第五章量子力学的矩阵形式和表象变换考试题

第五章量子力学的表象变换与矩阵形式1.量子态的不同表象，幺正变换2.力学量的矩阵表示3.力学量的表象变换5.1.1坐标表象通过坐标变换,以引进量子力学中的表象及表象变换的概念.表象:量子力学中的态和力学量的具体表示方式称为表象.x1x2x’1x’2A1A’1A2A’2Ae1e2e’1e’2θθO平面坐标系x1和x2的基矢e1和e2，长度为1，彼此正交，即)2,1,(),(jiijjiee（1）平面上的任何一个矢量都可用它们来展开,2211eeAAA（2）A1和A2表示矢量A在两个分量坐标上的投影。5.1量子态的不同表象，幺正变换假设另一个x’1x’2直角坐标系，由原来的坐标系顺时针旋转θ角,其基矢为e’1e’2,满足)2,1,()','(jiijjiee（1’）在此坐标中，矢量A表示成''2211eeAAA（2’）''22112211eeeeAAAAA（3）对上式分别用e’1,e’2点乘)'()'()'()'(22212122121111eeeeeeeeAAAAAA（4）写成矩阵的形式21212212211121cossinsincos)'()'()'()'(AAAAAAeeeeeeee（5）2121)(AARAAR（θ）称为变换矩阵元，是两个坐标系基矢之间的标积。当R确定后，任何两个坐标系之间的关系也就确定了。其转置矩阵表示为cossinsincos~R（6）x1x2x’1x’2A1A’1A2A’2Ae1e2e’1e’2θθO变换矩阵R与其转置矩阵之间的关系为1~~RRRR因为R＊=R，（7）5.1.2RepresentationTheory(表象理论)一个粒子的态完全可由归一化的波函数ψ(r,t)来描述，将ψ(r,t)称为坐标表象。下面将讨论用动量为变量描述波函数。将ψ(r,t)还可表示成dpxtpcpdxpitpctxpxx)(),()exp(),()2(1),(2/1在整个动量空间积分。c(p,t)为展开系数，ψp(r)是动量的本征函数。),exp()2(1)(2/1xpixxp（11）（12）显然，c(p,t)描述的粒子态与ψ(r,t)描述的粒子态同样完整。已知c(p,t)，就可以求出ψ(r,t)，反之也一样。即c(p,t)和ψ(r,t)描述的是粒子态同一个状态。因此，将c(p,t)称为粒子态的动量表象。,)(),()2(1),(2/1dxxtxtpcp如果已知ψ(r,t)就可以通过上式得到c(p,t)，反过来也成立。,),(),(3232pdtcrdtpr（13）（14）,),())(,(3pdtcitcpppr那么在动量表象中，坐标的平均值可以表示为其它观测量的平均值类似可表示出。,),())(,(3pdtcitcpppp如果ψ(x,t)描述的状态是动量p’的自由粒子的状态),exp()(),('tEixtxpp,)'()()(),('''tEiptEipppeppdxxextpc在动量表象中，具有确定动量p’的粒子波函数是函数。0,00,{)(xxAxexx例题：一维粒子运动的状态是解：由于波函数为归一化，首先要对波函数进行归一化1)(22dxAxedxxx33220224,141AAdxexAx求1）粒子动量的几率分布；2）粒子的平均动量)()!1(1001Ndxexx0,00,4{)(3xxxexx)()2(4),(2/13dxxxetpcpx23dxexexpxx)p(1222x3)(3dxxexpx)()!1(1001Ndxexx)p(12)(2x3xpc动量的几率分布为)p(12)(4x32xppcw动量的平均值为)(ˆ)(*xpxpxxexixexixp)1(2)(4)(ˆ33dxexxixpxpx2203)(4)(ˆ)(考虑任意力学量Q本征值为1,2,…,n…,对应的正交本征函数u1(x),u2(x),…un(x)…,则任意波函数（x）按Q的本征函数展开为),(),(xuatxnnn下标n表示能级，上式两边同乘以u*m(x),并积分,),()()(dxtxxutamm粒子态完全由an完全集确定，即能量表象。（16）（17）3.能量表象dxxuxutatadxtxnmnmmn)()()()(),(*,*2)()()()(*,*tatatatannnmnnmmn1),(2dxtx因为1)()(*tatannn所以2na是对应力学量Q取不同能量本征值的几率)..(),...(),(),(321tatatatan数列可表示成一列矩阵的形式)()()(21tatatan其共轭矩阵为一行矩阵),...(),...(),(*2*1*tatatan1因为波函数是归一化的，表示成例题1：一维谐振子的能量表象中不同能量本征值的波函数)21exp(240xn=0:210Exx)21exp(21221n=1:231E....)21exp(212)21exp(4),(224xxxtx因为系统的波函数是正交归一的波函数，表示为直角坐标系中，矢量A的方向由i,j,k三个单位矢量基矢决定，大小由Ax,Ay,Az三个分量（基矢的系数）决定。在量子力学中，选定一个F表象，将Q的本征函数u1(x),u2(x),…un(x),…看作一组基矢，有无限多个。