StochasticProcess

Chen,Rong布朗运动与伊藤过程Section12标准布朗运动（维纳过程）3标准布朗运动的联合分布4标准布朗运动的转移密度5标准布朗运动的鞅性质和马尔可夫性质6马尔可夫过程7独立性引理8标准布朗运动的一阶变分9标准布朗运动的二阶变分10标准布朗运动的二次变分11标准布朗运动的其他二次变分12布朗运动与Itô过程13多维布朗运动1415相关的多维布朗运动1617随机微分方程（SDE）18金融中常见的单因子SDE1920随机微积分：伊藤积分Section221WhyStochasticCalculus?22ItôIntegrals23伊藤过程的积分24伊藤积分的性质252627282930随机微积分：伊藤－德布林公式Section331一维伊藤－德布林公式（引理）32应用举例33343536多元伊藤－德布林公式37衍生品定价Section438衍生品定价方法PDE方法测度转换和鞅定价方法二叉树方法39PDE方法Section4.140得到PDE运用标的资产和衍生产品构造无风险组合/运用标的资产和无风险资产复制衍生产品：B-S模型运用标的资产的两种可交易资产构造无风险组合根据产品特征设定边界条件41以可交易衍生品构造PDE424344求解PDEDiscountedFeynman-Kactheorem分析法数值方法45DiscountedFeynman-Kactheorem46等价鞅测度与鞅定价Section4.247Radon-Nikodym导数48AnExample49R-N导数的性质50R-N导数过程51等价测度（EquivalentMeasures）52Girsanov定理（一维）535455Girsanov定理（多维）5657定理解读给定一个𝜆，即可从现有测度转换至另一个测度其本质是为所有随机变量转换了概率和期望漂移在风险厌恶测度下，当选定𝜆为对应风险价格时，就转换至风险中性测度换个角度，从风险中性测度出发，当选定𝜆为不同测度下的风险价格时，即可转换至不同风险厌恶的测度58,,,,,dWtdWttdtdStStdtStdWtSttStdtStdWt测度转换测度转换的实质是给了不同的状态（𝜔）以不同的概率。例如从现实的风险厌恶测度转到风险中性测度，实际上是给了不好的情形以较高的概率（主观概率），从而降低了期望值，贴现时无需再体现风险，只需以无风险利率贴现。概率、期望与贴现率的内在一致性测度转换时，什么改变了？什么没有改变？59等价鞅测度60基本应用：风险中性测度61基本应用：风险中性测度风险价格与测度转换以货币市场账户为计价单位：波动率（风险价格）为062,,,,,,dWtdWttdtdStStdtStdWtSttStdtStdWtdStrtdtStdWt标的资产可交易dMtrtMtdt鞅定价方法1.验证无套利和市场完全2.确定等价鞅测度𝑄𝑁3.以𝑃𝑇𝑁𝑇的形式表达被定价资产的到期回报4.求得𝐸𝑁𝑃𝑇𝑁𝑇|ℱ𝑡5.根据𝑃𝑇𝑁𝑇=𝐸𝑁𝑃𝑇𝑁𝑇|ℱ𝑡进行定价6.利用价格公式构建对冲策略63PDE定价与鞅定价方法前提条件的一致性PDE：无套利鞅定价：市场风险价格存在定价的内在一致性DiscountedFeynman-Kactheorem可以理解为转换了测度核心都是𝜆64树图定价方法Section4.365树图定价方法的基本思路以大量离散的小幅度二值或三值运动逼近连续的资产价格运动树图参数的确定：(与市场价格和波动率结构)无套利倒推定价法追求节点的重合66资产定价基本定理Section567随机贴现因子（SDF）68ContingentClaims或有索取权与状态价格在一个完全市场中，投资者可以买到所有的或有索取权（不一定是显性地买到）。在完全市场中，m是惟一的，等于状态价格除以概率（必然为正）。因为状态价格69()()()()()()()()()()ssspcsppcsxssxssmsxsEmxsπππ====∑∑∑fspcssmsR风险中性测度通过状态价格引入风险中性测度测度转换现实测度与风险中性测度的R-N导数就是是SDF剔除无风险利率之后的部分，即风险溢酬70()()()()()()()()()1ffssspcsExppcsxssxssxsRRsπππ====∑∑∑()()()()msssEmππ=()()msEm一价定律、无套利与完全市场Lawofoneprice同样回报的资产应该卖同样的价格存在SDFNo-arbitrage如果随机回报𝑥≥𝑦almostsurely，且𝑥𝑦的概率为正，则𝑝𝑥p𝑦存在为正的SDF，存在等价鞅测度（包括风险中性测度）Completemarket所有风险都可以交易存在惟一的（正的）SDF；存在惟一的等价鞅测度71TheEnd.