理论力学chapter1详解

第一章质点力学描述质点的运动形式研究其动力学过程揭示其遵守的基本守恒定律应用：在有心力场中的运动绝对时空观绝对空间，就其本性来说，与任何外在的情况无关，始终保持着相似和不变。绝对的，纯粹的，数学的时间，就其本性来说，均匀地流逝而与任何外在的情况无关。牛顿——《自然哲学的数学原理》空间和时间§1.1运动的描述方法时间和空间的测量与物体的存在和运动没有任何关系ProperLifetimeContractedLengthMuon’sS’frameEarth’sSframeLongerLifetimeProperLength~30ms~2ms2.坐标系：参照系确定后，在参照系上选择适宜的坐标系，便于用数学方式描述质点在空间的相对位置§1.1运动的描述方法，一、参照系与坐标系§1.1运动的描述方法1.参照系：为研究物体的运动需要选定某物作为参考标准（参照物），在其上作不共面的三条直线为一框架与参照物固连，这框架可代表参考物——称参考系。注：①参照物是有限大小，但参照系可理解为参照物固连的整个空间；②观察者是站在参照系的观察点上；③不特别说明都以地球为参照系。一、参照系与坐标系3.质点及位置的描述(1)质点：理想模型，有一定质量的几何点（物体形状可忽略，物体作平动）条件：物体的尺寸远小于自由运动空间或者物体作完全的平动(2)位置描述：☆质点相对某参照系的位置，可由位矢r确定;☆坐标描述：直角坐标系:(一维、二维、三维)极坐标，柱坐标，球坐标,自然坐标。3.质点及位置的描述kzjyixr二、运动学方程与轨道1.运动学方程:当质点运动时r=r(t)称为质点的运动学方程，它是时间t的单值连续函数。坐标表示：直角坐标极坐标(平面运动)2.轨道:质点运动过程中空间描述出的连续曲线,从运动学方程中消去t得轨道方程。(直线运动、曲线运动)---形状与参考系相关f(x,y,z)=0或f(r,q)=0)()()(tzztyytxx)()(ttrrqq三、位移、速度与加速度1.位移:质点由A经Dt到B，则称为质点在Dt时间内的位移ABrtrttrDD)()(srtDDD0时，在xyzABrDsD2.速度:大小(速率):方向：沿该曲线的切线并指向前进的一方位移对时间的一阶导数3.加速度:位移对时间的二阶导数三、位移、速度与加速度rdtrdtrvtDDD0limrvdtvdtvatDDD0lim)(ttrD)(tr§1.2速度、加速度的分量表达式一、直角坐标系速度：分量：大小：§1.2速度加速度的分量表示一、直角坐标系:速度kzjyixrkvjvivkzjyixkdtdzjdtdyidtdxdtrdvzyxzvyvxvzyx,,222222zyxvvvzyxvv加速度：大小：直角坐标系:速度kajaiakzjyixkdtdvjdtdvidtdvdtvdazyxzyxzayaxazyx,,222222zyxaaazyxaa§1.2速度、加速度的分量表达式二、极坐标系当质点作平面运动时，可用直角坐标系，但有时选平面极坐标方便。如：行星的运动。rPq极坐标极轴O极点ij为径向单位矢,沿径向;横向单位矢,垂直于径向并指向q增加的方向.质点运动方程:速度:irriririrdtdv)(1.计算和dtjddtidqDD1'iii方向沿方向:iDjqDD1'jjj方向沿方向:jDi于是，idtjdjdtidt,0qqD时，在Dqiii'jj'jDiDjtt+Dt轨道Oij3.加速度分量表示:再对v求时间的一阶导数2.速度分量表示:vr:速度径向分量，称为径向速度，是矢径量值变化产生的。vq:速度横向分量，称为横向速度，是矢径方向变化产生的。速度大小：2222)(qqrrvvvvr2.速度、3.加速度的分量表示二、极坐标系jvivjriririrvrqqjaiajrrirrirjrjrjrirjrjrjririrdtvdarqqqqqqqqqqq)2()()()()()(22极坐标系是一种平面坐标系。当我们描述三维运动时，可以将极坐标系再加上一个z轴柱坐标系xyzR轨道qrM(r,q)P(r,q,z)速度、加速度在柱坐标中的表示:4.柱坐标的扩展二、极坐标系kzjrrirrvakzjrirRvkzirkzrR)2()(2qqqq[解]rbrvcrcervctrqq,jrbicrv求速度求加速度注意：极坐标与直角坐标的区别qqvavarryyxxvava直角坐标极坐标jbcrirbcabcrbcebcerrarbcrbecrractctctr2)(2222)(2222222qqqq!已知一质点的运动方程为求avbterct,,,q例2[例题2]14例(不要求)狐狸沿圆周跑，狗从圆心出发，速度都为v，圆心、狗、狐狸始终连成一直线。求狗的速度、加速度和轨道方程。狐狸的角速度Rvdtdqq狗有横向和纵向速度22,qqvvvrvr狗的横向和纵向加速度22222,2dtdrdtrdadtdrdtddtdrarqqqq轨道方程22rRvvrddrrqqqq0022drRdrrqsinRr三、自然坐标系、切向加速度、法向加速度1.自然坐标当质点沿一曲线运动时，在曲线上选择一点作为原点O,规定一方向为弧坐标的正向，那么弧长就为时间的函数，质点的位置就由s=s(t)描述。