LS-高一数学函数值域求法及例题

捧着一颗心来不带半根草去——陶行知君子有三乐,而王天下不与存焉。父母俱存,兄弟无故,一乐也；仰不愧于天,俯不怍于人,二乐也；得天下英才而教育之,三乐也。函数值域（最值）的常用方法姓名：一、基本函数的值域：一次函数0ykxbk的值域为R．二次函数20yaxbxca，当0a时的值域为24,4acba，当0a时的值域为24,4acba．反比例函数0kykx的值域为0yRy．指数函数01xyaaa且的值域为0yy．对数函数log01ayxaa且的值域为R．正，余弦函数的值域为1,1，正，余切函数的值域为R．二、其它函数值域一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数）1、求242xy的值域．2、求函数111yx的值域．二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域）1、求函数)4,0(422xxxy的值域．说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制．2、若,42yx0,0yx，试求xy的最大值。师者传道受业解惑者也三、反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型）对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。1、求函数12xxy的值域．2、求函数2241xyx的值域．四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为0)()()(2yCxyBxyA的形式，再利用判别式加以判断）1、求函数3274222xxxxy的值域．2、求函数2122xyxx的值域．3、五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用三角代换）等）1、求函数xxy41332的值域．六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域）1、求函数13yxx的值域。七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值．（如：abbaabba2,222），利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取成立的条件．）1、求函数1(0)yxxx的值域．捧着一颗心来不带半根草去——陶行知君子有三乐,而王天下不与存焉。父母俱存,兄弟无故,一乐也；仰不愧于天,俯不怍于人,二乐也；得天下英才而教育之,三乐也。注意：在使用此法时一定要注意2abab的前提条件是a＞0，b＞0，且能取到a＝b．八、部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(xfky(为k常数)的形式）1、求函数122xxxxy的值域．九、单调性法（利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域）十、利用导数求函数的值域（若函数f在（a、b）内可导，可以利用导数求得f在（a、b）内的极值，然后再计算f在a，b点的极限值。从而求得f的值域）十一、最值法（对于闭区间[a，b]上的连续函数y=f(x)，可求出y=f(x)在区间[a，b]内的极值，并与边界值f(a)、f(b)作比较，求出函数的最值，可得到函数y的值域）十二、构造法（根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合）十三、比例法（对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值求函数的值域①31yx，x∈{1，2，3，4，5}．(观察法)②246yxx，x∈1,5．(配方法：形如2yaxbxc)师者传道受业解惑者也③21yxx．(换元法：形如yaxbcxd)④1xyx．(分离常数法：形如cxdyaxb)⑤221yxx．(判别式法：形如21112222axbxcyaxbxc)变式1．求下列函数的值域①2243yxx．②1yxx．③y＝213xx．④2224723xxyxx．⑤37yxx．⑥93(0)4yxxx