高等数学曲面及其方程

•1.空间直角坐标系•右手系Oyxz212212212)()()(zzyyxxd,),,(1111zyxM),,(2222zyxM•2.两点•间的距离公式为•复习•M•(x,y,z)•3.两向量的数量积cosbabazzyyxxbabababababacos•4.两向量的夹角zyxzyxbbbaaakjiba•5.两向量的向量积•6.两向量互相平行垂直的条件00zzyyxxbababababazzyyxxbababababa0//cbacba,,zyxzyxzyxcccbbbaaa•7.向量的混合积卫星接收装置(旋转抛物面).•化工厂或热电厂的冷却塔•(旋转双曲面)第三节曲面及其方程一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面一、曲面方程的概念平面解析几何中如果某曲线c上的点与一个二元方程f(x,y)=0的解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。任何曲面都可以看作是点的几何轨迹.曲面S与三元方程(1)0z,y,xF则方程(1)就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程(1)的图形.有下述关系：①曲面S上任一点的坐标都满足方程(1);②不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1),xyzS0z,y,xFo空间解析几何中R解Rzzyyxx2020202202020Rzzyyxx2222Rzyxxyz0000z,y,xMo(2)RMM0若球心在原点，则,zyx0000球面的方程为半径为R的球面方程.就是以0000z,y,xM为球心,z,y,xM(3)例1求到点M0(x0,y0,z0)的距离等于R的点的轨迹方程.设轨迹上的动点为M(x,y,z)即则以下给出几例常见的曲面.解：MBMA07262zyx222321zyx222412zyx例2求到A(1,2,3),B(2,-1,4)两点距离相等的点的轨迹方程.设轨迹上的动点为M(x,y,z)即整理得即为所求点的轨迹方程.线段的垂直平分面.ABM'ABM有配方得.521222zyx半径为的球面.5R解,,,M0210原方程表示球心在点一般地，三元二次方程0222GFzEyDxAzAyAx例3方程042222yxzyx表示怎样的曲面?(1)x2,y2,z2项系数相同;(2)缺xy,yz,zx项.其图形可能是一个球面，或点，或虚轨迹.GAFEDAFzAEyADx4222222222特点：以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．1011二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线分别称为旋转曲面的母线和旋转轴。12二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。13二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。14二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。15二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。16二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。17二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。18二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。19二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。20二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。21二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。22二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。23二、旋转曲面定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。这条曲线和定直线一次称为旋转曲面的母线和旋转轴。ozyxC1、yOz面上曲线C绕z轴旋转所成曲面的方程:),,0(111zyM),,(zyxM(4)0,11zyf.1zz0,zyfCyOz：面的曲线设,,,SzyxM1110z,y,M22yxdM点到z轴的距离022z,yxf2211yxy,zz将代入（4）得就是所求旋转曲面的方程.(5)，点M1(0,y1,z1)在曲线C,则1y0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf当曲线C绕y轴旋转时，方程如何？思考：1MM'o2622(,)0fyxz2、注意：绕哪个轴旋转，哪个变量不变(,)0C:0fyzx1.yoz平面上的母线绕oz轴旋转得旋转曲面22(,)0fxyz(,)0C:0fyzx2.yoz平面上的母线绕oy轴旋转得旋转曲面(,)0C:0fxyz3.xoy平面上的母线绕ox轴旋转得旋转曲面22(,)0fxyz解122222czyax122222czayx这两种曲面都叫做旋转双曲面.一周,求所形成的旋转曲面的方程.将zOx平面上的双曲线12222czax例4绕x轴旋转得绕z轴旋转得xyz分别绕x轴和z轴旋转旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角20叫圆锥面的半顶角．28旋转面---圆锥面高等数学（下）主讲杨益民)(2222yxazxyz两边平方L),,0(zyM例5建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为的圆锥面方程.解在yOz面上的直线L的方程为:L绕z轴旋转时,圆锥面的方程为的大小与圆锥面的张口大小有何关系？思考：椭圆012222xczay绕y轴和z轴；绕y轴旋转绕z轴旋转122222czxay122222czayx旋转椭球面抛物线022xpzy绕z轴；pzyx222旋转抛物面30特点：曲面方程中若除一个变量外，另外两个变量能写成平方和的形式，则该曲面是旋转曲面(,,)0Fxyz例：2221499xyz222214901490xyxzxzxy由椭圆曲线绕轴旋转所得的椭球面或由椭圆曲线绕轴旋转所得的椭球面2221xyz呢？31例6试判断方程122zyx表示何种曲面?并作图.yOz面上的抛物线12zy绕z轴旋转所得旋转曲面.或zOx面上的抛物线12zx绕z轴旋转所得旋转曲面.xyzo1解33播放定义三、柱面观察柱面的形成过程:沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。34定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:35定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:36定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:37定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:38定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:39定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:40定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:41定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:42定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:43定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:44定义三、柱面沿定曲线C移动的动直线L所形成的曲面称为柱面。这条定曲线C叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。观察柱面的形成过程:45柱面举例xozyxozy220yxz抛物柱面0yxz平面(,)0C:0fxyz母线平行于z轴的柱面方程为：(,)0fxy一般地，已知准线方程(,)0fxy注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程表示母线平行于z轴的柱面。(,)0fxy一般地，在空间直角坐标下(,)0fxy（缺z），表示母线∥？，准线为？的柱面。(,)0fxz（缺y），表示母线∥？，准线为？的柱面。(,)0fyz（缺x），表示母线∥？，准线为？的柱面。Zxy二元方程的几何图形为柱面47问：12222czby（1）表示什么曲面？22221xzac（2）表示什么曲面？回顾1.三元方程F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。2.表示一张球面。2220AxAyAzBxCyDzEAxByCzD03.表示空间的一张平面。(,)0C:0fyzx4.yoz平面上的母线绕oz轴旋转得旋转曲面48四、二次曲面三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。目的：利用截痕法讨论二次曲面的形状。即：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。22(,)0fxyz5.xoy平面上的准线方程母线平行于z轴的(,)0C:0fxyz柱面方程为：(,)0fxy其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面49（一）椭球面1222222czbyax椭球面与三个坐标面的交线：22221,0xyabz椭球面与平面的交线为椭圆1zz12122222122221)()(zzzccbyzccax同理与平面x=x1和y=y1的交线也是椭圆22221,0xzacy22221,0yzbcx1222222czbyax截痕法用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyxzo椭球面51椭球面的几种特殊情况：,)1(ba222221xyzac旋转椭球面222210xzacy由椭圆或绕z轴旋转而成。222210yzbcx,)2(cba1222222azayax球面2222xy