第13章-投资分析(4)Black-Scholes期权定价模型

投资学第13章投资分析（4）：Black-Scholes期权定价模型2019/9/282概述Black、Scholes和Merton发现了看涨期权定价公式，Scholes和Merton也因此获得1997年的诺贝尔经济学奖模型基本假设8个无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变化。标的股票不支付红利期权为欧式期权2019/9/283无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷市场投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，均为无风险利率股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的标的股票对卖空没有任何限制标的资产为股票，其价格S的变化为几何布朗运动dsdtdwdssdtsdwsw其中，代表维纳过程2019/9/284B-S模型证明思路ITO引理2221()2ffffdfabdtbdwtxxxITO过程(,)(,)ttdxaxtdtbxtdwB-S微分方程222212fffrssrftss抖?+s=抖?＋B-S买权定价公式12()()rtCSNdKeNd2019/9/28513.1维纳过程根据有效市场理论，股价、利率和汇率具有随机游走性，这种特性可以采用Wienerprocess，它是Markovstochasticprocess的一种。对于随机变量w是Wienerprocess，必须具有两个条件：1.在某一小段时间Δt内，它的变动Δw与时段满足Δtttwt（13.1）1,(0,1)tttt这里，2.在两个不重叠的时段Δt和Δs,Δwt和Δws是独立的，这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！1111,tttsssttss其中，cov(,)0tsww（13.2）有效市场2019/9/287满足上述两个条件的随机过程，称为维纳过程，其性质有()0,()ttEwDwt当时段的长度放大到T时（从现在的0时刻到未来的T时刻）随机变量Δwt的满足0()0,()TTTTE证明：01111,NTTiiiiiiNNTiiii11()()()0NNTiiiiEwtEtE1()(),[()1],NTiiiDwtDtNTD证毕.2019/9/289在连续时间下，由（13.1）和（13.2）得到cov(,)0tttsdwdtdwdw（13.3）（13.4）所以，概率分布的性质~(0,)()0,()tttdwNdtEdwDdwdttdw以上得到的随机过程，称为维纳过程。2019/9/281013.2ITO定理一般维纳过程(GeneralizedWienerprocess)可表示为~(0,)tttdxadtbdwdwNdt其中，（13.5）22~(,)(),()tttdxNadtbdtEdxadtDdxbdt显然，一般维纳过程的性质为2019/9/2811一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂的变动特征。漂移率和方差率为常数不恰当ttdxadtbdw(,)(,)ttdxaxtdtbxtdw若把变量xt的漂移率a和方差率b当作变量x和时间t的函数，扩展后得到的即为ITO过程2019/9/2812B-S期权定价模型是根据ITO过程的特例－几何布朗运动来代表股价的波动ttttdssdtsdw,(,),(,)ttttttsxastsbsts省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程dsdtdws（13.6）证券的预期回报与其价格无关。2019/9/2813ITO定理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO过程表示为（省略下标t）(,)(,)dxaxtdtbxtdw令f(x,t)为随机变量x以及时间t的函数，即f(x,t)可以代表以标的资产x的衍生证券的价格，则f(x,t)的价格变动过程可以表示为2221()2ffffdfabdtbdwtxxx(,),(,),(,)ffxtaaxtbbxt（13.7）证明：将（13.7）离散化(,)(,)xaxttbxtwwt由（13.1）知利用泰勒展开，忽略高阶段项，f(x,t)可以展开为22222221()212ffffftxxxttxxxtftt（13.8）在连续时间下，即0tD?3220lim0txtatbt因此，（13.8）可以改写为（13.9）22212fffftxxtxx20tD?从而320tD?22[]xatbt2222222atbtabt22bt200,tt且当时，有从而222220lim()[]()0tDxbtD即Δx2不呈现随机波动！（13.10）22222()()()ExEbtbtE由（13.10）可得22(0,1),()[(0)]()1NDEE由于则22()Exbt（13.11）由（13.11）得到（13.12）由于Δx2不呈现随机波动，所以，其期望值就收敛为真实值，即22xbt22212fffdfdtdxdxtxx2221()2fffdtadtbdwbdttxx当Δt→0时，由（13.9）可得2221()2ffffabdtbdwtxxx■13.3B-S微分方程dssdtsdw假设标的资产价格变动过程满足这里S为标的资产当前的价格，令f(s,t)代表衍生证券的价格，则f(x,t)的价格变动过程可由ITO引理近似为22221()2ffffdfssdtsdwtsss2019/9/282022221()2fffffsstswtsss假设某投资者以δ份的标的资产多头和1个单位的衍生证券空头来构造一个组合，且δ满足ffsfss¶?