立体几何大题训练及答案

1、如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，2,,45ABAEFAFEAEF（1）线段CD的中点为P，线段AE的中点为M，求证：//PMBCE平面；（2）求直线CF与平面BCE所成角的正切值.解：（1）取AB的中点为N，连MN,PN,则//MNEB,//PNBC面PMN//面EBC,//PMBCE平面………………………5分(2)先证出FE面EBC，………………………8分FCE为直线CF与平面BCE所成角，………………………11分6tan6FEFCEEC………………………14分2、己知多面体ABCDE中，DE平面ACD，//ABDE，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，O为CD的中点.(1)求证：AO平面CDE；(2)求直线BD与平面CBE所成角的正弦值ABCDEFPM..ABCDEO3、如图，在△ABC中，90C，aBCAC3，点P在AB上，BCPE//交AC于E，ACPF//交BC于F．沿PE将△APE翻折成△PEA'，使平面PEA'平面ABC；沿PF将△BPF翻折成△PFB'，使平面PFB'平面ABC．（1）求证：//'CB平面PEA'；（2）若PBAP2，求二面角EPCA'的平面角的正切值．解：（1）因为PEFC//，FC平面PEA'，所以//FC平面PEA'．因为平面PEA'平面PEC，且PEEA'，所以EA'平面ABC．…2分同理，FB'平面ABC，所以EAFB'//'，从而//'FB平面PEA'．…4分所以平面//'CFB平面PEA'，从而//'CB平面PEA'．…6分（2）因为aBCAC3，BPAP2，所以aCE，aAE2，aPE2，aPC5．…8分过E作PCEM，垂足为M，连结MA．由（1）知ABCEA平面'，可得PCEA，所以EMAPC面，所以PCMA．所以MEA'即为所求二面角EPCA'的平面角，可记为．…12分在Rt△PCE中，求得aEM552，ACBPEFPABFC'B'AEPABFC'B'AE（第20题）MABCDEPM所以55522tanaaEMEA．…15分4、如图，DA平面ABC，ED平面BCD，DE=DA=AB=AC.0120BAC，M为BC中点.(1)求直线EM与平面BCD所成角的正弦值；(2)P为线段DM上一点，且APDM，求证：AP//DE.解：(1)ED平面BCD，DM为EM在平面BCD上的射影，EMD为EM与平面BCD所成角．……………………2分DA平面ABC，ACDAABDA,，设aAB，又DAABAC，aDBDC2．在△ABC中，120BAC，aBC3，又M为BC中点，DMBC，1322BMBCa，aDM25．…5分在Rt△EDM中，22EMDEDM32a，sinEMD32DEaEMa23．………………………7分（2）ABAC，M为BC中点，BCAM．又DA平面ABC，BCDA，BC平面DAM．……………………9分又AP平面DAM，APBC，……………………11分又DMAP，AP平面BCD．……………………13分又ED平面BCD，DEAP//．……………………14分5、如图，已知ABCD是边长为1的正方形，AF⊥平面ABCD，CE∥AF，)1(AFCE．（1）证明：BD⊥EF；（2）若AF＝1，且直线BE与平面ACE所成角的正弦值MPEDCBAFEDCBAABCDEA1C1为1023，求的值．解：（1）连结BD、AC，交点为Ｏ．∵ABCD是正方形∴BD⊥AC……2分∵AF⊥平面ABCD∴AF⊥BD……4分∴BD⊥平面ACEF……6分∴BD⊥EF……7分（2）连结OE，由（1）知，BD⊥平面ACEF，所以∠BEO即为直线BE与平面ACE所成的角．……10分∵AF⊥平面ABCD，CE∥AF，∴CE⊥平面ABCD，CE⊥BC，∵BC=1，AF＝1，则CE＝，BE＝21，BO＝22，∴Rt△BEO中，1023122sin2BEBOBEO，…13分因为1，解得34．……15分6、如图，在几何体中，1AA平面ABC，,2,//,111AABCABAACCBCABEDCC,,11分别是1,AAAB的中点.(1)求证：//1BC平面CDE；(2)求二面角ADCE的平面角的正切值.解：（1）连接ACR1R交EC于点F，由题意知四边形ACCR1RE是矩形，则F是ACR1R的中点，连接DF，∵D是AB的中点，∴DF是△ABCR1R的中位线，∴BCR1R//DF，4分∵BCR1R平面EDC，DF平面EDC，∴BCR1R//平面CDE.7分(2)作AH⊥直线CD，垂足为H，连接HE，∵AAR1R⊥平面ABC，∴AAR1R⊥DC，∴CD⊥平面AHE，∴CD⊥EH，∴AHE是二面角E–CD–A的平面角.11分∵D是AB的中点，∴AH等于点B到CD的距离，在△BCD中，求得：AH＝552，在△AEH中，25tanAHAEAHE即所求二面角的正切值为25.7、如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于RtABC所在平面，且PAABAC,（1）求证：PA//平面QBC；（2）若PQQBC平面，求CQ与平面PBC所成角的正弦值.