椭圆及其标准方程(带gif动画)

第九章圆锥曲线如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的物件呢？生活中的椭圆——仙女座星系星系中的椭圆——“传说中的”飞碟♦太阳系行星的运动p3月亮太阳金星地球土星木星数学实验•(1)取一条细绳，•(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2•(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形思考数学实验•(1)取一条细绳，•(2)把它的两端固定在板上的两个定点F1、F2•(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？请你归纳出椭圆的定义?F2F1M(1)由于绳长固定，所以点M到两个定点的距离和是个定值（2）点M到两个定点的距离和要大于两个定点之间的距离根据上面的内容你更给出椭圆的定义吗？（一）椭圆的定义•平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数（2a）（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆。•定点F1、F2叫做椭圆的焦点。•两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：aMFMF221(2a2c)MF2F1yxO),(yxPr设圆上任意一点P(x，y)以圆心O为原点，建立直角坐标系rOPryx22两边平方，得222ryx♦回忆如何求圆的方程的？♦探讨建立平面直角坐标系的方案建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”OxyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxy解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).设M(x,y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a(2a2c)，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0).xF1F2M0y（问题：下面怎样化简？）122MFMFa222212(),()MFxcyMFxcyaycxycx2)()(2222得方程由椭圆的定义得，限制条件：代入坐标2.椭圆的标准方程的推导222222bayaxb22ba两边除以得).0(12222babyax设所以即,0,,2222cacaca),0(222bbca由椭圆定义可知整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx222)(ycxacxa2222222222422yacacxaxaxccxaa两边再平方，得)()(22222222caayaxca移项，再平方)0(12222babxay012222babyax焦点在y轴：焦点在x轴：椭圆的标准方程1oFyx2FM12yoFFMx记忆方法：在那个字母下面，焦点就在哪个坐标轴（哪个字母下面的数大，焦点就在哪个轴上）a012222babyax012222babxay图形方程焦点F(±c，0)F(0，±c)a,b,c之间的关系c2=a2-b2MF1+MF2=2a(2a2c0)定义12yoFFMx1oFyx2FM两类标准方程的对照表注:共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.2x2y不同点：焦点在x轴的椭圆项分母较大.焦点在y轴的椭圆项分母较大.11625)2(22yx11)3(2222mymx11616)1(22yx0225259)4(22yx123)5(22yx1.口答：下列方程哪些表示椭圆？练习一：例1、填空：(1)已知椭圆的方程为：，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为：____________焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则∆F2CD的周长为________例题1162522yx543(3,0)、(-3,0)6２0F1F2CD判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。|CF1|+|CF2|=2a练习二：判定下列椭圆的焦点在哪个轴，并指明a2、b2，写出焦点坐标2212516xy+=答：在X轴（-3，0）和（3，0）221144169xy+=答：在y轴（0，-5）和（0，5）222211xymm+=+答：在y轴。（0，-1）和（0，1）判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：焦点在分母大的那个轴上。2222xy1.1xa3a()xy2.1yb9b()方程表示焦点在轴上的椭圆，则的范围为。方程表示焦点在轴上的椭圆，则的范围为。0b9练习三：a33.已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是.22xy+=14m变式：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是.22xy+=1m-13-m(0,4)(1,2)4、已知椭圆的方程为：，请填空：(1)a=__，b=__，c=__，焦点坐标为___________，焦距等于__.(2)若C为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，并且CF1=2,则CF2=___.1162522yx5436(-3,0)、(3,0)8例、写出适合下列条件的椭圆的标准方程的椭圆的标准方程为）已知（1,64ca的值为则的焦距等于）椭圆（mymx,21452235或2213635xy2213536xy12小结:先定位(焦点)再定量(a,b,c)椭圆的焦点位置不能确定时,椭圆的标准方程一般有两种情形,必须分类求出例3：平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离之和是10的点的轨迹方程。解：这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点，用F1、F2表示，取过点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。∵2a=102c=8∴a=5c=4b2=a2c2=9,b=3因此这个椭圆的标准方程是：1925135222222yxyx即012222babyax012222baaybxyoBCAx定义法求轨迹方程。习题:已知△ABC的一边BC固定，长为8，周长为18，求顶点A的轨迹方程。.解：以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴建立直角坐标系。根据椭圆的定义知所求轨迹方程是椭圆，且焦点在轴上，所以可设椭圆的标准方程为：)0ba(1=by+ax2222　192522yx)0y　　（yoBCAx∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方程为:注意：求出曲线的方程后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都是符合题意。练习：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为F1(0,－3),F2(0,3),且a=5.22(2)12516yx22(1)16xy答案：(1)a=,b=1,焦点在x轴上;(3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过P(2,3)点；(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).22(3)11612xy22(4)xy+=149小结：求椭圆标准方程的步骤：①定位：确定焦点所在的坐标轴；②定量：求a,b的值.6