大小由a1(t),a2(t),…an(t),…系数决定。所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的空间函数，基矢是正交归一的波函数。数学上称为希尔伯特（Hilbert）空间.常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角动量表象总结例题2质量为m的粒子在均匀力场f(x)=-F(F0)中运动，运动范围限制在x0,试在动量表象中求解束缚态能级和本征函数。解：势能为V（x）＝Fx，总能量为FxmPVTH22在动量表象中，x的算符表示为xpipxex2/1)2(1)()()2(1)(2/1xxiexixdpdpxpipxdpdixˆdpdFimPFxmPH22ˆ22定态的薛定谔方程)()()(22pEpdpdFipmp)6(exp)(3EpmpFiApE可由贝塞尔函数解出，基态能级为3/1221)(8558.1mFE习题4.1求在动量表象中角动量Lx的矩阵元和L2x的矩阵元)(yzzyipzpyLyzx解：Lx在动量表象中的矩阵元rdrpzpyrrdrLrLpyzppxpxpp3'*3'*')()ˆˆ)(()(ˆ)(rdezyizpypxpipzyx3)'''(*2/3)()2(1r第一项rdeypiizpypxpizpzyx3)'''(2/3*)2(1')(r'')(')(3'*ppzpzpyprdyprr第二项也可以导出，则Lx的矩阵元rdrzpyprLpyzpxpp3'*')()'')((rdrpzpyrdxxLxLpyzppxpxpp3'2*'2*'2)()ˆˆ)(()(ˆ)(4.2算符的矩阵表示设算符F有如下关系：),(),(ˆtxtxF在Q表象中，Q的本征值分别为Q1，Q2，Q3，…Qn…,对应的本征函数分别为u1(x),u2(x),…un(x),….将(x,t)和(x,t)分别在Q表项中由Q的本征函数展开),(),(xuatxmnm),(),(xubtxmmm代入上式，),,(),(ˆtxtxF)(xubmmm),(ˆxuaFmmm两边同乘以u*n(x),并在整个空间积分dx)()(*xuxubmmnm)()(ˆ)(*dxxutaFxummmn利用本征函数un(x)的正交性)(tbbnmnmm)()(ˆ)(*tadxxuFxummmn引进记号)(ˆ)(*dxxuFxuFmnnm)(ˆ)(nmtaFtbmmn这就是),(),(ˆtxtxF在Q表项中的表述方式。表示成矩阵的形式：)()()()(212221121121tataFFFFtbtb（23）矩阵Fnm的共轭矩阵表示为)](ˆ)[(**dxxuFxuFmnnm因为量子力学中的算符都是厄米算符，dxxuxuFdxxuFxuFnmmnnm)()](ˆ[)](ˆ)[(***)(ˆ)(*dxxuFxunmmnnmFF*即将满足该式的矩阵称为厄米矩阵nmmnmnFFF**)~(若在转置矩阵中，每个矩阵元素用它的共轭复数来代替，得到的新矩阵称为F的共轭矩阵nmmnFF~Fnm的转置矩阵为mnnmFF*根据厄米矩阵的定义所以mnmnFF5112F211251~FF例如*21***121251)~(FFF例如例题（习题4.2）求一维无限深势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元能量表象xana2sin122228anEnxdxamxanxaxdxamxxanaxmn)2sin()2sin(1)2sin(ˆ)2sin(1xdxaxax2sin1211xdxaxaxax22sin2sin112xdxaxaxax2sin22sin121xdxaxax222sin1xdxamxxanaixpmn)2sin()2sin()(dxxamxanaim)2cos()2sin(22xdxaxaaip2cos2sin2211xdxaxaaip22cos2sin212xdxaxaaip2cos22sin2221xdxaxaaip22cos22sin222(x)dx)((x)dx)(mnmnuQxuQuxuQmnmQ在自身表象中的矩阵元)()(xuQxQummmQm为Q在自身空间中的的本征值nmmmQuxuQ(x)dx)(mn如X在坐标空间中可表示为)'('xxxxmn)'('dx(x)')(pp'ppppxp动量p在动量空间中表示为结论：算符在自身的表象中是一个对角矩阵一维无限深势阱能量表象中能量的矩阵元00002.1EEEmn一维谐振子能量表象中能量的矩阵元02500023mnE两个矩阵的和为两个矩阵的分量之和。设C为两矩阵之和Cmn=Amn＋Bmn（42）两矩阵之积kknmkmnBAC矩阵Fpp’是动量空间。矩阵F＝（Fmnδmn）称为对角矩阵（diagonalmatrix）,当Fmn=1,称为单位矩阵（unitmatrix）,表示为I＝(δmn).在动量空间中，算符F的矩阵元dx(x)ˆ)(pp''FxFPP4.3量子力学公式的矩阵表述1.平均值公式nnnxutatx)()(),(mmmxutatx)()(),(***dxx