立体几何第一章空间几何体单元测试题(含详细答案解析)

第一章综合素能检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2016·菏泽市高一检测)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于导学号92180212()A．2πB．πC．2D．1[答案]A[解析]所得旋转体是底面半径为1，高为1的圆柱，其侧面积S侧＝2πRh＝2π×1×1＝2π.2．(2016·全国卷Ⅲ，文)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为导学号92180213()A．18＋365B．54＋185C．90D．81[答案]B[解析]由三视图，知该几何体是一个斜四棱柱，所以该几何体的表面积S＝2×3×6＋2×3×3＋2×3×35＝54＋185，故选B．3．已知一个底面是菱形、侧面是矩形的四棱柱，侧棱长为5，菱形的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是导学号92180214()A．3034B．6034C．3034＋135D．135[答案]A[解析]由菱形的对角线长分别是9和15，得菱形的边长为922＋1522＝3234，则这个菱柱的侧面积为4×3234×5＝3034.4．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1:V2＝导学号92180215()A．1:3B．1:1C．2:1D．3:1[答案]D[解析]V1:V2＝(Sh):(13Sh)＝3:1.5．(2016·寿光现代中学高一月考)若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为导学号92180216()A．1:2B．1:4C．1:8D．1:16[答案]C[解析]设两个球的半径分别为r1、r2，∴S1＝4πr21，S2＝4πr22.∴S1S2＝r21r22＝14，∴r1r2＝12.∴V1V2＝43πr3143πr32＝(r1r2)3＝18.6．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积为导学号92180217()A．6B．32C．62D．12[答案]D[解析]△OAB是直角三角形，OA＝6，OB＝4，∠AOB＝90°，∴S△OAB＝12×6×4＝12.7．(2015·北京文)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为导学号92180218()A．1B．2C．3D．2[答案]C[解析]根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V－ABCD，其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD．连接BD，易知BD＝2，在Rt△VBD中，VD＝VB2＋BD2＝3.8．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为导学号92180219()A．1B．12C．32D．34[答案]D[解析]设圆柱与圆锥的底半径分别为R，r，高都是h，由题设，2R·h＝12×2r·h，∴r＝2R，V柱＝πR2h，V锥＝13πr2h＝43πR2h，∴V柱V锥＝34，选D．9．半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为导学号92180220()D．324πR3B．38πR3C．525πR3D．58πR3[答案]A[解析]依题意，得圆锥的底面周长为πR，母线长为R，则底面半径为R2，高为32R，所以圆锥的体积为13×π×(R2)2×32R＝324πR3.10．(2015·全国卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有导学号92180221()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛[答案]B[解析]设圆锥底面半径为r，则14×2×3r＝8，∴r＝163，所以米堆的体积为14×13×3×(163)2×5＝3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B．11．已知底面为正三角形，侧面为矩形的三棱柱有一个半径为3cm的内切球，则此棱柱的体积是导学号92180222()A．93cm3B．54cm3C．27cm3D．183cm3[答案]B[解析]由题意知棱柱的高为23cm，底面正三角形的内切圆的半径为3cm，∴底面正三角形的边长为6cm，正三棱柱的底面面积为93cm2，∴此三棱柱的体积V＝93×23＝54(cm3)．12．(2016·山东，文)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为导学号92180223()D．13＋23πB．13＋23πC．13＋26πD．1＋26π[答案]C[解析]根据三视图可知，四棱锥的底面是边长为1的正方形、高是1，半球的半径为22，所以该几何体的体积为13×1×1×1＋12×43π(22)3＝13＋26π.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是________.导学号92180224[答案]16[解析]在△AOB中，OB＝4，高为8，则面积S＝12×4×8＝16.14．圆柱的高是8cm，表面积是130πcm2，则它的底面圆的半径等于________cm.导学号92180225[答案]5[解析]设底面圆的半径为r，由题意得2πrh＋2πr2＝130π，即r2＋8r－65＝0，解得r＝5.15．棱锥的高为16，底面积为512，平行于底面的截面面积为50，则截得的棱台的高为________.导学号92180226[答案]11[解析]设棱台的高为x，则有(16－x16)2＝50512，解之，得x＝11.16．如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是________.导学号92180227[答案]36＋128π[解析]由三视图可知该组合几何体下面是一个圆柱，上面是一个三棱柱，故所求体积为V＝12×3×4×6＋16π×8＝36＋128π.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1:4，母线长为10cm.求圆锥的母线长.导学号92180228[解析]如图，设圆锥母线长为l，则l－10l＝14，所以l＝403cm.18．(本小题满分12分)如图所示，四棱锥V－ABCD的底面为边长等于2cm的正方形，顶点V与底面正方形中心的连线为棱锥的高，侧棱长VC＝4cm，求这个四棱锥的体积.导学号92180229[解析]如图，连接AC、BD相交于点O，连接VO，∵AB＝BC＝2cm，在正方形ABCD中，求得CO＝2cm，又在直角三角形VOC中，求得VO＝14cm，∴VV－ABCD＝13SABCD·VO＝13×4×14＝4143(cm3)．故这个四棱锥的体积为4143cm3.19．(本小题满分12分)如下图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由.导学号92180230[解析]因为V半球＝12×43πR3＝12×43×π×43≈134(cm3)，V圆锥＝13πr2h＝13π×42×12≈201(cm3)，134201，所以V半球V圆锥，所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．20．(本小题满分12分)已知某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如图所示，求这个几何体的体积.导学号92180231[解析]由三视图可知，该几何体是大圆柱内挖掉了小圆柱，两个圆柱高均为1，底面是半径为2和32的同心圆，故该几何体的体积为4π×1－π(32)2×1＝7π4.21．(本小题满分12分)据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．试计算出图案中圆锥、球、圆柱的体积比.导学号92180232[解析]设圆柱的底面半径为r，高为h，则V圆柱＝πr2h.由题意知圆锥的底面半径为r，高为h，球的半径为r，∴V圆锥＝13πr2h，∴V球＝43πr3.又h＝2r，∴V圆锥:V球:V圆柱＝(13πr2h):(43πr3):(πr2h)＝(23πr3):(43πr3):(2πr3)＝1:2:3.22．(本小题满分12分)如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72cm，要剪下来一个扇形环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面).导学号92180233试求：(1)AD的长；(2)容器的容积．[解析](1)设圆台上、下底面半径分别为r、R，AD＝x，则OD＝72－x，由题意得2πR＝60·π180×7272－x＝3R，∴R＝12x＝36.即AD应取36cm.(2)∵2πr＝π3·OD＝π3·36，∴r＝6cm，圆台的高h＝x2－R－r2＝362－12－62＝635.∴V＝13πh(R2＋Rr＋r2)＝13π·635·(122＋12×6＋62)＝50435π(cm3)．即容器的容积为50435πcm3.