2012年考研数学二试题及答案

12012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1)曲线221xxyx渐近线的条数()(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】C【考点】函数图形的渐近线【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：（i）当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。（ii）渐近线分为水平渐近线（lim()xfxb，b为常数）、垂直渐近线（0lim()xxfx）和斜渐近线（lim[()()]0xfxaxb，,ab为常数）。（iii）注意：如果（1）()limxfxx不存在；（2）()limxfxax，但lim[()]xfxax不存在，可断定()fx不存在斜渐近线。在本题中，函数221xxyx的间断点只有1x.由于1limxy，故1x是垂直渐近线.（而11(1)1limlim(1)(1)2xxxxyxx，故1x不是渐近线）.又211limlim111xxxyx，故1y是水平渐近线.（无斜渐近线）综上可知，渐近线的条数是2.故选C.(2)设函数2()(1)(2)()xxnxfxeeen,其中n为正整数,则(0)f()2(A)1(1)(1)!nn(B)(1)(1)!nn(C)1(1)!nn(D)(1)!nn【答案】A【考点】导数的概念【难易度】★★【详解一】本题涉及到的主要知识点：00000()()()limlimxxfxxfxyfxxx.在本题中，按定义200()(0)(1)(2)()(0)limlim0xxnxxxfxfeeenfxx1(1)(2)[(1)](1)(1)!nnn.故选A.【详解二】本题涉及到的主要知识点：()[()()]()()()()fxuxvxuxvxuxvx.在本题中，用乘积求导公式.含因子1xe项在0x为0，故只留下一项.于是20(0)[(2)()]xxnxxfeeen1(1)(2)[(1)](1)(1)!nnn故选（A）.(3)设0(1,2,)nan，123nnSaaaa，则数列nS有界是数列na收敛的()（A）充分必要条件（B）充分非必要条件（C）必要非充分条件（D）既非充分也非必要条件【答案】B【考点】数列极限【难易度】★★★【详解】因0(1,2,)nan，所以123nnSaaaa单调上升.若数列nS有界，则limnnS存在，于是11limlim()limlim0nnnnnnnnnaSSSS反之，若数列na收敛，则数列nS不一定有界.例如，取1na(1,2,)n，则nSn是无界的.3因此，数列nS有界是数列na收敛的充分非必要条件.故选（B）.(4)设20sin(1,2,3)kxKexdxkI则有()(A)123III(B)321III(C)231III(D)213III【答案】D【考点】定积分的基本性质【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：设acb，则()()()bcbaacfxdxfxdxfxdx.在本题中，210sinxIexdx，2220sinxIexdx，2330sinxIexdx222121sin0xIIexdxII，2332322sin0xIIexdxII，222323312sinsinsinxxxIIexdxexdxexdx2233()22sin()sintxetdtexdx223()312[]sin0xxeexdxII因此213III.故选D.（5）设函数(,)fxy可微，且对任意的,xy都有(,)0fxyx，(,)0fxyy，则使不等式1122(,)(,)fxyfxy成立的一个充分条件是()（A）12xx，12yy（B）12xx，12yy（C）12xx，12yy（D）12xx，12yy【答案】D【考点】多元函数的偏导数；函数单调性的判别【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：4函数单调性的判定法设函数()yfx在[,]ab上连续，在(,)ab内可导.①如果在(,)ab内()0fx，那么函数()yfx在[,]ab上单调增加；②如果在(,)ab内()0fx，那么函数()yfx在[,]ab上单调减少.在本题中，因(,)0fxyx，当y固定时对x单调上升，故当12xx时1121(,)(,)fxyfxy又因(,)0fxyy，当x固定时对y单调下降，故当12yy时2122(,)(,)fxyfxy因此，当12xx，12yy时112122(,)(,)(,)fxyfxyfxy故选D.