)2(1-p)3通道031323331331CCCC====概率p33p2(1-p)3p(1-p)2(1-p)3Su3Su2dp1-pSud2p1-pSd3p1-pDepartmentofFinance,JNU,ZHT30„一般化——二项式分布的概率函数…X~B(n,p)…n次独立试验，成功j次的概率：(n次价格变化，上升j次的概率)!()(1)(1)!()!jjnjjnjnnPXjCppppjnj−−==−=−−)1()()(),(pnpXVarnpXEpnBX−==～二项分布6DepartmentofFinance,JNU,ZHT31二项分布的应用－期权定价二项分布的应用－期权定价„补充知识„期权(option)是一种权利，其持有人在规定的时间内有权利不负担义务，按约定的价格(exerciseprice,strikeprice)买或卖某项标的资产或物品„由于期权是一种权利，但不负担义务，所以持有人即可以选择执行期权，也可以选择放弃执行期权，让期权过期„期权，是一种权利和义务不对等的合约„两种基本的期权…买权(calloption)…卖权(putoption)DepartmentofFinance,JNU,ZHT32„基本概念…到期日(maturitydate)„到期日指期权多头一方有有权履约的最后一天。…约定价格(exercisepriceorstrikeprice)„合约中规定的标的资产的买卖价格，又称为执行价格…期权价格„期权是一种权利，权利的市场价格就是期权价格…内在价值„期权所具有的理论价值…空头(shortposition)„证券(包括衍生证券)的卖出称为空头…多头(longposition)