高中数学三角函数自学知识要点

5.1角的概念推广第5章三角函数问题游乐场的摩天轮，每一个轿厢挂在一个旋臂上，小明与小华两人同时登上摩天轮，旋臂转过一圈后，小明下了摩天轮，小华继续乘坐一圈．那么，小华走下来时，旋臂转过的角度是多少呢？创设情景兴趣导入问题用活络扳手旋松螺母，当扳手按逆时针方向由OA旋转到OB位置时，就形成一个角；在扳手由OA逆时针旋转一周的过程中，就形成了0°到360°之间的角；扳手继续旋转下去，就形成大于的角．如果用扳手旋紧螺母，就需将扳手按顺时针方向旋转，形成与上述方向的角．创设情景兴趣导入动画演示角的推广归纳通过上面的两个实例，发现仅用0°-360°范围的角，已经不能反映生产、生活中的一些实际问题，需要对角的概念进行推广．创设情景兴趣导入角的推广动脑思考探索新知一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB就形成角α．旋转开始位置的射线OA叫角α的始边，终止位置的射线OB叫做角α的终边，端点O叫做角α的顶点．动画演示角的推广动脑思考探索新知按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角；当射线没有作任何旋转时，所形成的角叫做零角．用角的顶点与边的字母表示角∠AOB或∠O用小写希腊字母α、β、γ、……来表示角.类型表示角的推广动脑思考探索新知将角的顶点与坐标原点重合，角的始边在x轴的正半轴，此时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角.终边在坐标轴上的角叫做界限角.自己作图表示一下吧．运用知识强化练习动画演示练习5.1.1在直角坐标系中分别作出下列各角，并指出它们是第几象限的角：⑴60°；⑵－210°；⑶225°；⑷－300°.问题引导动手探究用图钉联结两根硬纸条，将其中一根固定在OA的位置，将另一根先转动到OB的位置，然后再按照顺时针方向或逆时针方向转动，观察木条重复转到OB的位置时所形成角的特征．试验问题引导动手探究在直角坐标系中作出390°、－330°和30°角，这三个角的终边有何关系？动画演示问题引导动手探究与30°角终边相同的角还有哪些？390°=30°+1×360°-330°=30°+（-1）×360°它们是射线绕坐标原点旋转到30°角的终边位置后，分别继续按逆时针或顺时针方向再旋转一周所形成的角．390°、－330°与30°角之差都是360°角的整数倍数，角的推广动脑思考探索新知一般的，与角α终边相同的角（包括角α在内），都可以表示为α+k·360°(k∈Z)的形式．与角α终边相同的角有无限多个，它们所组成的集合为{360,}SkkZ动画演示角的推广巩固知识典型例题例1写出与下列各角终边相同的角的集合S,并写出S中在-360°～720°范围内的角：⑴60°；⑵－114°26′．{360,}SkkZ集合选取k，使得角在要求范围内.角的推广巩固知识典型例题例2写出终边在y轴上的角的集合．解终边在y轴上的角的集合是S｛︱18090,nnZ｝．当n取偶数时，角的终边在y轴正半轴上；当n取奇数时，角的终边在y轴负半轴上．角的推广应用知识强化练习练习5.1.21.在0°～360°间，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：⑴405°；⑵165°；⑶1563°；⑷5421°．2.写出与下列各角终边相同的角的集合，并且把集合中在－360°～360°之间的角写出来：⑴45°；⑵－55°；⑶－220°45′；⑷1330°．你会解决哪些新问题？本次课学习哪些内容？体会到哪些学习方法？角的推广归纳小结自我反思5.2弧度制第5章三角函数创设情景兴趣导入角是如何度量的？角度的单位是什么？将圆周的1360圆弧所对的圆心角叫做1度角，记作1°．1度等于60分（1°=60′），1分等于60秒（1′=60″）．以度为单位来度量角的单位制叫做角度制．是否有其它的单位制使得表示更为方便简单？弧度制动脑思考探索新知用度做单位来度量角的单位制叫做角度制.把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度以弧度为单位来度量角的单位制叫做弧度制．的角，记作1rad或1弧度．ABr1AOB(rad).若,则2ACr2AOC(rad).若,则2rAD12AOD(rad)若,则零角的弧度数为零lr(rad)正角的弧度数为正数负角的弧度数为负数动画演示单位换算3602π1801801rad57.30571810.01745rad180通常“rad”或“弧度”可以省略不写.实数角弧度制动脑思考探索新知特殊角角度与弧度的换算度弧度03045609018027036006432322弧度制动脑思考探索新知巩固知识典型例题例1把下列各角度换算为弧度(精确到0．001)：⑴15°；⑵8°30′；⑶－100°．例2把下列各弧度换算为角度（精确到1′）：⑴3π5；⑵2.1；⑶-3.5．1801rad57.30571810.01745180弧度制计算器运用知识强化练习练习5.2.13．把下列各角从角度化为弧度：⑴75°；⑵-240°；⑶105°；⑷67°30′．4．把下列各角从弧度化为角度：⑴π15；⑵2π5；⑶4π3；⑷6π．自我探索使用工具观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书，小组完成计算器弧度与角度转换的方法.利用计算器，验证计算例题1与例题2．弧度制计算器巩固知识典型例题例3某机械采用带传动，由发动机的主动轴带着工作机的从动轮转动．设主动轮A的直径为100mm，从动轮B的直径为280mm．问：主动轮A旋转360°从动轮B旋转的角是多少？（精确到1′）弧度制解主动轮A旋转一周是度，传动带转过的长度为周长==（mm）．再考虑从动轮，传动带紧贴着从动轮B转过同样的长度，应用从动轮B转过的角就等于lr140lr巩固知识典型例题例4如图，求公路弯道部分AB的长l（精确到0．