第3章投资组合

第三章资产风险与收益分析第二部分资产组合理论cc凹函数—风险厌恶型凸函数—风险偏好型U(c)U(c)例：假设有两种彩票A和B，彩票A到期可以得到100元，彩票B到期可得500元，但可能为之付出100元的代价。风险厌恶者:A风险偏好者：B理性投资者将衡量B方案的概率再进行决策A方案能获得效用U（100）B方案，假设获得500元收益的概率为P=1/3，则效用则选A方案的投资者符合凹函数特征选B方案的投资者符合凸函数特征12U=50010033UUuExEuxuExEuxcc凹函数—风险厌恶型凸函数—风险偏好型U(c)U(c)这里有一个金融界广泛运用的一个投资效用计算公式，资产组合的期望收益为E(r)，其收益方差为2，其效用值为：U=E(r)-0.005A2其中A为投资者的风险厌恶指数，风险厌恶程度不同的投资者可以有不同的指数值，A值越大，即投资者对风险的厌恶程度越强，效用就越小。在指数值不变的情况下，期望收益越高，效用越大；收益的方差越大，效用越小。效用公式如果股票的期望收益率为10%，标准差为21.21%，国库券的收益率为4%，尽管股票有6%的风险溢价，一个厌恶风险的投资者也许会选择全部购买国库券的投资策略。投资者A=300时，股票效用值为：10%-(0.005×300×21.21%2)=3.25%，比无风险报酬率稍低，在这种情况下，投资者会放弃股票而选择国库券。如果投资者的A为200，股票效用值为：10%-(0.005×200×21.21%2)=5.5%，高于无风险报酬率，投资者就会接受这个期望收益，愿意投资于股票。所以，投资者对风险的厌恶程度十分关键。效用数值应用举例第二节均值-方差分析风险-收益的数学度量（一）历史资产收益率的计算方法1、持有期收益率2、算数平均收益率3、几何收益率（二）期望收益率的计算方法1、期望值（平均值）及方差、标准差2、协方差和相关系数历史收益率的计算方法1、持有其收益率的计算方法对于一项资产，期末价格为P1，购买时的期初价格为P0，则该资产的收益率为：存在问题：1、忽略了时间的价值2、忽视了期中的收益及时间价值100P-P+IR=P2、算数平均收益率1R=nnttr3、几何收益率11(1)1nnttrr（二）期望收益率的计算相关概率论知识的回顾随机变量及其概率分布期望值（平均值）及方差、标准差协方差和相关系数1、随机变量及其概率分布1、离散型随机变量离散型随机变量：随机变量X的取值为有限个或至多可列个，或者说能将它的可取值按一定次序一一列出。我们用其分布列来描述它：X的取值为x1,x2,…其对应的概率为P1,P2,…这里，P1,P2,…=0；P1+P2+…=1连续型随机变量：随机变量X的取值为不可列无限大。分布函数的定义：（离散和连续都适用）F(x)=Pr(X=x)在连续的情形，若存在非负的f(x)满足那么，f(x)称为随机变量X的密度函数。()()xFxftdt离散型随机变量用分布列来描述；连续型随机变量用密度函数来描述；离散型的举例：连续型的举例：正态分布：平均为0，方差为1时，称为标准正态分布。均匀分布：U(a,b)若a=x=b,有f(x)=1/(b-a)；其它时候f(x)=0。22221()2xfxe(,)N2、期望值（平均值）及方差、标准差随机变量的期望值的定义：离散：连续：样本（历史数据）的平均：大数法则的简单介绍。1()niiiEXpx()()EXfxxdxnttxnx11例：股票的期望报酬率公司名称未来状况发生概率可能报酬期望报酬联通60050景气0.40.180.12不景气0.60.08中兴000063景气0.40.220.13不景气0.60.07方差的定义：根据定义，离散的情形下有：2()()VarXEXEX21()()niiiVarXxEXp例：股票收益的方差公司名称未来状况发生概率可能报酬期望报酬方差标准差联通60050景气0.40.180.120.00240.04899不景气0.60.08中兴000063景气0.40.220.130.00540.07348不景气0.60.07假如现在只能在联通和中兴之间做出选择，应该选择投资哪只股票较优？标准差只反映出股票各自的风险大小，但如果预期报酬率不相等时，无法进行比较。变异系数表示单位预期报酬所承担的风险大小×100%Er公司名称联通600050中兴00063假设中兴预期收益0.120.130.19标准差0.048990.073480.07348变异系数0.40830.56520.3867例：股票收益的方差公司名称未来状况发生概率可能报酬期望报酬方差联通60050景气0.40.180.120.0024不景气0.60.08中兴000063景气0.40.220.130.0054不景气0.60.07例题1风险(risk)是指未来收益的不确定性，不确定性的程度越高，风险就越大。