高一函数单调性完整版

函数的单调性学习目标（1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．（3）了解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性。重点与难点（1）判断或证明函数的单调性；（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。学习过程【学习导航】知识网络学习要求1.从特殊到一般,掌握增函数、减函数、单调区间的概念;2.会根据图像说出函数的单调区间,并能指出其增减性;3.会用定义证明一些简单函数的单调性.自学评价观察函数xxf)(，2)(xxf的图象从左至右看函数图象的变化规律:(1).xxf)(的图象是_________的，2)(xxf的图象在y轴左侧是______的，2)(xxf的图象在y轴右侧是_______的.(2).xxf)(在),(上，f（x）随着x的增大而___________;2)(xxf在]0,(上，f（x）随着x的增大而_______;2)(xxf在),0(上，f（x）随着x的增大而________.一、函数的单调性1．单调函数的定义（1）增函数：一般地，设函数()fx的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值1x、2x,当1x2x时都有12()()fxfx，那么就说()fx在这个区间上是增函数。（2）减函数：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值1x、2x,当1x2x时都有12()()fxfx，那么就说()fx在这个区间上是减函数。函数的单调性单调性的定义定义法证明函数的单调性增函数减函数单调区间xy0xy0xxf)(2)(xxf（3）单调性：如果函数()yfx在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数()yfx在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()yfx的单调区间。※增函数、减函数的定义;2、单调性的判定方法（1）定义法：判断下列函数的单调区间：21xy（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。（3）复合函数的单调性的判断：设)(xfy，)(xgu，],[bax，],[nmu都是单调函数，则[()]yfgx在],[ba上也是单调函数。①若)(xfy是[,]mn上的增函数，则[()]yfgx与定义在],[ba上的函数)(xgu的单调性相同。②若)(xfy是[,]mn上的减函数，则[()]yfgx与定义在],[ba上的函数)(xgu的单调性相同。即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）练习：（1）函数24xy的单调递减区间是，单调递增区间为．（2）5412xxy的单调递增区间为．3、函数单调性应注意的问题：①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性．②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上增函数:)()(2121xfxfxx减函数:)()(2121xfxfxxxy0x1x2f(x1)f(x2)xy0x1x2f(x1)f(x2)是增（或减）函数例题精讲;二函数单调性的证明．例题分析例1，证明：函数1()fxx在(0,)上是减函数。证明：设任意1x，2x∈（0，+∞）且12xx，则2112121211()()xxfxfxxxxx，由1x，2x∈（0，+∞），得120xx，又12xx，得210xx，∴12()()0fxfx，即12()()fxfx所以，1()fxx在(0,)上是减函数。说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：xy1不能说)0,(),0(是原函数的单调递减区间；练习：1．．根据单调函数的定义，判断函数3()1fxx的单调性。2．根据单调函数的定义，判断函数()fxx的单调性例2，,下图是定义在区间[-5，5]上的函数)(xfy，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？思维点拔:观察曲线升、降部分的横坐标所在的区域.,例3，物理学中的玻意耳定律Vkp（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体,当其体积V减小时，压强p将增大，试用函数的单调性证明之.思维点拔:只需证明函数Vkp在区间,0上是减函数即可.三，函数单调性的应用xy12345-2-4-1-3-5123－1－2－3O例4．f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f(yx)=f(x)－f(y)（1）求f(1)的值．（2）若f(6)=1，解不等式f(x＋3)－f(x1)＜2．.解析：①在等式中0yx令，则f(1)=0．②在等式中令x=36，y=6则.2)6(2)36(),6()36()636(fffff故原不等式为：),36()1()3(fxfxf即f[x(x＋3)]＜f(36)，又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，故不等式等价于：.23153036)3(00103xxxxx例5．函数f(x)=－x3＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减函数？试证明你的结论．.解析：f(x)在R上具有单调性，且是单调减函数，证明如下：设x1、x2∈(－∞，＋∞)，x1＜x2，则f(x1)=－x13＋1，f(x2)=－x23＋1．f(x1)－f(x2)=x23－x13=(x2－x1)(x12＋x1x2＋x22)=(x2－x1)［(x1＋22x)2＋43x22］．∵x1＜x2，∴x2－x1＞0而(x1＋22x)2＋43x22＞0，∴f(x1)＞f(x2)．∴函数f(x)=－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．