-+d=-+¶则该组合的收益为fs¶d=¶2019/9/2821下面将证明该组合为无风险组合，在Δt时间区间内收益为ffss¶D?-D+D¶22221()2()ffffsstswtsssfstsws22221()2ffstts注意到此时Δπ不含有随机项w，这意味着该组合是无风险的，设无风险收益率为r，且由于Δt较小（不采用连续复利），则ffss¶?-+¶又由于22221()2ffrtstts抖D?兆譊=-+sD抖22221()2fffstfsrttss抖?-+sD=-+鬃D抖?（）整理得到222212fffrssrftss抖?+s=抖?＋B-S微分方程的意义222212fffrssrftss＋抖?+s=抖?衍生证券的价格f，只与当前的市价S，时间t，证券价格波动率σ和无风险利率r有关，它们全都是客观变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会对f的值产生影响。在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价，即所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微分方程求出价格f。2019/9/2824ttttdSSdtSdw若股票价格服从几何布朗运动设当前时刻为t，则T时刻股票价格满足对数正态分布，即22ln~[ln(/2),]TtSNS,[0,]TttT13.4几何布朗运动与对数正态分布2019/9/2825()lnttggSS22211,,0ttttgggSSSSt令则这样由伊藤引理得到21()2dtdw2221(())2ttttttggggdgSSdtSdwtSSS(,)ttaSdtbS21(ln)()2tdSdtdw即2019/9/282621(ln)()2TTtttdSdtdw21lnln()()2TtTtSSww由（13.1）Ttww21lnln()2TtSS~(0,1)iidN22ln~[ln(/2),]TtSNS2019/9/282721()exp[()][exp()]2TtESSE[exp()]exp[()]EE注意：22ln~[ln(/2),]TtSNS由于则称ST服从对数正态分布，其期望值为2[exp()]exp(/2)E()exp()TtESS所以2019/9/282813.5B-S买权定价公式122121()()ln(/)(/2)[0,],rtttCSNdXeNdSXrdddtTTt其中，对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权（买权）的在定价日t的定价公式为2019/9/2829（1）设当前时刻为t，到期时刻T，若股票价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t的股票价格为St,则T时刻的股票价格的期望值为B-S买权定价公式推导()exp[()]TtESSTt（13.13）exp()tS2019/9/2830()exp()TtESSr（13.14）由（13.13）和（13.14）得到r（13.15）根据B-S微分方程可知，定价是在风险中性条件下，则资产的期望回报为无风险回报，则这表明：在风险中性的世界中，任何可交易的金融资产的回报率均为无风险利率。2019/9/2831（2）在风险中性的条件下，任何资产的贴现率为无风险利率r，故买权期望值的现值为[max(,0)]rtTCeESX0()()0()XrTTTTTXeSXfSdSfSdS(),0,rTTTeESXSXSX（13.16）()()rTTTXeSXfSdS2019/9/2832由于ST服从对数正态分布，其pdf为22(ln(ln))1()exp[]22TTTTSESfSS22221()exp[]2211()exp[]22rtTXrTXTssCedSuussKedSSuu（13.17）第1项第2项将ln,(ln),TTSsESsu由(13.16)得到2019/9/2833（3）化简（13.17）中的第1、2项，先化简第1项221()exp[]22rTXssedSuu2211()exp(ln)exp(ln)exp[]22rttTTXTssSSeSdSSuu2211()exp(lnln)exp[]22tTtTXTssSSSrdSSuu（13.18）当前时刻价格，不是变量2019/9/2834lnlnTtSSr22(ln)ln(/2)1ln(ln)()2TttTESSSES因为，则2((/2))ssrr22(/2)(/2)ssssu（13.19）(ln)TESsr由于，，所以2019/9/2835将（13.19）与（13.18）内的第2个指数项合并，即222()(/2)2ssssuu22222(1/2)[22(/2)()]uusususs222422(1/2)[222]uususussss222242(1/2)[2()(2)]usussusus222(1/2)[()]usus（13.20）2019/9/2836将（13.20）代入（13.18）22211[()]exp()22tTXTsusSdSSuu下面，将利用变量代换来简化（13.2