高一数学函数经典题目及答案

1函数解析式的特殊求法例1已知f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x1,求f(x)的解析式奎屯王新敞新疆例2若xxxf21(）,求f(x)奎屯王新敞新疆例3已知xxxf2)1(，求)1(xf例4已知：函数)(2xgyxxy与的图象关于点)3,2(对称，求)(xg的解析式例5已知f(x)满足xxfxf3)1()(2，求)(xf2函数值域的特殊求法例1.求函数]2,1[x,5x2xy2的值域。例2.求函数22x1xx1y的值域。例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域例4.求函数1e1eyxx的值域。例1下列各组中的两个函数是否为相同的函数？①3)5)(3(1xxxy52xy②111xxy)1)(1(2xxy③21)52()(xxf52)(2xxf2若函数)(xf的图象经过)1,0(，那么)4(xf的反函数图象经过点(A))1,4((B))4,1((C))1,4((D))4,1(例3已知函数)(xf对任意的abR、满足：()()()6,fabfafb0,()6afa当时；(2)12f。（1）求：(2)f的值；（2）求证：()fx是R上的减函数；（3）若(2)(2)3fkfk，求实数k的取值范围。例4已知{(,)|,,AxyxnyanbnZ}，2{(,)|,315,BxyxmymmZ}，22{(,)|Cxyxy≤14}，问是否存在实数,ab，使得(1)AB，(2)(,)abC同时成立.证明题1.已知二次函数2()fxaxbxc对于x1、x2R，且x1＜x2时12()()fxfx，求证：方程()fx＝121[()()]2fxfx有不等实根，且必有一根属于区间（x1，x2）.答案1解：设f(x)=kx+b则k(kx+b)+b=4x1则3121)1(42bkbkk或12bk∴312)(xxf或12)(xxf2换元法：已知复合函数[()]fgx的表达式时，还可以用换元法求()fx的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。解法一（换元法）：令t=1x则x=t21,t≥1代入原式有1)1(2)1()(22ttttf∴1)(2xxf（x≥1）解法二（定义法）：1)1(22xxx∴1)1()1(2xxf1x≥1∴1)(2xxf(x≥1)4代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。解：设),(yxM为)(xgy上任一点，且),(yxM为),(yxM关于点)3,2(的对称点则3222yyxx，解得：yyxx64，点),(yxM在)(xgy上xxy2把yyxx64代入得：整理得672xxy67)(2xxxg例5构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。∵已知xxfxf3)1()(2①，将①中x换成x1得xxfxf3)()1(2②，①×2-②得xxxf36)(3∴xxxf12)(.值域求法例1解：将函数配方得：4)1x(y2∵]2,1[x由二次函数的性质可知：当x=1时，4ymin，当1x时，8ymax故函数的值域是：[4，8]2.判别式法例2.解：原函数化为关于x的一元二次方程0x)1y(x)1y(2（1）当1y时，Rx0)1y)(1y(4)1(2解得：23y21（2）当y=1时，0x，而23,211故函数的值域为23,21当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y－1或y1｝5.函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例4.求函数1e1eyxx的值域。解：由原函数式可得：1y1yex∵0ex∴01y1y解得：1y1故所求函数的值域为)1,1(例1（定义域不同）（定义域不同）（定义域、值域都不同）例3解:（1）()()()6,fabfafb令0ab，得(0)6f令2,2ab，得(2)0f（2）证明：设12,xx是R上的任意两个实数，且12xx，即210xx，从而有21()6fxx，则212111()()[()]()fxfxfxxxfx2111()()6()fxxfxfx21()60fxx∴21()()fxfx即()fx是R上的减函数（3）()()()6,fabfafb令1,1ab，得(1)3f∵(2)(2)3fkfk∴(2)3(2)fkfk，又(1)3f，(2)0f即有(2)(1)(2)(2)fkffkf∴(2)(1)6(2)(2)6fkffkf∴[(2)1][(2)2]fkfk又∵()fx是R上的减函数∴(2)1(2)2kk即3k(A)∴实数k的取值范围是3k例4分析：假设存在,ab使得(1)成立，得到a与b的关系后与22xy≤14联立，然后讨论联立的不等式组.解：假设存在实数,ab，使得AB，(,)abC同时成立，则集合{(,)|,,AxyxnyanbnZ}与集合2{(,)|,315,BxyxmymmZ}分别对应集合1{(,)|,AxyyaxbxZ}与21{(,)|315,BxyyxxZ}，1A与1B对应的直线yaxb与抛物线2315yx至少有一个公共点，所以方程组2315yaxbyx有解，即方程2315xaxb必有解.因此212(15)ab≥20a≤12180b，①又∵22ab≤14②由①②相加，2b得≤1236b，即2(6)b≤0.∴6b.将6b代入①得2a≥108，再将6b代入②得2a≤108，因此63a，将63a，6b代入方程2315xaxb得236390xx，解得3xZ.所以不存在实数,ab，使得(1)，(2)同时成立.证明题11解：设F（x）＝()fx－121[()()]2fxfx，则方程()fx＝121[()()]2fxfx①与方程F（x）＝0②等价∵F（x1）＝1()fx－121[()()]2fxfx＝121[()()]2fxfxF（x2）＝2()fx－121[()()]2fxfx＝121[()()]2fxfx∴F（x1）·F（x2）＝－2121[()()]4fxfx，又12()()fxfx∴F（x1）·F（x2）＜0故方程②必有一根在区间（x1，x2）内.由于抛物线y＝F（x）在x轴上、下方均有分布，所以此抛物线与x轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（x1，x2）.点评：本题由于方程是()fx＝121[()()]2fxfx，其中因为有()fx表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明()fx的图像与x轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证1()fx2()fx＜0，使本题没法解决.本题中将问题转化为F（x）＝()fx－121[()()]2fxfx的图像与x轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.