解：（1）证明：过点Q作QDBC于点D，∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD平面ABC……2分又∵PA⊥平面ABC∴QD∥PA,………………2分又∵QD平面QBC∴PA∥平面QBC………………6分（2）∵PQ平面QBC∴90PQBPQC，又∵,PBPCPQPQ∴PQBPQC∴BQCQ………………8分∴点D是BC的中点，连结AD，则ADBC∴AD平面QBC∴PQ∥AD，ADQD∴四边形PADQ是矩形………………10分设2PAABACa得：2PQADa，6PDa又∵,BCPABCPQ，∴BCPADQ平面，QPABCABCA1B1C1DE从而PBCPADQ平面平面，过Q作QHPD于点H，则：QHPBC平面∴QCH是CQ与平面PBC所成角………………………………………………12分∴222336aQHa，6CQBQa2312sin336QHQCHCQ∴CQ与平面PBC所成角的正弦值为23…………………………14分8、如图，在直三棱柱111CBAABC中，ABC是等腰直角三角形，090ACB，侧棱AA1=2，D，E分别为CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心.(1)求证：DE//平面ACB；(2)求A1B与平面ABD所成角的正弦值.9、如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC—A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°,D为棱BB1的中点。（1）求证：面DA1C⊥面AA1C1C；（2）若12AAAB，求二面角A—A1D—C的大小。ABCA1B1C1D10、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB=2，M为PB的中点．（1）证明：MC//平面PAD；（2）求直线MC与平面PAC所成角的余弦值．11、如图在梯形ABCD中，DCAB//，E、F是线段AB上的两点，且ABDE,ABCF，2,3FBEFCF,G为FB的中点,设tAE，现将BCFADE,分别沿CFDE,折起，使A、B两点重合于点P，得到多面体PEFCD.（1）求证：//PD平面EGC；（2）当EG面PFC时,求DG与平面PED所成角的正切值.PABCDMABCDEFGEFCDGPMGPEFCDN（1）证明：连接DF交EC于点M，连接MGGM,为中点MGPD//又EGCPD面EGCMG面//PD平面EGC———5分（2）当EG面PFC时,PFEG又G为FB的中点，2EPEF，2t—————7分过点G在平面PEF中作EP的垂线，垂足为N，连接DN.DE面PEF面PED面PEFGN面PEDGDN即为DG与平面PED所成角.——————11分易求得221,23DNGN,所以DG与平面PED所成角的正切值为77.——14分12、如图，在四边形ABCD中，4ADAB，7CDBC，点E为线段AD上的一点.现将DCE沿线段EC翻折到PAC，使得平面PAC平面ABCE，连接PA，PB.(1)证明：BD平面PAC；(2)若60BAD，且点E为线段AD的中点，求直线PE与平面ABCE所成角的正弦值.解：(1)连接AC，BD交于点O,在四边形ABCD中，∵4ADAB，7CDBC∴ADCABC，∴BACDAC,∴BDAC又∵平面PAC平面ABCE，且平面PAC平面ABCE=AC∴BD平面PAC…………6分(2)如图，过点P作AC的垂线，垂足为H，连接EH，EC并取AO中点F，连接EF，∵平面PAC平面ABCE，且平面PAC平面ABCE=AC，ACPH∴PH平面ABCE，∴PEH即为直线PE与平面ABCE的所成角，由(Ⅰ)可知，BDAC，且32AO，3CO，又2PE，7PC，设xCH，则有27xPH，3222xPHPEEH又∵F为AO的中点，在EFHRt中，xFH32，1EF由勾股定理得，31)32(22xx，解得334x，BACDEPABCA1B1C1O∴332EH，335PH∴直线PE与平面ABCE的所成角的正弦值即33sinPEEHPEH.13、在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，平面ABC1⊥平面AA1C1C，∠AA1C1=∠BAC1=60°，设AC1与AC相交于点O，如图．（1）求证：BO⊥平面AA1C1C；（2）求二面角B1—AC1—A1的大小。PPP1AABBCCM14、如图1，四面体PABC中，BC=BP=1，AC=AP=3，AB=2，将PAB沿直线AB翻折至ABP1，使点CBPA,,,1在同一平面内(如图2)，点M为PC中点.(1)求证：直线//1PP平面MAB；(2)求证：ABPC；(3)求直线PA与平面P1PC所成角的大小.答案：（3）、3