（6）设区域D由曲线sinyx，2x，1y围成，则5(1)Dxydxdy()（A）（B）2（C）-2（D）【答案】D【考点】二重积分的计算【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：10,(,)(,)2(,),(,)DDfxyxyfxydxdyfxydxdyfxyxy对或为奇函数，对或为偶函数在本题中，11555222sinsin221(1)(1)()2xxDxydxdydxxydyxyydx5222221(1sin)(1sin)2xxdxxdx其中521(1sin)2xx，sinx均为奇函数，所以52221(1sin)02xxdx，22sin0xdx5故选（D）(7)设1100c,2201c,3311c,4411c,其中1234,,,cccc为任意常数，则下列向量组线性相关的为()(A)123,,(B)124,,(C)134,,(D)234,,【答案】C【考点】向量组的线性相关与线性无关【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：n个n维向量相关12,,,0n在本题中，显然134123011,,0110ccc，所以134,,必线性相关.故选C.(8)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且1100010002pAP.若P=（123,,），1223(,,)，则1QAQ()(A)100020001(B)100010002(C)200010002(D)200020001【答案】B【考点】矩阵的初等变换；初等矩阵【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；6对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.在本题中，由于P经列变换为Q，有12100110(1)001QPPE，那么111112121212[(1)][(1)](1)()(1)QAQPEAPEEPAPE100110011101110100120012故选B.二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）设yyx是由方程21yxye所确定的隐函数，则220xdydx.【答案】1【考点】隐函数的微分【难易度】★★【详解】本题涉及到的主要知识点：隐函数求导的常用方法有：1.利用复合函数求导法，将每个方程两边对指定的自变量求偏导数（或导数），此时一定要注意谁是自变量，谁是因变量，对中间变量的求导不要漏项。然后求解相应的线性方程式或方程组，求得所要的隐函数的偏导数或导数。2.利用一阶全微分形式的不变性，对每个方程两边求全微分，此时各变量的地位是平等的，然后求解相应的线性方程组或者方程式，球的相应的隐函数的全微分。对于多元隐函数来说，若题目中求的是全部偏导数或全微分，往往是用方法2比较简单些，若只求某个偏导数，则方法1和方法2的繁简程度差不多。在本题中，令0x，得(0)0y.等式两边同时对x求导，得2yxyey（*）令0x，0y得(0)(0)yy，7于是(0)0y.再将（*）是对x求导得22yyyeyey令0x，0y，0y得2(0)(0)yy于是(0)1y（10）22222111lim12nnnnnn.【答案】4【考点】定积分的概念【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：利用定积分定义求某些和式的极限（先将和式表成某函数在某区间上的一个积分和，它的极限就是一个定积分）.特别是对于n项和数列的极限，应该注意到：1011lim()()nniiffxdxnn在本题中，由积分定义，22222221111111limlim1212()1()1()1nnnnnnnnnnnn110201arctan14dxxx（11）设1(ln)zfxy，其中函数()fu可微，则2zzxyxy【答案】0【考点】多元复合函数的求导法【难易度】★★8【详解】本题涉及到的主要知识点：二元函数[(,)]zfuxy（是一元函数()fu与二元函数(,)uuxy的复合函数），在变量替换(,)uuxy下，得到z对x，y的偏导数为()zufuxx，()zufuyy.在本题中，根据题中条件可知，1zfuxx，21zfuyy，所以20zzxyxy（12）微分方程2(3)0ydxxydy满足条件11xy的解为y【答案】2xy（或yx）【考点】一阶线性微分方程【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：方程()()dyPxyQxdx叫做一阶线性微分方程，其通解为()()(())PxdxPxdxyeQxedxC.在本题中，方程可整理为13dxxydyy，将x看作因变量，一阶线性非齐次微分方程的通解为11313dydyyyxeyedyCyCy.又(1)1y，得0C，故2xy（或yx）为所求解.（13）曲线20yxxx上曲率为22的点的坐标为.【答案】（-1，0）【考点】曲率【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：9曲率公式3221yKy.在本题中，21,2yxy，代入曲率公式3221yKy，得3222221(21)x，解得1x或1x.又0x，故10xy.故坐标为(1,0).（14）设A为3阶矩阵，3A，*A为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则*BA_________【答案】-27.【考点】矩阵的初等变换；伴随矩阵【难易度】★★★【详解】本题涉及到的主要知识点：设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.在本题中，设12010100001E则12BEA，从而3*