例6．试讨论函数f(x)=21x在区间［－1，1］上的单调性．.解析：设x1、x2∈－1，1］且x1＜x2，即－1≤x1＜x2≤1．f(x1)－f(x2)=211x－221x=2221222111)1()1(xxxx=2221121211))((xxxxxx∵x2－x1＞0，222111xx＞0，∴当x1＞0，x2＞0时，x1＋x2＞0，那么f(x1)＞f(x2)．当x1＜0，x2＜0时，x1＋x2＜0，那么f(x1)＜f(x2)．故f(x)=21x在区间［－1，0］上是增函数，f(x)=21x在区间［0，1］上是减函数．例7．设函数f(x)=12x－ax，(a＞0)，试确定：当a取什么值时，函数f(x)在0，＋∞)上为单调函数．.解析：任取x1、x2∈0，＋且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)=121x－122x－a(x1－x2)=1122212221xxxx－a(x1－x2)=(x1－x2)(11222121xxxx－a)(1)当a≥1时，∵11222121xxxx＜1，又∵x1－x2＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)∴a≥1时，函数f(x)在区间［0，＋∞)上为减函数．(2)当0＜a＜1时，在区间［0，＋∞］上存在x1=0，x2=212aa，满足f(x1)=f(x2)=1∴0＜a＜1时，f(x)在［０，＋上不是单调函数注：①判断单调性常规思路为定义法；②变形过程中11222121xxxx＜1利用了121x＞|x1|≥x1;122x＞x2；③从a的范围看还须讨论0＜a＜1时f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现．例8．已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m的取值范围．解析：∵f(x)在(－2，2)上是减函数∴由f(m－1)－f(1－2m)＞0，得f(m－1)＞f(1－2m)∴32232131211,2212212mmmmmmm即解得3221m，∴m的取值范围是(－32,21)例9．已知函数f(x)=xaxx22，x∈［1，＋∞］（1）当a=21时，求函数f(x)的最小值；（2）若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．.解析：(1)当a=21时，f(x)=x＋x21＋2，x∈1，＋∞)设x2＞x1≥1，则f(x2)－f(x1)=x2＋1122121xxx=(x2－x1)＋21212xxxx=(x2－x1)(1－2121xx)∵x2＞x1≥1，x2－x1＞0，1－2121xx＞0，则f(x2)＞f(x1)可知f(x)在［1，＋∞)上是增函数．∴f(x)在区间［1，＋∞)上的最小值为f(1)=27．(2)在区间［1，＋∞)上，f(x)=xaxx22＞0恒成立x2＋2x＋a＞0恒成立设y=x2＋2x＋a，x∈1，＋∞)，由y=(x＋1)2＋a－1可知其在[1，＋∞)上是增函数，当x=1时，ymin=3＋a，于是当且仅当ymin=3＋a＞0时函数f(x)＞0恒成立．故a＞－3．【拓展训练】1.下列函数中,在)0,(上为减函数的是()A.y=3xB.y=-x2C.y=︱x︱D.y=2x+12.函数3)1()(xkxf在),(上单调递减，则k的取值范围是（）A.k0B.k0C.k-1D.k-13.函数1062xxy在区间（1，4）上为（）函数.A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增4．已知函数)(xf在（－2，3）上是减函数，则有（）A.f(-1)f(0)B.f(0)f(2)C.f(1)f(0)D.f(-1)f(1)5．证明函数xxxf23)(在区间)0,(上是增函数.课后作业：函数单调性练习一、选择题：1．在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（）A．y=2x＋1B．y=3x2＋1C．y=x2D．y=2x2＋x＋12．函数f(x)=4x2－mx＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f(1)等于（）A．－7B．1C．17D．253．函数f(x)在区间(－2，3)上是增函数，则y=f(x＋5)的递增区间是（）A．(3，8)B．(－7，－2)C．(－2，3)D．(0，5)4．函数f(x)=21xax在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(0，21)B．(21，＋∞)C．(－2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5．已知函数f(x)在区间[a，b]上单调，且f(a)f(b)＜0，则方程f(x)=0在区间[a，b]内（）A．至少有一实根B．至多有一实根C．没有实根D．必有唯一的实根6．已知函数f(x)=8＋2x－x2，如果g(x)=f(2－x2)，那么函数g(x)（）A．在区间(－1，0)上是减函数B．在区间(0，1)上是减函数C．在区间(－2，0)上是增函数D．在区间(0，2)上是增函数7．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)、B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x＋1)|＜1的解集的补集是（）A．(－1，2)B．(1，4)C．(－∞，－1)∪[4，＋∞）D．(－∞，－1)∪[2，＋∞）8．已知定义域为R的函数f(x)在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t，都有f(5＋t)＝f(5－t)，那么下列式子一定成立的是（）A．f(－1)＜f(9)＜f(13)B．f(13)＜f(9)＜f(－1)C．f(9)＜f(－1)＜f(13)D．f(13)＜f(－1)＜f(9)9．函数)2()(||)(xxxgxxf和的递增区间依次是（）A．]1,(],0,(B．),1[],0,(C．]1,(),,0[D),1[),,0[10．已知函数221