某资产期初价格10000元，未来的情况如下：形势概率期末总价总收益率繁荣0.2513000元30%正常增长0.5011000元10%萧条0.259000元-10%计算期望收益率和方差等。解：E(r)=∑p(s)r(s)E(r)=(0.25×0.30)+(0.50×0.10)+[0.25×(-0.10)]=0.075+0.05-0.025=0.10=10%σ2=∑p(s)[r(s)-E(r)]2σ2=[0.25×(0.3-0.1)2+0.50×(0.1-0.1)2+0.25(-0.1-0.1)2=2%所以标准差为14.14%实例：美国99年金融资产的收益和风险大股票长期国债中期国债国库券通货膨胀收益12.505.315.163.763.22风险20.397.966.473.354.543、协方差和相关系数定义：Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}反映了随机变量X和Y之间的线性关系。由于它受度量单位的影响，更完美的度量是如下的相关系数。样本的协方差的定义：样本的相关系数可以如上用样本的方差和协方差来同样的定义。思考：相关系数的大小范围以及含义！(,)()()XYXYXYCovXYVarXVarYntttyyxxnYXCov1))((11),(（三）几个简单的常用公式X,Y,Z是随机变量，a,b是常数E(a)=a;Var(a)=0E(aX)=aE(X);E(X+Y)=E(X)+E(Y)E(a+bX)=a+bE(X)Var(aX)=a2Var(X)Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)Cov(X,aY)=aCov(X,Y)Cov(X,Y+Z)=Cov(X,Y)+Cov(X,Z)第三节资产风险与报酬的关系一、单一资产的收益和风险的度量收益率的概念：风险的定义：风险就是指未来收益的不确定性。我们将收益率看做随机变量的话，由前面第二节的随机变量的期望值和方差的定义，可以定义期望收益（预期收益）。我们用收益的方差或者标准差来度量风险。历史数据是母集团从取出的样本，所以历史数据的平均值和方差以及标准差的定义可以参照前面的样本的情形下各自的定义。11/)(tttttPDPPr二、资产组合的收益和风险的度量对于资产组合，组合的收益率：Wi是资产i的权重，即投资比例。根据上节最后的公式，可以总结期望收益和方差公式如下：其中，协方差定义如下：例题niiipWrErE1)()(jijijiniiipWWrrCovWrVar),(2)(1222niiipWrr1)()(),(jjiijirErrErErrCov例：假设A、B两种有价证券的收益率如下：年概率AB11/30.050.121/30.10.0531/30.150.300.100.150.001670.01167pEr2p资产组合年概率12311/30.0750.090.0621/30.0750.060.0931/30.2250.270.180.1250.140.11资产组合的收益与风险1122AB1455AB4155ABpEr2p22222,()2pAABBABABVarr要计算资产组合的方差关键是要计算1、单个证券的方差2、证券间的协方差22AB和2,AB22AB和分别等于0.00167和0.011672,ABCov(A,B)=E[AE(B)][BE(B)]2,AB(0.05-0.1)(0.1-0.15)×1/3+(0.1-0.1)(0.05-0.15)×1/3+(0.15-0.1)(0.3-0.15)×1/30.00333投资组合风险分析1、投资组合公式的推广jijijiniiipWWrrCovWrVar),(2)(1222niiipWrErE1)()(试比较两项资产的风险公式22222,()2pAABBABABVarr,,,,,,1,ABABABABABABABABAB有，则设则222222()2()pAABBABABAABBVarr当两证券的收益率是完全正相关的时候投资组合的风险才等于单个证券风险与其在组合中的比重的乘积，即投资组合不具有分散风险的作用。2、结论：随着加入投资组合中的资产数量增加，投资组合的方差不断下降，组合中的资产相关性越小，则组合的风险分散效果越好，相反资产收益相关性越强，则组合的风险分散效果越差。