规定：i为曲线的切向单位矢，沿轨道切线并指向s增加的方向。j为法向单位适矢，沿轨道该点法线并指向曲线的凹侧。(i,j)构成平面自然坐标系didjijqOxyidjdjdidqqidjdjdidqq三、自然坐标系、切向加速度、法向加速度didjijqOxy2.速度idtdsivv3.加速度isisdtisdva)(jdtdsdsddtdsdsddiddtidqqq利用jdsdsisaq2曲率半径qdds'')'1(2/32yy于是切向加速度，描述速度大小随时间的变化率法向加速度，描述速度方向随时间的变化的快慢::/2vadtdvan3.加速度jaiajvidtdvjsisan22三、自然坐标系、切向加速度、法向加速度4.三维空间中的推广密切面:曲线上无限靠近的两点的切线构成的平面叫做该点的密切面.特点：在密切面内，d也在密切面内，因此n也在密切面内nbbb密切面n:主法线方向b:副法线方向加速度a恒位于密切面内。nvva2[例题4]一质点P沿螺旋线运动，求速度、加速度和轨道的曲率半径tztytx4,4cos2,4sin2分析：运动方程已经由已知条件给出，且基于直角坐标。故速度、加速度易求。曲率半径相关公式[解]在直角坐标系中，tztytx4,4cos2,4sin2于是4,4sin8,4cos8ztytx得到速度大小：54164sin644cos6422222ttzyxv加速度：0,4cos32,4sin32ztytx加速度大小：3222zyxaanaa0/dtdva因为32aan所以5.2328032)54(22nav于是???'')'1(2/32xxyy20例（不要求）椭圆半长轴和半短轴处的曲率半径AB假设一沿轨道的运动tBytAxsin,cos求速度和加速度tBatAatBvtAvyxyxsin,coscos,sin22求向心加速度在(A,0)处2Aa心在(0,B)处2Ba心代入公式，曲率半径?,2BAABBA221在自然界中，最古老的问题莫过于运动了。——伽利略凡运动着的事物必然都有推动者在推着它运动亚里士多德《物理学》伽利略领悟到，将人们引入歧途的，是摩擦力，或空气、水等介质的阻力，这是人们在日常观察物体运动时难以完全避免的。为了得到正确的线索，除了实验和观察外，还需要抽象的思维。伽利略的斜面实验和落体实验。§1.4质点运动定律22牛顿第一定律(惯性定律）任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，除非有作用于它上的力改变这种状态。惯性定律成立的参考系，称为惯性参考系，简称惯性系。非惯性系：相对惯性系做变速平动或转动的参考系存在一惯性参考系，可建立一系列相对它匀速平动的其它惯性系。惯性定律提出了惯性和力两个概念惯性是物体保持静止或匀速直线运动状态的内禀属性；力是改变物体运动状态的外加因素。§1.4质点运动定律23牛顿第二定律运动的变化与所加的力成正比，并且沿着此力的方向amdtvmdF/)(牛顿第二定律只在惯性系中成立牛顿第二定律既是动力学的基本规律；同时又可作为质量和力的定义，据此可对质量和力进行测量。24物体质量的度量值与物体的运动状态无关，在不同的参考系中质量m的度量值相同——质量的标量性。两个物体组合成大物体的质量等于两个物体质量的和——质量是广延量amF质量是标量，加速度是矢量，力因而是矢量例实验验证同时作用在物体上的两个力产生的加速度等于两个力的矢量和产生的加速度。mFFa2125牛顿第三定律第三定律是关于力的最一般性质的定律，而不是动力学本身的定律物体间的相互作用力是真实力，它的度量是在惯性系中通过第二定律来实现，第三定律只在惯性系中成立。若物体之间通过接触才有相互作用力，这种力称为接触力。第三定律对于接触力总是成立的对于两个物体有一定距离时的相互作用力，第三定律有时成立，有时不成立。物体之间的相互作用力，大小相等，方向相反§1.5质点运动微分方程一、微分方程的建立1.自由质点的运动限制质点运动的条件称为约束，不受约束的质点称为自由质点。);;(trrFrm在具体坐标系中的形式----直角坐标，极坐标(1)直角坐标系三个二阶常微分方程构成微分方程组，给出初始条件：00,0rrrrt时，即可解得质点的运动规律。);,,;,,();,,;,,();,,;,,(tzyxzyxFzmtzyxzyxFymtzyxzyxFxmzyx(2)平面极坐标如果质点在O-xy平面上运动，则分别将a和F向r和q方向投影：);,;,()2();,;,()(2trrFrrmtrrFrrmrqqqqqqqq2.非自由质点的约束运动若质点被限制在某一曲线或曲面上运动,该曲线或曲面称为约束,其方程为约束方程,约束对质点的作用力为约束力(约束反力),约束力是待定的,取决于约束本身的性质。约束确定后，质点的运动状态取决于质点受到的主动力的情况,只靠约束力不能引起质点的运动,故称约束力为被动力.2.非自由质点的约束运动一、微分方程的建立(1)光滑约束(2)非光滑约束光滑约束：约束力在轨道的法平面内，即沿质点运动方向没有分量。由(1)式求出运动规律，(2)和(3)解出约束力，方便之处在于运动规律和约束力可分开求解.质点运动的约束微分方程：求解时，一般采用自然