第七章：资本市场有效性(II)-检验

第七章：资本市场有效性（II）——检验尽管EMH等价于价格过程的鞅假设，由于检验一个过程为鞅比较困难，因此大多数EMH检验只是检验价格过程是否是随机游动。1.三种不同的随机游动从鞅到随机游动鞅：0)|()|(11==−−tttttIrEpIpE随机游动:tttppε+=−1orttttrppε==−−1三种随机游动：Type1—RW1:tε’是独立同分布的.),0(~2σεIIDtType2—RW2:tε’是独立的，但不一定同分布。Type3—RW3:tε’是不相关的。三种随机游动与鞅的关系：RW1=鞅RW2=鞅但不是RW3=不是鞅因此。检验价格过程是RW1或者RW2=价格过程为鞅=市场为有效。检验价格过程不是RW3=价格过程不是鞅=市场不是有效市场。但是，如果不能拒绝了价格过程是RW1或者RW2，或者不能拒绝RW3，则我们不能得出市场有效性的任何明确的结论。（WhatwecandoistorejectRW3andthustorejectEMH,andtoacceptRW1orRW2toacceptEMH.）2.随机游动1的检验（TestofRandomWalk1:IIDIncrements）检验的原假设：对数价格服从随机游动过程:tp),0(~,:210σεεIIDppHtttt+=−1)持续和反转(SequencesandReversals)设表示价格升降的指示变量:tI⎩⎨⎧≤−≡−≡=−−0if00if111tttttttpprpprI.(2)tI是一个正负的指示变量。如果从t到tr1+t价格的变化方向不发生变化，则称为一个价格持续（sequence），否则称为价格反转（reversal）。设和分别为一段时间内股票价格的持续和反转次数。给定sNrN1+n历史股票收益数据,和可以表示为的函数:121,,,+nrrrsNrNtI（3）srntttttttsNnNIIIIYYN−≡−−+≡≡∑=++111)1)(1(,在原假设下，如果进一步假设tε的分布是对称的，则为正的概率应该等于为负的概率，各为0.5。设比值,则当样本量趋于无限大时，应该趋于1。这个统计量由CowlesandJones(1937)在1937年首次提出。如果设价格持续的概率为trrsNNJC/ˆ≡JCˆsπ，则出现反转的概率就是sπ−1。可以看作比值JCˆ)1/(ssππ−的一致估计，即CJnNnNNNJCsspssrsrs=−⎯→⎯−==≡ππππ1ˆ1ˆ//ˆ在原假设下,0H1,2/1==CJsπ。要进行检验，我们需要求出统计量的分布。采用二项分布随机变量的性质和求统计量分布的德尔他方法可以得出：)/(ˆssNnNJC−=)4,1()(~ˆnNJC⋅（推导过程，仅供参考：omvariable,i.e.thesumofBernoullirandomvariablewhere=stYπ-y1probabilitwith0wemayapproximatethedistributionofforlargebyanormaldistributionwithntYWithsNbeingabinomialrand⎩⎨⎧−+=sπππ)1(yprobabilitwith122,sNnmeanssnNEπ=)(andvariance)(sNVar.BecausachpairofajacenttY’swillbedependent,the(sNVareedis)))1()(1(2)1(],[2)1(),(2)(][23311sssttssststtnttsnnYYnCovnYYCovYnVarYVarNVarπππππππ−−+−+−=+−=+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+=∑∑sinceisindependentofforand⎩⎪⎪⎪⎧≥======−+=====+======+++++++2for)1()1()1,1()1(1for)0,0,0()1,1,1()1,1(23321211kYPYPYYPkIIIPIIIPYYPskttkttttttttttπππ,andthentYktY+2≥k⎪⎪⎪⎨=+YEYktt⎪⎩⎪⎨⎧≥=−−+=+2for01for)1(),(233kkYYCovskttπππ.Letn/.and)1(sssNEππ−=NNss=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−1−+−==nOnnnNVarnNVarssssssss11341])3(21)/11(2)1([1)(1)(222ππππππcanbeapto,,,21nYYYlthoughsareindependent.CLTplied,,atY’)(ssNnπ−followsnormaldistributionasymptotically:)134,0()(~)(2−−⋅−ssssNNnπππ)1/()/(ˆssssNNNnNJC−=−=forsNatssNπ=,wehaveDoingfirstorderTaylorexpansionof()⎟⎟⎠⎞⎝−−−+−≈42)1(1311sssssssπππππ.conclusionthat:under⎜⎜⎛−⋅−−24,1)(~)(1ˆsssnNNJCππππWeendupwiththe2/1:0=sHπ,theteststatistics，推导结束）例子:1.CowlesandJones(1937)采用1835到1935美国铁路股票板块指数计算出的值为1.17，计算采用的样本个数为JCˆ99=n,因此NNJC=⋅，)201.0,1()99/4,1()(~ˆ2在2/1:0=πH下，)1,0(ˆJC−。