1m．图中长度单位：m）．先将圆心角换算为弧度制．再用弧长=圆心角×半径求解弧度制lR应用知识强化练习练习5.2.2弧度制1.若扇形的半径为10cm，圆心角为60°，则该扇形的弧长和扇形面积是多少?2.已知1°的圆心角所对的弧长为1m，那么这个圆的半径是多少米．3．自行车行进时，车轮在1分钟内转过了96圈．若车轮的半径为0.33米，则自行车1小时前进了多少米（精确到1米）？你会解决哪些新问题？本次课学习哪些内容？体会到哪些学习方法？归纳小结自我反思弧度制5.3任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数第5章三角函数创设情景兴趣导入锐角三角函数的定义是什么？BCAabc在RtABC中，sincostan．创设情景兴趣导入acbcabyrxryxBC（x,y)yrxoxysincostan将Rt⊿ABC放在直角坐标系中，使得点A与坐标原点重合，AC边在x轴的正半轴上．三角函数的定义可以写作：三角函数动脑思考探索新知sinyrcosxrtanyxBP（x,y)yrxoxy设是任意大小的角，点(,)Pxy为角的终边上不与原点重合的任意一点，点P到原点的距离为22rxy，角的正弦、余弦、正切分别定义为动脑思考探索新知三角函数cosxrtanyxsinyr在比值存在的情况下，对角α的每一个确定的值,按照相应的对应关系，角α的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比值与之对应，他们都是以角α为自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．动脑思考探索新知三角函数定义域RR2kk{,Z}sincostan三角函数正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示：动脑思考探索新知三角函数当角α采用弧度制时，角α的取值集合与实数集R之间具有一一对应的关系，所以三角函数是以实数α为自变量的函数．巩固知识典型例题例1已知角的终边经过点(2,3)P，求角的正弦、余弦、正切值．首先要根据关系式22rxy，求出点P到坐标原点的距离r，然后根据三角函数定义进行计算．解因为x，y，所以222(3)r，sinyr，cosxr，tanyx．三角函数运用知识强化练习练习5.3.1已知角的终边经过点P，求：角的正弦、余弦、正切值：⑴P（3，−4）；⑵P（−1，2）；⑶P（13,22）．创设情景兴趣导入xyo当角α的终边在第一象限时，点P在第一象限，x0,y0，所以，sinα0,cosα0,tanα0；sinα0cosα0tanα0当角α的终边在第二象限时，点P在第一象限，x0,y0，所以，sinα0,cosα0,tanα0；sinα0cosα0tanα0sinα0cosα0tanα0sinα0cosα0tanα0当角α的终边在第三象限时，点P在第一象限，x0,y0，所以，sinα0,cosα0,tanα0；当角α的终边在第四象限时，点P在第一象限，x0,y0，所以，sinα0,cosα0,tanα0；动脑思考探索新知三角函数任意角三角函数的符号：xyo++--sinαxyo++--cosα0xyo++--tanα0全正正切正余弦正正弦正xyo巩固知识典型例题三角函数例2判定下列角的各三角函数符号．（1）4327º；（2）275．判断任意角三角函数值的符号时，首先要判断出角所在的象限,然后再根据在各象限角三角函数值的符号来进行判断.解（1）因为4327º角为第象限角，故sin43270，cos43270，tan43270．解（2）因为275角为第象限角，故27sin50，27cos50，27tan50．巩固知识典型例题三角函数例3根据条件sin0且tan0，确定是第几象限的角．xyo++--sinαxyo++--tanα应用知识强化练习练习5.3.2三角函数1.判断下列角的各三角函数符号（1）525º；（2）-235º；（3）196；（4）34．2．根据条件sin0且tan0,确定是第几象限的角．自我探索使用工具观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书，小组完成计算器计算三角函数值.三角函数02322sincostan计算器巩固知识典型例题三角函数这类问题需要首先计算出界限角的三角函数值，然后再进行代数运算.例4求下列各式的值：(1)5cos1803sin902tan06sin270；(2)cossintan3sinsincos364344计算器应用知识强化练习练习5.3.3三角函数1．计算：5sin902cos03tan180cos180；2．计算：213costantansincos24332计算器你会解决哪些新问题？本次课学习哪些内容？体会到哪些学习方法？归纳小结自我反思三角函数5.4同角三角函数的基本关系第5章三角函数创设情景兴趣导入设坡角为α，如果tanα=0.8，小明沿着斜坡走了10米，则他升高了多少米??已知一个角的正切函数值，如何求出这个角的正弦函数值？tan0.8sin?同角三角函数动脑思考探索新知根据三角函数的定义：设角的终边与单位圆的交点为(,)Pxy那么sin1yy,cos1xx．因此，交点P的坐标为(cos,sin)，根据勾股定理：222sincos1rsintancosyx那么sin1yy,cos1xx．因此，交点P的坐标为(cos,sin)，动脑思考探索新知同角三角函数利用同角公式可以由一个已知的三角函数值，求出其它各三角函数值．同角公式22sincos1sintancos平方关系商数关系巩固知识典型例题同角三角函数例1已知4sin5,且是第二象限的角,求cos和tan知道正弦函数值，可以利用平方关系，求出余弦函数值；然后利用商数关系，求出正切函数值．解由22sincos1，可得2cos1sin．又因为是第二象限的角,故cos0