~201.01N检验的临界值为1.96，既然对于显著水平0.05,96.184577.0201.0117.1201.01ˆ=−=−JC,（empiricalresultprovidedlittleevidenceagainsttherandomwalkhypothesis.）2.LoandMackinlaydothesamethingusingtherecentfifty-yearreturndataofAmericanstockmarket,gettingthevalueof1.19.Inthesimilarway,theresultcan不能拒绝原假设，实证结论不能给否定随机游动假设提供强有力的证据notrejectrandomwalkhypothesis.2)游程检验(runtest)(仅供参考：LettIbeindicatorofreturn,definedasabove.Fromareturnsequenceofsizen,nrrr,,,21,thereiscorrespondsequenceofI’s,consistingof1and0.Forexample,10011subsequenceofconsecutive1or0.Inthesequence100111000,therearethreerunsof1s(ofively)andthreerunsof0s(oflength2,1,and2,respectively),thussix1000.Arunisalength1,3,and1respectrunsintotal.Supposethatπ==)1(tIP,thenπ−==1)0(tIP.Letnkdenotethenumberofsequenceoflengthn.Itiseasytoseethatnkisarandomvariablewithnknrunsina≤≤1and−==−+==−−∑)1(2)2()1()1(1kPkPnininnnnππππ.⎪⎩⎪⎨⎧+=−+−===++2,)1(1(22)(11mnmnnkPmmmmnπππ−=1),)1(1mmiπππ#ThemeanandvarianceareApplyingCLTtowhichcanbeconsideredasstandardizationofsumofrans,wehave[])1(31)1(4)()1()1(2)(22ππππππππ−−−=−++−=nkVarnkEnn.nk)1,0()()(NkVarkEkFnnn⎯→⎯−.(4)Notethat01/])1([22⎯⎯→⎯≤−+∞→nnnππ,(4)canberewritteninmoredetail:)1,0(1(2nzn)(~)]1(31)[)1(2Nnkn⋅−−−−−=ππππππ(5)ustmenttothisstatisticisoftenmadetoaccountforthefactthatwhilethenormalapproximationyieldsdiffereeinterval,theexactprobabilitiesareconstantoverthisintervalsincisintegervalued.Therefore,acontinuiinwhichthez-statisticisevaluatedatterval;thusAslightadjntprobabilitiesforrealizationsinth)1,[+nnkkenktycorrectionismadethemidpointofthein)1,0()(~)]1(31)[1(2)1(22/1Nnnkznn⋅−−−−−+=ππππππ.Under2/1:0=πH,z-statisticfollowsasymptoticallystandanormaldistribution:rd)1,0()(~1Nnnkznn⋅−+=(see:张尧庭：金融市场的统计分析P97－103，广西师范大学出版社，1998年11月)3.第随机游动检验随机游动的一个最直接的方法是检验不同时点上股票收益的相关性。我们可以通过检验不同时点上收益的自相关系数是否显著为三种的检验（RW3:Uncorrelatedincrements）0来做到这一点。平稳时间序列的自相关系数：)(),()()(),(tkttrVarrVarrVar−样本自相关系数:kttkttkrrCovrrCov−−==ρ∑∑=+=−−−−−−==TttTktktttkttkrrTrrrrkTrVrrovC121)(1))((1)(ˆ),(ˆˆρ1)RW1下的检验。a)自相关系数的逐个检验.在RW1下,我们检验1,0:0=kHkρ.在RW1,对，1k)1,0()(~ˆNTk⋅ρ.当样本量不大时，可以采用Fuller(1976)给量)(~kρ：出的纠偏调整估计))(ˆ1()1(T)(ˆ)22kkTkkρρ−−−+=(~ρ)1,0()(~)(~NkkTT⋅−ρ例子：96.15939.00591.099100,0591.0)05.01(99110005.0)(~:05.0ˆ,100221=×=−−+===kTρρ,)自相关系数的联合检验—Box-Pierce检验（Jointtest—Box-Piercetest）0H.在0.05显著水平上，不能拒绝b0:210====MHρρρ.Teststatistics:Box-Piercestatistic021kTk−2)(ˆ)2(0HunderMTTHMkχρ⎯→⎯+=∑Q=Exmaple253ˆ2ˆ1ˆ)102(1000:,33210====HM2312221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−+−+−=TTTQρρρρρρ:Bysummingthesquaredautocorrelations,theBox-Piercestatisticisdesignedtodetectdeparturesfromzeroautocorrelationsineitherdirectionandatalllags.Thereforithaspoweragainstabroadrangeofalternativehypothesestotherandomwalk.AdvantagesDrawbacks:Select